第一作者 李威 男，副教授，1975年生

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GDQR求解彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定性

李威1, 曾志松1, 韓旭2

(1．華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢430074； 2．湖南大學(xué) 機(jī)械與運載工程學(xué)院，長沙410082)

摘要：用廣義微分求積法(GDQR)研究了彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定性問題?；谳斄鞴艿肋\動微分方程及邊界條件，采用GDQR進(jìn)行離散化，獲得由動力方程組及邊界條件合成的特征值矩陣方程。通過對相應(yīng)特征值方程的具體分析，計算了左端固定、右端彈性支承下輸流管道的發(fā)散失穩(wěn)流速和顫振失穩(wěn)流速，研究了臨界失穩(wěn)流速和穩(wěn)定區(qū)域隨兩端支撐彈簧剛度、扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的變化情況，分析了質(zhì)量比、雙參數(shù)模型地基反力系數(shù)和剪切模量對輸流管道穩(wěn)定區(qū)域圖的影響，得到了一些有益的結(jié)論。研究結(jié)論對于工程實踐有一定的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：廣義微分求積法；穩(wěn)定性；輸流管道；臨界流速

基金項目：國家杰出青年科學(xué)

收稿日期：2013-09-23修改稿收到日期：2014-02-14

中圖分類號:O327文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Stability of Pipes Conveying Fluid on an elastic foundation Based on GDQR

LIWei1,ZENGZhi-song1,HANXu2(1. School of Naval Architecture and Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China;2. College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Abstract:Here, the generalized differential quadrature rule (GDQR)was applied to investigate the stability of a pipe conveying fluid on an elastic foundation. Based on the motion equations and boundary conditions of a pipe conveying fluid, the eigenvalue matrix equation was obtained after the pipe was discretized with GDQR. After analyzing the corresponding eigenvalue equations, the critical fluid’s flowing velocities for divergence and flutter of the pipe under different support conditions were calculated, the effects of translational and rotational spring stiffnesses on the critical unstable flowing velocites and the stability regions were analyzed. Meanwhile, the influences of mass ratio, reaction force coefficient and shear modulus of the two-parameter model of the foundation on the stability regions were studied, some useful conclusions were drawn. These conclusions provided a guidance for engineering practices.

Key words: generalized differential quadrature rule (GDQR); stability; pipe conveying fluid; critical velocity

輸流管道在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，國內(nèi)外學(xué)者對其穩(wěn)定性問題開展了大量的研究工作。其中Sugiyama等[1]研究了彈性支承對懸臂輸流管道穩(wěn)定性的影響，王忠民等[2]用冪級數(shù)法分析彈性地基對輸流靜力穩(wěn)定性與動力穩(wěn)定性的影響，馬小強(qiáng)等[3]用傳遞矩陣法計算了輸流管道的臨界流速，金基鐸等[4]討論了兩端支承彈簧對輸流管道臨界流速的影響。GDQR是求解微分方程邊值、初值問題的有效的數(shù)值計算方法，該方法的替代規(guī)則中采用的獨立變量不僅包括各網(wǎng)點處的函數(shù)值，而且包括函數(shù)的導(dǎo)數(shù)項，克服了微分求積法需要在邊界點處選取微小段來進(jìn)行邊界的鄰接處理，能夠精確的施加邊界條件，簡單易行，具有較高的精確度和數(shù)值穩(wěn)定性。Wu等[5-7]給出了將其用于解決常見初、邊值微分方程的算例，部分學(xué)者也將其推廣用于有關(guān)力學(xué)問題的研究[8-12]。

應(yīng)用GDQR求解彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定性問題，計算不同兩端支承狀態(tài)下輸流管道的發(fā)散失穩(wěn)流速和顫振失穩(wěn)流速，研究了臨界失穩(wěn)流速和穩(wěn)定區(qū)域隨兩端支撐彈簧剛度、扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的變化情況，分析了質(zhì)量比、雙參數(shù)模型地基反力系數(shù)和剪切模量對輸流管道穩(wěn)定區(qū)域圖的影響。

1運動微分方程及邊界條件

考慮如圖1所示的彈性地基上兩端支承輸流直管, 管道材料的彈性模量為E，管道長度為L，橫截面積為A，截面慣性矩為I，單位長度空管質(zhì)量為mp，流體密度為ρ，流速為v，kθL，kTL，kθR，kTR分別表示左右兩端面的扭轉(zhuǎn)、支撐彈簧剛度，彈性地基采用雙參數(shù)模型，R表示地基反力。

圖1　彈性地基上兩端支承輸流管道模型 Fig.1 model of pipes conveying fluid supported at both ends on elastic foundation

上述輸流直管的振動微分方程可寫成：

(1)

對于雙參數(shù)模型地基，地基反力為：

(2)

式中：K0為地基反力系數(shù)，GP為剪切模量。

令

m=mp+ρA

(3)

引入無量綱量：

式(1)可以整理為：

(4)

一般邊界條件為：

(5)

(6)

式(4)的解可以寫成：

η=w(ξ)exp(Ωτ)

(7)

將式(7)代入式(4)～式(6)，可得齊次微分方程及其邊界條件為：

(Ω2+a)w=0

(8)

w″(0)=KθLw′(0),w?(0)=-KTLw(0)

(9)

w″(1)=-KθRw′(1),w?(1)=KTRw(1)

(10)

2運動微分方程的模擬方程

GDQR的基本思想是用某一函數(shù)在物理域上的所有離散點上的函數(shù)值及其偏導(dǎo)數(shù)值的加權(quán)和來逼近該函數(shù)在某一離散點偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)ψ(x)在點x=xi處的第r階導(dǎo)數(shù)可近似寫成：

(11)

根據(jù)GDQR運算法則，選取

{W1,W2,W3,W4,…,WN-1,WN,WN+1,WN+2}=

為獨立變量，將式(8)～式(10)離散，得到如下的模擬方程：

(i=2,3,4,…N-1)

(12)

(13)

(14)

用下標(biāo)b表示邊界上的元素，d表示非邊界上的元素,即：

wd={w2,w3,…,wN-2,wN-1}T

(15)

上述三式用矩陣形式可表示為：

(16)

消去變量wb，可得：

(Ω2[I]+Ω[G]+K)wd=0

(17)

式(1)中：

(18)

(19)

由于流速度會導(dǎo)致有陀螺力作用，Ω一般情況下是復(fù)數(shù)，其虛部Im(Ω)表示輸流管的無量綱自振頻率，其實部Re(Ω)為指數(shù)衰減因子，矩陣K和G中含有流速u，質(zhì)量比β，無量綱彈簧剛度，彈性地基反力系數(shù)及剪切模量等參數(shù)。通過求解特征值方程(16)，在其它相關(guān)參數(shù)確定的情況下，得到不同流速下的Ω值，當(dāng)特征值Ω的實部由負(fù)變正，而特征值Ω的虛部又同時不為零時，則此流速為發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速，若特征值Ω的實部從負(fù)變正同時虛部也為零，則該流速就是發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速。

3計算及討論

3.1兩端彈簧剛度對穩(wěn)定區(qū)域的影響

首先通過運用GDQR分析在沒有彈性地基情況下，兩端簡支管的前兩階無量綱固有頻率值，通過與有關(guān)解析值進(jìn)行比較，驗證了基于GDQR的計算結(jié)果的準(zhǔn)確性；接著討論了當(dāng)a=0,b=0,即沒有彈性地基的情況下，彈簧剛度對穩(wěn)定區(qū)域的影響，選取了左端固定支承、右端彈性支承下，當(dāng)右端扭轉(zhuǎn)彈簧剛度取特定值時，右端支承彈簧剛度對穩(wěn)定區(qū)域的影響以及當(dāng)右端支承彈簧剛度取特定值時，右端扭轉(zhuǎn)彈簧剛度對穩(wěn)定區(qū)域的影響，同時還研究了右端只有支撐彈簧支承時，穩(wěn)定區(qū)域隨質(zhì)量比的變化規(guī)律。

為驗證基于GDQR的計算結(jié)果的正確性，使其與有關(guān)解析值的結(jié)果進(jìn)行比較, 令KTL=KTR=∞,KθL=KθR=0,a=0,b=0,β=0.2,運用GDQR兩端簡支管的前兩階無量綱固有頻率值，結(jié)果見表1。

表1　兩端簡支輸流管的前兩階固有頻率

兩端簡支輸流管中流速u=0時的固有頻率[13]為：

(20)

將式(20)化為無量綱的形式，可知前兩階無量綱頻率為π2和4π2，運用GDQR方法計算得到的第一階無量綱頻率值為9.870，相對誤差為0.004%，而第二階無量綱頻率值為39.478，相對誤差為0.011%，這說明運用GDQR求解輸流直管穩(wěn)定性問題的準(zhǔn)確性。

圖2～圖4分別對應(yīng)當(dāng)KθR=0.204 0時的穩(wěn)定區(qū)域圖，考慮實際輸水管道情況，計算過程中質(zhì)量比取β=0.2，其中虛線表示顫振失穩(wěn)臨界流速，實線表示發(fā)散失穩(wěn)臨界流速(下同)，圖中給出了顫振失穩(wěn)流速和發(fā)散失穩(wěn)流速隨無量綱支撐彈簧剛度的變化曲線，相應(yīng)地會形成了三個區(qū)域，顫振失穩(wěn)區(qū)、發(fā)散失穩(wěn)區(qū)和穩(wěn)定區(qū)。

圖2 KθR=0時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.2CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=0圖3 KθR=20時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.3CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=20圖4 KθR=40時臨界流速隨無量綱支撐彈簧剛度變化曲線Fig.4CriticalvelocityversusDimensionlesstranslationalspringconstantswithrotationalspringconstantsKθR=20

從圖中可以看出，顫振失穩(wěn)流速會隨無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大，而發(fā)散失穩(wěn)流速會有兩個臨界點，綜合圖2～圖4觀察發(fā)現(xiàn)隨著無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的增加，顫振失穩(wěn)區(qū)域變化不大，而發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域從一個部分分成兩個部分，并且兩者有相互靠近的趨勢。

圖5～圖7分別對應(yīng)當(dāng)KTR=0、20、30時的穩(wěn)定區(qū)域圖，圖中給出了顫振失穩(wěn)流速和發(fā)散失穩(wěn)流速隨無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的變化曲線，相應(yīng)地形成了三個區(qū)域，顫振失穩(wěn)區(qū)、發(fā)散失穩(wěn)區(qū)和穩(wěn)定區(qū)。從圖中可以看出，隨著無量綱支撐彈簧剛度的增加，發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域迅速減小，而顫振失穩(wěn)區(qū)域變化不明顯。同時可以發(fā)現(xiàn)發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度會隨無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大。

圖5 KTR=0時臨界流速隨無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度變化曲線Fig.5CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=0圖6 KTR=20時臨界流速隨無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度變化曲線Fig.6CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=20圖7 KTR=30時臨界流速隨無量綱扭轉(zhuǎn)彈簧剛度變化曲線Fig.7CriticalvelocityversusDimensionlessrotationalspringconstantswithtranslationalspringconstantsKTR=30

圖8給出了不同質(zhì)量比下輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖，從圖中觀察可以發(fā)現(xiàn)，隨著質(zhì)量比的增加，顫振失穩(wěn)流速逐漸增大，但發(fā)散失穩(wěn)流速不變，當(dāng)質(zhì)量比較小時，顫振失穩(wěn)流速會隨著無量綱支撐彈簧剛度的增大而增大，當(dāng)質(zhì)量比較大時，不再有這樣的規(guī)律。

3.2地基反力系數(shù)和剪切模量對穩(wěn)定區(qū)域的影響

分別討論左邊固定支承，右邊只有一個支撐彈簧支承的條件下，不同無量綱地基反力系數(shù)a和無量綱地基剪切模量b的取值情況下，顫振失穩(wěn)臨界流速和發(fā)散失穩(wěn)臨界流速隨右端無量綱支撐彈簧剛度的變化規(guī)律，下面的討論中質(zhì)量比β均取0.2。

圖9給出了無量綱地基剪切模量b=0時，不同無量綱地基反力系數(shù)a取值情況下，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩(wěn)區(qū)域和發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域的影響情況。

1為β=0.01,2為β=0.1,3為β=0.2,4為β=0.3,5為β=0.5圖8 KθR=0時,不同質(zhì)量比輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.8StabilitydiagramunderdifferentmassratiowithKθR=01為a=0,2為a=50,3為a=100,4為a=150圖9 b=0,a取不同值時彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.9Stabilitydiagramunderdifferentfoundationreactioncoefficientwithb=01為b=4,2為b=8,3為b=12,4為b=16圖10 a=0,b取不同值時彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.10Stabilitydiagramunderdifferentfoundationshearmoduluswitha=0

從圖9可知，a越大，發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速越大，而相應(yīng)發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域越來越小，發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速越來越大，而發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界無量綱支撐彈簧剛度也越來越大。

圖10給出了無量綱地基反力系數(shù)a=0時，不同無量綱地基剪切模量b取值情況下，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩(wěn)區(qū)域和發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域的影響情況。

從圖10中可以看到，b越大，發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速越大，發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速也越來越大，與a不同的是，無論b取何值，都是只有無量綱支撐彈簧剛度KTR>34.815 時才發(fā)散。

圖11給出了無量綱地基剪切模量、無量綱地基反力系數(shù)均大于零時，即a>0,b>0時，無量綱支撐彈簧剛度對顫振失穩(wěn)區(qū)域和發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域的影響圖。綜合圖9-圖11發(fā)現(xiàn)無量綱支撐彈簧剛度對發(fā)散失穩(wěn)影響很大，增大KTR可以提高發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速，減小發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域。

1為a=50,b=4;2為a=100,b=8;3為a=150,b=12 圖11　a>0,b>0時彈性地基上輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖 Fig.11 Stability diagram under different foundation reaction coefficient and shear modulus combinations

圖12給出了a=80,b=0時，不同質(zhì)量比下輸流管道的穩(wěn)定區(qū)域圖，從圖8可知，隨著質(zhì)量比的增加，顫振失穩(wěn)流速和發(fā)散失穩(wěn)流速與圖8中有著類似的規(guī)律，但彈簧地基反力系數(shù)的存在，使發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域減小，顫振失穩(wěn)流速略有增加。

1為β=0.01,2為β=0.1, 3為β=0.2,4為β=0.3,5為β=0.5 圖12　a=80,b=0時穩(wěn)定區(qū)域圖 Fig.12 Stability diagram with a=80,b=0

4結(jié)論

運用GDQR研究了兩端支承彈簧剛度、雙參數(shù)模型地基反力系數(shù)和剪切模量以及質(zhì)量比對輸流管道臨界流速、穩(wěn)定區(qū)域圖的影響，得到了如下結(jié)論：

(1) 扭轉(zhuǎn)彈簧剛度一定，支撐彈簧剛度增大時，管道的顫振失穩(wěn)臨界流速會增大，發(fā)散失穩(wěn)流速相應(yīng)地會有兩個臨界點，隨著扭轉(zhuǎn)彈簧剛度的增加，顫振失穩(wěn)區(qū)域變化不

大，發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域則一分為二，并且兩者有相互靠近的趨勢；

(2) 支撐彈簧剛度一定，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度增大時，管道的顫振失穩(wěn)臨界流速會逐漸趨于平穩(wěn)，發(fā)散失穩(wěn)臨界流速下限值逐漸減小，上限值則逐漸增大，最后均趨于平穩(wěn)，而隨著支撐彈簧剛度的增大，發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界扭轉(zhuǎn)彈簧剛度會增大，發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域變??；

(3) 隨著質(zhì)量比的增加，顫振失穩(wěn)臨界流速逐漸增大，但發(fā)散失穩(wěn)流速不變，當(dāng)質(zhì)量比較小時，顫振失穩(wěn)流速會隨著支撐彈簧剛度的增大而增大，當(dāng)質(zhì)量比較大時，不再有這樣的規(guī)律；

(4) 地基剪切模量為零時，反力系數(shù)越大，發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速越大，相應(yīng)發(fā)散失穩(wěn)區(qū)域越來越小，發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速越來越大，而發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界無量綱支撐彈簧剛度也越來越大；

(5) 地基反力系數(shù)為零時，地基剪切模量越大，發(fā)生顫振失穩(wěn)的臨界流速越大，發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)的臨界流速越來越大，與地基反力系數(shù)對系統(tǒng)的影響不同，無論地基剪切模量取何值，都是只有支撐彈簧剛度大于某一特定值時才發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)。

參 考 文 獻(xiàn)

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