第一作者 項(xiàng)盼 男，博士，1985年生

通信作者 趙巖 男，副教授，1974年生

郵箱：yzhao@dlut.edu.cn

復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)分析的混合PC-PEM方法

項(xiàng)盼, 趙巖, 林家浩

(大連理工大學(xué) 運(yùn)載工程與力學(xué)學(xué)部 工業(yè)裝備與結(jié)構(gòu)分析國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，大連116023)

摘要：由于加工、制造等原因，實(shí)際結(jié)構(gòu)系統(tǒng)往往所具有很多不確定性，準(zhǔn)確評(píng)估隨機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為不僅具有實(shí)際意義，而且是近年來結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)理論的一個(gè)研究熱點(diǎn)。本文研究了同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)模型參數(shù)與所受外激勵(lì)載荷具有不確定性的復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)問題。結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性采用隨機(jī)變量模擬，外激勵(lì)載荷的不確定性采用隨機(jī)過程模擬，提出了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)評(píng)估的混合混沌多項(xiàng)式-虛擬激勵(lì)(PC-PEM)方法。數(shù)值算例研究了參數(shù)不確定性在21桿桁架中的傳播，討論了響應(yīng)的一階、二階統(tǒng)計(jì)矩，并同蒙特卡洛方法進(jìn)行對(duì)比表明提出方法的正確性和有效性。本文的工作對(duì)于考慮不確定的復(fù)雜裝備與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)分析具有很好的借鑒意義。

關(guān)鍵詞：不確定;PC展開;虛擬激勵(lì)法;Hermite多項(xiàng)式;隨機(jī)伽遼金法方法

基金項(xiàng)目：“973”國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃項(xiàng)目(2010CB832704)；大連理工大學(xué)理科基礎(chǔ)科研專題(DUT12LK50)

收稿日期：2014-11-08修改稿收到日期：2014-02-25

中圖分類號(hào):O324文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Hybrid PC-PEM for complex random vibration analysis

XIANGPan,ZHAOYan,LINJia-hao(State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Faculty of Vehicle Engineering and Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)

Abstract:Due to processing and manufacturing reasons, an actual structure system often has a lot of uncertainties. How to correctly assess dynamic behavior of an uncertain system not only has a practical significance, but also is a hot topic of structural dynamics theory in recent years. Here, the dynamic behavior of a structure with uncertain parameters under external random excitation was investigated. The uncertain parameters of the structure were taken as random variables, and the random excitations were taken as stochastic processes. The hybrid polynomial chaos and pseudo excitation method (PC-PEM) was proposed to evaluate the random vibration response of the uncertain structure. Finally, the proposed method was applied to evaluate the random response of a 21-bar truss with uncertain parameters. The first two orders statistical moments of its random response were discussed, and the correctness and effectiveness of the proposed method were verified by comparing the results of this method with those of Monte Carlo method. This study was of great significance for random vibration analysis of complex equipments and structures with uncertain parameters.

Key words: uncertainty; polynomial chaos (PC) expansion; pseudo excitation method (PEM); Hermite polynomial; random Galerkin method

由于加工、制造等一系列因素，實(shí)際工程結(jié)構(gòu)模型都具有大量不確定性。對(duì)于結(jié)構(gòu)響應(yīng)受不確定因素的影響，近年來日益獲得重視，并取得了豐碩的研究成果[1-3]。多項(xiàng)式混沌展開是最近二十年來發(fā)展的不確定系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的一種有效方法，其適用于固體力學(xué)、流體力學(xué)等不同研究領(lǐng)域。多項(xiàng)式混沌展開基于概率框架以正交多項(xiàng)式譜展開描述隨機(jī)量，對(duì)于隨機(jī)微分方程結(jié)合隨機(jī)伽遼金方法應(yīng)用多項(xiàng)式混沌展開描述解和輸入[4-5]。隨機(jī)伽遼金方法適合于常微分方程或者偏微分方程，其基本思想是應(yīng)用伽遼金投影使截?cái)嗾归_與耦合方程的解集誤差最小，并求解獲得展開系數(shù)完成不確定響應(yīng)評(píng)估。Jensen等[6-7]利用多項(xiàng)式展開法對(duì)響應(yīng)方差關(guān)于不確定參數(shù)進(jìn)行展開，分析了結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)下的復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)。Zhang[8]推導(dǎo)了隨機(jī)場(chǎng)的連續(xù)正交級(jí)數(shù)展開，并與Karhunen-Loeve展開進(jìn)行對(duì)比，用一階矩法進(jìn)行了結(jié)構(gòu)可靠性分析。李杰[9]由次序正交分解方法建立了隨機(jī)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析的擴(kuò)階系統(tǒng)方法，研究了隨機(jī)結(jié)構(gòu)在隨機(jī)荷載作用下的響應(yīng)變異。Schenk[10]對(duì)結(jié)構(gòu)幾何不確定建立了隨機(jī)場(chǎng)，通過隨機(jī)場(chǎng)正交分解進(jìn)行了圓柱殼的屈曲分析。Qu[11]提出一個(gè)高階數(shù)值方法用來求解具有隨機(jī)系數(shù)的斯托克斯方程，對(duì)于隨機(jī)輸入基于有限維Karhunen-Loeve分解技術(shù)，借助隨機(jī)伽遼金方法使隨機(jī)斯托克斯方程轉(zhuǎn)化為展開系數(shù)的確定性方程集，進(jìn)一步結(jié)合塊雅可比迭代技術(shù)求解該問題，并與理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。

以往基于多項(xiàng)式混沌展開進(jìn)行不確定系統(tǒng)分析，多數(shù)在時(shí)域上進(jìn)行，討論一條隨機(jī)載荷樣本。實(shí)際上，對(duì)于地震、風(fēng)、路面譜等隨機(jī)激勵(lì)外載，由于其隨機(jī)本質(zhì)，由隨機(jī)振動(dòng)理論直接進(jìn)行響應(yīng)的概率統(tǒng)計(jì)分析更具有實(shí)際價(jià)值。對(duì)于此類問題目前還存在一定困難，如：應(yīng)用隨機(jī)伽遼金方法通常獲得的耦合方程要遠(yuǎn)高于原系統(tǒng)的階數(shù)，如果仍然按照傳統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)理論完成功率譜等統(tǒng)計(jì)量分析，需要進(jìn)行大量的復(fù)矩陣運(yùn)算，具有高額的計(jì)算成本。本方法同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)模型參數(shù)與所受外激勵(lì)載荷具有不確定性的復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)問題。分別采用隨機(jī)變量和隨機(jī)過程模擬結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性及外激勵(lì)載荷的不確定性，并基于隨機(jī)伽遼金方法建立了結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)評(píng)估的混合混沌多項(xiàng)式-虛擬激勵(lì)法(PC-PEM)，提出的考慮不確定參數(shù)影響的虛擬響應(yīng)評(píng)估代理模型有效實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)不確定隨機(jī)響應(yīng)均值和方差的準(zhǔn)確評(píng)估。在數(shù)值算例中，研究了參數(shù)不確定性在21桿桁架中的傳播，討論了響應(yīng)的一階和二階統(tǒng)計(jì)矩，并同蒙特卡洛法進(jìn)行對(duì)比，表明了提出方法的正確性和有效性，本方法對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)雙隨機(jī)問題的理論分析與數(shù)值計(jì)算提供了一個(gè)可以借鑒的途徑。

1多項(xiàng)式混沌展開的基本方法

在概率框架下多項(xiàng)式混沌展開以正交多項(xiàng)式的譜展開形式描述隨機(jī)量，具有表達(dá)如下

(1)

式(1)可以簡化為

(2)

式中：bi為Fourier系數(shù)，ψi(ξ(θ))是ξ(θ)(定義為高斯隨機(jī)變量)的Hermite多項(xiàng)式排列組合乘積形式。Hermite多項(xiàng)式是在區(qū)間(-∞,∞)上帶權(quán)exp(-α2/2)的正交多項(xiàng)式，其表達(dá)式為[4]

(3)

2復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)分析混合PC-PEM方法

2.1不確定性分析的隨機(jī)伽遼金方法

考慮不確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)控制方程的一般形式

[L(t)+Π(ξ(θ),t)]u(t)=f(t)

(4)

式中：L(t)為確定的微分算子，Π(α(θ),t)為系數(shù)具有零均值隨機(jī)屬性微分算子。

(5)

引入誤差

(6)

如果式(6)表達(dá)的誤差函數(shù)與基底函數(shù)具有正交性(也可稱為投影)，也即

(7)

則利用式(7)，不確定動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)控制方程改寫為如下形式

(8)

基于截?cái)嗾归_與方程解集誤差最小原則，經(jīng)過伽遼金投影方法可以獲得一組確定性方程(見式(8))。

2.2復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)分析混合PC-PEM方法

在單源隨機(jī)載荷作用下，具有不確定參數(shù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

(9)

由隨機(jī)有限元理論，對(duì)于質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣的隨機(jī)部分可以表達(dá)為如下形式[6-7]

(10)

進(jìn)一步，式(9)可以改寫為

(11)

(12)

其中上標(biāo)“～”代表虛擬載荷作用下的不確定虛擬響應(yīng)。

由“2.1”，不確定虛擬響應(yīng)的多項(xiàng)式混沌展開為

(13)

式中，Γj為基底多項(xiàng)式，aj為對(duì)應(yīng)的系數(shù)向量，m為展開階數(shù)。

將上式代入式(12)，并進(jìn)行化簡有

(14)

應(yīng)用“2.1”節(jié)的隨機(jī)伽遼金方法，同時(shí)利用Hermite多項(xiàng)式的正交特性，最終可獲得以投影坐標(biāo)為未知向量的確定性方程組集。為表達(dá)簡便，采用Kronecker張量積表示為

(15)

2.3復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)矩評(píng)估

假定任意觀測(cè)的第i個(gè)虛擬響應(yīng)可表示為

(16)

這里系數(shù)aj,i已經(jīng)由上小節(jié)方法計(jì)算獲得；且基底多項(xiàng)式Γj也為已知。

由虛擬激勵(lì)法，其功率譜可以表達(dá)為

(17)

隨機(jī)振動(dòng)功率譜均值為

(18)

式中：cj為由多項(xiàng)式正交性獲得的常數(shù)。由式(18)可知,只要獲得投影坐標(biāo)的每一分量，則很容易計(jì)算隨機(jī)振動(dòng)功率譜均值。

進(jìn)一步，隨機(jī)振動(dòng)功率的二階中心矩可以表示為：

(19)

式(19)涉及多維隨機(jī)變量積分，不容易給出一個(gè)顯示表達(dá)式，在具體計(jì)算時(shí)可采用蒙特卡洛方法進(jìn)行數(shù)值積分，由于只對(duì)觀測(cè)響應(yīng)，其仍具有較高的效率。

利用式(16)并結(jié)合虛擬激勵(lì)法可以很容易獲得隨機(jī)振動(dòng)功率譜等響應(yīng)統(tǒng)計(jì)信息，所以也可稱式(16)為虛擬響應(yīng)評(píng)估代理模型。

3數(shù)值算例

如圖1所示21桿平面桁架，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)為：水平及豎向桿長均為5 m；各桿軸向剛度均為EF=3.0×104kN；不計(jì)自重，但在所有節(jié)點(diǎn)上均有1 000 kg的集中質(zhì)量；結(jié)構(gòu)的阻尼取為瑞利阻尼。

圖1　平面桁架 Fig.1 Plan truss

采用沿水平x方向慣性加速度激勵(lì)，采用Kanai-Tajimi譜，為

(20)

式中：ωg=15 rad·s-1和ξg=0.6分別為場(chǎng)地土的卓越頻率和阻尼比，S0=15.74 m2·s-3為基巖地震動(dòng)白噪聲強(qiáng)度。

假定桁架某些桿件彈性模量存在不確定性，采用混合PC-PEM方法進(jìn)行上述隨機(jī)地震載荷下該不確定桁架系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)分析。

假定具有不確定單元彈性模量的變異系數(shù)均為0.1，按照不同的觀測(cè)響應(yīng)與不同單元彈性模量發(fā)生變異分別進(jìn)行討論分析。工況1和工況2的觀測(cè)點(diǎn)為J點(diǎn)水平方向位移，不確定單元分別為9、10、15、16、20、21和5、8、12、15、17、20。工況3和工況4的觀測(cè)點(diǎn)為H點(diǎn)水平方向位移，不確定單元分別為11、12、13、16、17、20和5、8、10、15、16、21。圖2～圖5分別采用蒙特卡洛法(MC)和混合PC-PEM法計(jì)算了位移響應(yīng)功率譜的均值和均方差，并進(jìn)行了對(duì)比。為表達(dá)清楚，圖2～圖5采用了半對(duì)數(shù)坐標(biāo)。蒙特卡洛法(MC)樣本數(shù)取為1000；對(duì)于混合PC-PEM法，每一隨機(jī)變量Hermite多項(xiàng)式取為1階，其排列組合構(gòu)成混沌正交多項(xiàng)式的展開項(xiàng)數(shù)為7階。以圖2為例可以看出，對(duì)于觀測(cè)點(diǎn)J點(diǎn)水平方向位移功率譜無論是對(duì)于一階統(tǒng)計(jì)矩(均值)、還是二階統(tǒng)計(jì)矩(均方差)，MC法和混合PC-PEM法的計(jì)算結(jié)果都非常接近。對(duì)于圖3～圖5均有類似的結(jié)論。MC法對(duì)于每一樣本都需要重新生成剛度矩陣，并進(jìn)行動(dòng)剛度矩陣的求逆運(yùn)算；而混合PC-PEM法在獲得隨機(jī)虛擬響應(yīng)的代理模型后，即可應(yīng)用代理模型式(16)由式(18)和式(19)完成隨機(jī)振動(dòng)功率譜的統(tǒng)計(jì)矩分析。這里僅討論了一階、二階統(tǒng)計(jì)矩，實(shí)際對(duì)于更高階矩的分析也可類似完成。

圖2 工況1時(shí)J點(diǎn)水平方向位移功率譜Fig.2ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeJforcase1圖3 工況2時(shí)J點(diǎn)水平方向位移功率譜Fig.3ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeJforcase2圖4 工況3時(shí)H點(diǎn)水平方向位移功率譜Fig.4ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeHforcase3

圖5 工況4時(shí)H點(diǎn)水平方向位移功率譜Fig.5ThePSDofhorizontaldisplacementresponseatnodeHforcase4圖6 第6號(hào)單元內(nèi)力響應(yīng)功率譜Fig.6ThePSDofinternalforceresponseforelement6圖7 第9號(hào)單元內(nèi)力響應(yīng)功率譜Fig.7ThePSDofinternalforceresponseforelement9

另外，從圖2和圖3對(duì)比可知：對(duì)于工況1和工況2的功率譜均值統(tǒng)計(jì)量是非常一致的，但均方差統(tǒng)計(jì)量表現(xiàn)不同(圖4 和圖5同樣有類似的結(jié)論)。對(duì)此進(jìn)行了深入分析，實(shí)際上對(duì)于該算例，其不確定性系統(tǒng)的功率譜均值統(tǒng)計(jì)與確定性系統(tǒng)(不考慮結(jié)構(gòu)具有的隨機(jī)性)的功率譜相差不大，為節(jié)省篇幅，這里未列出具體對(duì)比結(jié)果圖。這種現(xiàn)象說明了在某些情況下，由確定性系統(tǒng)分析作為隨機(jī)系統(tǒng)分析的均值響應(yīng)是合理的。但此時(shí)也應(yīng)注意，由于系統(tǒng)參數(shù)不確定的傳播隨機(jī)振動(dòng)功率譜等響應(yīng)也是隨機(jī)量，如考慮更可靠的不確定估計(jì)，應(yīng)進(jìn)行其二階統(tǒng)計(jì)矩的分析，給出其可能偏離均值的范圍。

圖6和圖7給出了考慮不確定單元為5、8、12、15、17、20，變異系數(shù)均為0.1時(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)功率譜的分析結(jié)果。從圖中可知采用混合PC-PEM法計(jì)算的內(nèi)力功率譜響應(yīng)一、二階統(tǒng)計(jì)量與MC法計(jì)算結(jié)果仍具有非常好的一致性。同時(shí)也可以看出，與位移響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果相比，內(nèi)力響應(yīng)方差偏移均值的范圍要大一些，這說明其對(duì)于不確定因素更為敏感。

4結(jié)論

研究了復(fù)合隨機(jī)振動(dòng)問題，不僅考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)具有的不確定性，同時(shí)考慮結(jié)構(gòu)所受外激勵(lì)的隨機(jī)作用?；陔S機(jī)有限元理論采用隨機(jī)變量模擬結(jié)構(gòu)模型參數(shù)的不確定性，而外激勵(lì)載荷的不確定性應(yīng)用隨機(jī)過程進(jìn)行模擬。建立了同時(shí)考慮二種不確定的混合混沌多項(xiàng)式-虛擬激勵(lì)方法，可以有效地進(jìn)行不確性傳播對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)功率譜等響應(yīng)的影響。所取得的成果對(duì)于考慮不確定的復(fù)雜裝備與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng)分析具有很好的實(shí)際意義。

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