（西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，西安 710061）

數(shù)字電感轉(zhuǎn)換器（以下簡(jiǎn)稱傳感器）是一種新型的電渦流傳感器，其輸入值為導(dǎo)體相對(duì)線圈的位移量x，輸出值為線圈系統(tǒng)的并聯(lián)諧振阻抗的變化值經(jīng)傳感器內(nèi)置模數(shù)轉(zhuǎn)換模塊轉(zhuǎn)化而來(lái)的數(shù)字量y。傳感器的輸出值因與導(dǎo)體相對(duì)線圈的位移量的不同而不同，可以表示為位移量x的一元多項(xiàng)式，并采用多項(xiàng)式回歸[1]來(lái)建立數(shù)學(xué)模型。

為了獲得模型系數(shù)，典型的做法是在確定了多項(xiàng)式的階數(shù)后采用最小二乘法求出系數(shù)[2]。然而，模型階數(shù)的選擇卻沒(méi)有一個(gè)很好的解析方法。從理論上說(shuō)，階數(shù)越高，得到的擬合曲線越完美。但是，如果多項(xiàng)式的階數(shù)過(guò)高，雖然擬合效果好，但由于高階多項(xiàng)式Runge現(xiàn)象[3]的存在，導(dǎo)致擬合后的曲線不能很好地反映數(shù)據(jù)點(diǎn)變化的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，對(duì)于新的觀測(cè)點(diǎn)而言，它的預(yù)測(cè)功能就會(huì)變?nèi)?。而階數(shù)選擇過(guò)小，則會(huì)影響擬合效果。因此采用多項(xiàng)式模型進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合[4-6]時(shí)存在一個(gè)合理選擇階數(shù)的問(wèn)題。

有人提出自適應(yīng)最小二乘法來(lái)確定模型階數(shù)[7]，求解多項(xiàng)式系數(shù)。用最小二乘法求解系數(shù)是假設(shè)樣本的自變量是非隨機(jī)的，而樣本因變量y由于受到隨機(jī)擾動(dòng)量的影響而隨機(jī)波動(dòng)，即認(rèn)為散點(diǎn)之所以偏離線性方程完全是因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)在因變量的方向上下波動(dòng)而不是由于在自變量和因變量2個(gè)方向上波動(dòng)所共同造成的。鑒于此，提出一種基于幾何距離準(zhǔn)則[8-9]下的自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合方法求取散點(diǎn)的最佳擬合曲線。

1 幾何距離準(zhǔn)則下的自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合

1.1 幾何距離準(zhǔn)則

假定傳感器測(cè)量數(shù)據(jù)組（x，y）所滿足的n階多項(xiàng)式的模型形式為

令 x1=x，x2=x2，…，xn=xn，則式（1）可變?yōu)橐韵鲁矫妫?/p>

對(duì)數(shù)據(jù)組（x，y）擬合的實(shí)際問(wèn)題變?yōu)樵趎維空間中采用以上超平面進(jìn)行擬合數(shù)據(jù)。采用超平面的選擇標(biāo)準(zhǔn)為數(shù)據(jù)到超平面的距離平方和最小。

定義數(shù)據(jù)點(diǎn)到超平面的距離：

為數(shù)據(jù)點(diǎn)到超平面的幾何距離。

定義數(shù)據(jù)擬合的評(píng)價(jià)函數(shù)：

稱min J為幾何距離和最小準(zhǔn)則，簡(jiǎn)稱為幾何距離準(zhǔn)則。

1.2 算法步驟

采用多項(xiàng)式進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合前，為了使測(cè)量數(shù)據(jù)不影響擬合曲線的特性，在擬合前需對(duì)測(cè)量數(shù) 據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。 設(shè)數(shù)據(jù)對(duì)為原始數(shù)據(jù)（xi，yi）經(jīng)過(guò)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)，其中i=1，2，…，N。

1.2.1 算法思路

對(duì)于給定n階多項(xiàng)式模型，先在幾何距離準(zhǔn)則下求取模型參數(shù)，文獻(xiàn)[5]給出了在幾何距離準(zhǔn)則下求取模型參數(shù)的方法，這里不再贅述。對(duì)得到的擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行自適應(yīng)迭代，當(dāng)?shù)_(dá)到一定次數(shù)時(shí)，計(jì)算擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的RMS值，RMS越小，擬合數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)越接近，擬合效果越好[10]。逐階執(zhí)行這一過(guò)程。選擇RMS最小時(shí)的n作為數(shù)據(jù)的最佳擬合曲線的階數(shù)。實(shí)際中，高階多項(xiàng)式不穩(wěn)定，所以此算法中n的取值在2～10之間。綜合以上思路，給出算法基本流程如圖1所示。

圖1 算法流程Fig 1 Flow chart of algorithm

1.2.2 自適應(yīng)過(guò)程

2 仿真實(shí)驗(yàn)

2.1 數(shù)據(jù)采集

根據(jù)傳感器工作原理可知，位移量的變化引起傳感器中并聯(lián)諧振阻抗變化，這種變化經(jīng)過(guò)傳感器自帶的LDC1000模數(shù)轉(zhuǎn)換后保存在寄存器中。本次數(shù)據(jù)采集設(shè)定傳感器線圈為默認(rèn)線圈，由于傳感器可感應(yīng)的最大感應(yīng)距離為傳感器線圈的直徑，因此設(shè)定導(dǎo)體相對(duì)線圈位移量變化范圍為0～3 mm，每次測(cè)量調(diào)整位移間隔量為0.1 mm，記錄軟件顯示穩(wěn)定時(shí)的y值。來(lái)回反復(fù)測(cè)量50組，取平均值后記錄如表1所示。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值Tab.1 Average of the measurement data

表1中，x為導(dǎo)體相對(duì)線圈的位移量，單位mm；y為傳感器穩(wěn)定后對(duì)線圈系統(tǒng)的并聯(lián)諧振阻抗經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換后的顯示值，無(wú)量綱。傳感導(dǎo)體材料為鐵，形狀為頂面螺旋上升的柱體。受趨膚效應(yīng)的影響，導(dǎo)體在感應(yīng)點(diǎn)x=0.0 mm、0.1 mm、0.2 mm及3.0 mm 4個(gè)點(diǎn)處所記錄的數(shù)據(jù)誤差比較大，該誤差為實(shí)際誤差，為了數(shù)據(jù)的可靠性，剔除這4個(gè)位移量的測(cè)量數(shù)據(jù)。其余所給出的測(cè)量數(shù)據(jù)為可靠數(shù)據(jù)，可用于數(shù)據(jù)擬合。

2.2 算法仿真

算法仿真基于Matlab軟件仿真平臺(tái)，選取參量T 分別為 1，10，40，70，100， 多項(xiàng)式次數(shù) n 取 2～10。仿真結(jié)果如表2所示。

表2中，實(shí)際仿真程序采用了2～10次多項(xiàng)式擬合。其中n=7，9，10的情況，不符合擬合條件，故認(rèn)為數(shù)據(jù)不適合采用該多項(xiàng)式擬合，故未列出。分析 n=2，3，4，5，6，8 時(shí)的情況，除了在 T=1 時(shí)，n=2 時(shí)RMS值比n=3時(shí)RMS值小，其余情況均為n=3時(shí)RMS最小?？梢哉J(rèn)為3次多項(xiàng)式擬合曲線為數(shù)據(jù)的最佳擬合曲線。

表2 T值與n值不同時(shí)擬合數(shù)據(jù)與測(cè)量數(shù)據(jù)的RMS值Tab.2 RMS value between fifting data and measurement data when T and n is diffent

為進(jìn)一步分析3次多項(xiàng)式對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果，給出在n=3時(shí)不同的迭代次數(shù)下擬合曲線圖 （圖2），以及迭代100次時(shí)，擬合曲線與原始數(shù)據(jù)的RMS值的變化圖（圖3）。

圖2 n=3時(shí)，不同的迭代次數(shù)下的擬合曲線Fig.2 Fitting curve when n=3 and T is different

圖3 n=3 T=100時(shí)的RMS散點(diǎn)Fig.3 When n=3 T=100 RMS scatter plot

通過(guò)圖3可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加擬合曲線與原始曲線的RMS值不斷的變小，當(dāng)在T=100左右的時(shí)候，基本趨近于平穩(wěn)。這種變化在圖2中隨著迭代的增加，擬合曲線與原始數(shù)據(jù)逐步逼近趨勢(shì)相一致。圖2和圖3充分驗(yàn)證了該算法的可行性，證明了該算法所得到的多項(xiàng)式擬合曲線為最優(yōu)擬合曲線。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了在幾何距離平方和最小準(zhǔn)則下自適應(yīng)數(shù)據(jù)擬合方法對(duì)傳感器靜態(tài)標(biāo)定數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行散點(diǎn)擬合，通過(guò)仿真驗(yàn)證，該算法合理可行，具有較快的收斂速度。

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