馬耀勇

一、已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)解三角形的個(gè)數(shù)的探討

在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對(duì)角A，解三角形時(shí)，解的個(gè)數(shù)有哪些情況？

問(wèn)題相當(dāng)于：在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對(duì)角A畫(huà)三角形時(shí)，能畫(huà)多少個(gè)三角形？

畫(huà)法：（1）畫(huà)∠MAN等于已知角A；

（2）在射線AM上截取AC=b；

（3）以C為圓心、a為半徑畫(huà)弧，交射線AN于點(diǎn)B（交點(diǎn)B的個(gè)數(shù)決定畫(huà)出的三角形的個(gè)數(shù)），則△ABC就是要畫(huà)的三角形。

1.當(dāng)A為銳角時(shí)：

（1）當(dāng)a

（2）當(dāng)a=bsinA時(shí)，畫(huà)出唯一的三角形，如圖（2），只有一個(gè)解；

（3）當(dāng)bsinA

（4）當(dāng)a≥b時(shí)，畫(huà)出唯一的三角形，如圖（4），只有一個(gè)解.

2.當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)：

（1）當(dāng)a≤b時(shí)，無(wú)解，如圖（5）、圖（6）；

（2）當(dāng)a>b時(shí)，一個(gè)解，如圖（7）、圖（8）。

記憶方法：解的個(gè)數(shù)判定方法一

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)；

（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí).

當(dāng)已知角的對(duì)邊是大邊，有一解，否則，無(wú)解。

在△ABC中，已知兩邊a、b和其中邊a的對(duì)角A解三角形，解的個(gè)數(shù)的判定方法還可以用下面方法：

方法二：由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得到以第三邊c為未知數(shù)的一元二次方程，此方程正數(shù)解的個(gè)數(shù)即為三角形解的個(gè)數(shù)。

已知a，b，A，由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得

c²-（2bcosA）c+b²=a²=0，

（l）若方程無(wú)解或無(wú)正數(shù)解，則三角形無(wú)解；

（2）若方程有唯一正數(shù)解，則三角形有一解；

（3）若方程有兩個(gè)不同的正數(shù)解，則三角形有兩解。

二、已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)三角形解的個(gè)數(shù)判定方法應(yīng)用舉例

1.已知三角形兩邊及其中一邊的對(duì)角時(shí)判定解的個(gè)數(shù)。

例1：在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，根據(jù)下列條件，不解三角形判斷有幾組解？