第一作者朱熀秋男，博士，教授 博士生導(dǎo)師，1964年生

基于磁鏈耦合分析的無軸承永磁同步電機(jī)通用數(shù)學(xué)模型

朱熀秋，秦英,鞠金濤，李發(fā)宇

(江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

摘要：由于無軸承永磁同步電機(jī)內(nèi)部有兩套極對數(shù)不等的定子繞組(即轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組)，所以電機(jī)氣隙內(nèi)存在著轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場與懸浮力繞組氣隙磁場兩種極對數(shù)不等的磁場。對轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組之間的磁鏈耦合情況的分析，是建立精確數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。通過應(yīng)用機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換方法詳細(xì)分析了不同極對數(shù)下轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組之間的磁鏈交鏈情況，并證明了當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=1，懸浮力繞組極對數(shù)PB=2(或PM=2，PB=1)時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間相互耦合。當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB= PM±1時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間沒有相互交鏈，該證明方法概念清晰、簡單直觀、便于理解。同時(shí)基于該證明結(jié)論建立了當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB= PM±1時(shí)的無軸承永磁同步電機(jī)的通用數(shù)學(xué)模型。所提出的通用數(shù)學(xué)模型為無軸承永磁同步電機(jī)仿真與實(shí)驗(yàn)研究提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：無軸承永磁同步電機(jī);磁鏈分析;數(shù)學(xué)建模;仿真和實(shí)驗(yàn)研究

基金項(xiàng)目：國家863項(xiàng)目(2007AA04Z213)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60974053)；江省高?？蒲谐晒a(chǎn)業(yè)化推進(jìn)工程資助項(xiàng)目(JHB2012-39)；江蘇高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程項(xiàng)目(蘇政辦發(fā)[2011]6號)

收稿日期：2014-09-09修改稿收到日期：2015-01-30

中圖分類號:TM346

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.032

Abstract:A bearingless permanent magnet synchronous motor(BPMSM) has two sets of stator windings with different pole-pairs, namely, torque winding and suspension force winding, so there are two types of air-gap magnetic fields, torque winding’s and suspension force winding’s with different pole-pairs in the motor. The analysis of the flux linkage interaction between the two sets of windings is the foundation of set up the precise mathematical model of the motor. Here, applying the mechanical/electrical transformation method, the flux linkage interaction between torque winding and suspension force winding was analyzed in datail. It was proved that when the pole-pairs of torque winding and suspension force winding are PM=1 and PB=2, respectively(or PB=1, PM=2), the magnetic chains of the torque winding and suspension force winding are mutual coupled; when both the pole-pairs of torque winding and suspension force winding PM and PB are greater than or equal to 2 and satisfy the relationship PB= PM±1, the phenomenon of the flux linkage interaction between torque winding and suspension force winding does not exist this proof method is simple, intuitive and easy to understand with a clear concept; furthermore, the general mathematical model of BPMSM is built based on the conclusion proved abrove. The general mathematical model proposed for BPMSM provided a the oretical basis for simulation and experimental study of BPMSM.

General model of BPMSM based on flux linkage interaction analysis

ZHUHuang-qiu,QINYing,JUJin-tao,LIFa-yu(School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu University, Zhenjiang 212013, China)

Key words:BPMSM; magnetic chain analysis; mathematical modeling; simulation and experimental study

無軸承永磁同步電機(jī)是一種集傳統(tǒng)永磁同步電機(jī)與磁懸浮軸承功能于一體的新型電機(jī)。繼承了永磁同步電機(jī)功率密度大、功率因數(shù)高、效率高的優(yōu)良性能，并具備了磁懸浮軸承無機(jī)械摩擦、不需潤滑、無污染、壽命長、免維護(hù)的特點(diǎn)。近年來隨著電力電子技術(shù)、數(shù)字信號處理技術(shù)、現(xiàn)代控制理論的迅速發(fā)展，無軸承永磁同步電機(jī)理論和相關(guān)技術(shù)得到了不斷發(fā)展與完善，在密封泵、高速精密機(jī)械加工、航空航天、飛輪儲能、生命科學(xué)、真空技術(shù)等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景[1-6]。

由于電機(jī)氣隙內(nèi)存在著轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場與懸浮力繞組氣隙磁場兩種極對數(shù)不等的磁場，因此，對轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組之間的磁鏈耦合情況的分析，是建立精確數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[7]通過實(shí)驗(yàn)確定了由電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組交鏈的磁鏈方程，從而得出電機(jī)的電磁能數(shù)學(xué)表達(dá)式，再對該電磁能表達(dá)式求偏導(dǎo)數(shù)得出轉(zhuǎn)子受到的徑向力的表達(dá)式。該方法利用了虛位移原理求解磁場力性質(zhì)的徑向力，是推導(dǎo)無軸承電機(jī)徑向力表達(dá)式的一種簡捷方法，但其實(shí)驗(yàn)測量引起的誤差比較大。文獻(xiàn)[8]不僅給出了通過對電機(jī)電磁能求偏導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)徑向力與電磁轉(zhuǎn)矩的一般性公式。這種方法是推導(dǎo)無軸承電機(jī)徑向力數(shù)學(xué)表達(dá)式的基本方法，但是概念不太直觀，難以理解。文獻(xiàn)[9]提出了機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換的概念，基于該概念建立了無軸承永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型，建模概念清晰、簡單直觀、易于理解。但其所建立的數(shù)學(xué)模型只針對PM=2，PB=3這一種情況，并沒有對不同極對數(shù)下的轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組磁鏈之間的耦合情況作詳細(xì)的分析，也沒有詳細(xì)分析此數(shù)學(xué)模型的適用范圍，且其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明電機(jī)在低速運(yùn)行時(shí)，轉(zhuǎn)子在平衡位置處振蕩較大，懸浮效果不是特別理想。

本文通過應(yīng)用機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換方法詳細(xì)分析了轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組之間的磁鏈交鏈情況，并證明了當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=1，PB=2或PM=2，PB=1時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間相互交鏈。當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB=PM±1時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間沒有相互交鏈。同時(shí)基于該證明結(jié)論建立了當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB=PM±1時(shí)的無軸承永磁同步電機(jī)的通用數(shù)學(xué)模型。

1BPMSM懸浮原理

無軸承電機(jī)徑向懸浮力產(chǎn)生的實(shí)質(zhì)是由于懸浮力繞組產(chǎn)生的磁場打破了原有轉(zhuǎn)矩繞組建立的氣隙磁場的平衡，從而產(chǎn)生作用在轉(zhuǎn)子側(cè)的徑向懸浮力。設(shè)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)為pM，懸浮力繞組極對數(shù)為PB，理論與實(shí)踐證明：當(dāng)懸浮繞組通電產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場與轉(zhuǎn)矩繞組產(chǎn)生的磁場滿足：①PB=PM±1；②兩個(gè)磁場的旋轉(zhuǎn)方向一致;③產(chǎn)生磁場的電流頻率一樣時(shí)，兩個(gè)磁場產(chǎn)生的合磁場，相互作用使無軸承電機(jī)的轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮和運(yùn)轉(zhuǎn)。

1.轉(zhuǎn)矩繞組,2.懸浮力繞組,3.轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈，4.懸浮力繞組磁鏈，5.磁場增強(qiáng)點(diǎn)，6.磁場減弱點(diǎn) 圖1　電機(jī)轉(zhuǎn)子在不平衡磁場中受力示意圖 Fig.1 Sketches of forces on motor’s rotor in unbalanced magnetic filed

當(dāng)PM=1且PB=2時(shí)，無軸承電機(jī)轉(zhuǎn)子的受力情況見圖1，其中，大尺寸繞組為轉(zhuǎn)矩繞組，小尺寸繞組為懸浮繞組。圖1(a)中標(biāo)于轉(zhuǎn)子表面上的力為轉(zhuǎn)子受到的麥克斯韋力，從圖中可以看出，此時(shí)轉(zhuǎn)子受到的麥克斯韋力的合力方向?yàn)樨Q直向上，也即轉(zhuǎn)子受到了豎直向上的徑向力的作用。圖1 (b)中標(biāo)于繞組上的力為轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮繞組受到的洛倫茲力，與之分別對應(yīng)于轉(zhuǎn)子表面上的力為其反作用力，可以看出，作用于轉(zhuǎn)子上的這兩部分的合力相反，總的合力為水平向上，說明轉(zhuǎn)子受到了豎直向上的徑向力的作用。無軸承正是在這兩個(gè)主要的徑向力的作用下實(shí)現(xiàn)了懸浮。

2無軸承永磁同步電機(jī)兩套繞組之間磁鏈交鏈情況分析

無軸承永磁同步電機(jī)具有兩套定子繞組即：轉(zhuǎn)矩繞組、懸浮力繞組，對這兩套繞組之間磁鏈交鏈情況的分析是建立無軸承永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。本文引入“機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換”概念，在一個(gè)機(jī)械角度周期內(nèi)建立的兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系稱為“機(jī)械坐標(biāo)系”(如圖2(a)中doq，圖3(a)中doq，),在一個(gè)電氣角度周期內(nèi)建立的兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系稱為“電氣坐標(biāo)系”(如圖2(d)中d1oq1，如圖3(d)中d1oq1)將一個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系變換為若干電氣坐標(biāo)系的過程稱為“機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換”。本文通過應(yīng)用機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換方法分析當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)pM與懸浮力繞組極對數(shù)為PB滿足PB=PM±1時(shí)兩套繞組之間磁鏈交鏈的情況。

2.1當(dāng)pM=1，PB=2時(shí)無軸承永磁同步電機(jī)磁鏈分析

當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)pM=1，懸浮力繞組極對數(shù)PB=2時(shí)，無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組機(jī)械坐標(biāo)系見圖2(a)，圖2(b)、2(c)所示為懸浮力繞組兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系。在懸浮力繞組兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下有：

iBd=iBcos(θB)iBq=iBsin(θB)ψB=LBiB

ψBd=ψBcos(θB)=LBiBcos(θB)=LBiBd

ψBq=ψBsin(θB)=LBiBsin(θB)=LBiBq

(1)

由圖2(a)通過機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換得到的轉(zhuǎn)矩繞組電氣坐標(biāo)系見圖2(d)，其中ψB在該坐標(biāo)系的d軸和q軸上的分量分別為：ψBcos(PMθ)-ψBcos(PMθ)=0與ψBsin(PMθ)-ψBsin(PMθ)=0。因此，轉(zhuǎn)矩繞組的磁鏈方程為:

ψMd=LMiMd+ψPMψMq=LMiMq

(2)

式中:iMd=iMcos(θM),iMq=iMsin(θM),iM為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩繞組電流，見圖3(b)。

懸浮力繞組的機(jī)械坐標(biāo)系見圖3(a)，圖3(b)、3(c)所示為轉(zhuǎn)矩繞組兩相坐標(biāo)系。在轉(zhuǎn)矩繞組兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下有：

iMd=iMcos(θM)iMq=iMsin(θM)ψM=LMiM

ψMd=ψMcos(θM)=LMiMcos(θM)=LMiMd

ψMq=ψMsin(θM)=LMiMsin(θM)=LMiMq

(3)

若θM=0，則圖3(a)中θ為轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場相對于懸浮繞組氣隙磁場的轉(zhuǎn)角(與圖2(a)相對應(yīng)，此時(shí)θ為正值)。由圖3(a)通過機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換得到的懸浮力繞組第一電氣坐標(biāo)系見圖3(d)，其中，ψM在該坐標(biāo)系的d軸和q軸上的分量分別為ψMcos(PBθ)與ψMsin(PBθ)。從圖3(a)可以看出，通過機(jī)械/電氣坐標(biāo)變換得到的懸浮力繞組第二電氣坐標(biāo)系中將沒有ψM及其分量。由以上分析可知，懸浮力繞組的磁鏈方程為：

ψBd=LBiBd+ψMcos(PBθ)

ψBq=LBiBq+ψMsin(PBθ)

(4)

由式(2)和式(4)可知：當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)pM=1，懸浮力繞組極對數(shù)PB=2時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組的磁鏈不受懸浮力繞組磁鏈的影響，而懸浮力繞組的磁鏈卻受到轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈的影響，即轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組磁鏈相互耦合。同理可以分析得出當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)pM=2，懸浮力繞組極對數(shù)PB=1時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組的磁鏈?zhǔn)軕腋×@組磁鏈的影響，而懸浮力繞組的磁鏈卻不受到轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈的影響，即轉(zhuǎn)矩繞組和懸浮力繞組磁鏈相互耦合。

圖2　無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組機(jī)械/電氣變換示意圖 Fig.2 Sketches of mechanical to electrical coordinate transformation in torque windings of BPMSM

圖3　無軸承永磁同步電機(jī)懸浮力繞組機(jī)械/電氣變換示意圖 Fig.3 Sketches of mechanical to electrical coordinate transformation in suspension force windings of BPMSM

2.2當(dāng)pM=m，PB= m+1(pM≥2)時(shí)無軸承永磁同步電機(jī)磁鏈分析

定義θM為轉(zhuǎn)矩繞組每個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系的機(jī)械角度θM=360°/m；定義θB為懸浮力繞組每個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系的機(jī)械角度θB=360°/(m±1)；定義θψM為轉(zhuǎn)矩繞組相鄰兩磁鏈之間的機(jī)械角度θψM=360°/m；定義θψB為懸浮力繞組相鄰兩磁鏈之間的機(jī)械角度θψB=360°/(m±1)；θ為懸浮繞組氣隙磁場相對于轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場的轉(zhuǎn)角(如圖所示)，由于懸浮力繞組氣隙磁場相對于轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場的機(jī)械角速度為(ω/(m+1))-ω/(m)=-ω/m(m+1)，因此θ為負(fù)值且θ的取值范圍為-360°/(m+1)≤θ≤0。虛擬坐標(biāo)系: 此坐標(biāo)系可能存在也可能不存在(見圖4、5中虛線)，其是否存在取決于相應(yīng)繞組極對數(shù)的大小。若轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=m=2，此時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組的第m個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系和第2個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系重合，轉(zhuǎn)矩繞組的第3個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系并不存在。若轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=m=3時(shí)，此時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組的第m個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系和第3個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系重合，由此可見轉(zhuǎn)矩繞組的第3個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系可能存在也可能不存在，所以將轉(zhuǎn)矩繞組的第3坐標(biāo)系定義為虛擬坐標(biāo)系。以此類推轉(zhuǎn)矩繞組的第4、5、6…m-1機(jī)械坐標(biāo)系均可定義為虛擬坐標(biāo)系。虛擬磁鏈：此磁鏈可能存在也可能不存在(見圖4、5中虛線)，其是否存在取決于相應(yīng)繞組極對數(shù)的大小。若轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=m=2且懸浮力繞組極對數(shù)PB=PM+1= 3，此時(shí)懸浮力繞組磁鏈ψBm+1的方向與磁鏈ψB3方向重合，ψB4并不存在；若PM=m=3時(shí)PB=4，此時(shí)懸浮力繞組磁鏈ψBm+1的方向與磁鏈ψB4方向重合ψB4存在，由此可見懸浮繞組磁鏈ψB4可能存在也可能不存在，所以將ψB4定義為虛擬磁鏈。同理可將懸浮力繞組磁鏈ψB5，ψB6,…,ψBm定義為虛擬磁鏈。

因?yàn)閼腋×@組極對數(shù)PB=PM+1且懸浮力繞組磁鏈ψB在轉(zhuǎn)矩繞組機(jī)械坐標(biāo)系中均勻分布，所以在轉(zhuǎn)矩繞組的某個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系中一定同時(shí)存在2個(gè)方向的懸浮力繞組磁鏈ψB，但不可能在此機(jī)械坐標(biāo)系中同時(shí)存在3個(gè)或3個(gè)以上方向的懸浮力繞組磁鏈ψB，證明過程如下：定義第n(2≤n≤m+1)個(gè)懸浮力繞組磁鏈ψBn與轉(zhuǎn)矩繞組第n-1個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系d軸的夾角為θn-1，若第n-1個(gè)轉(zhuǎn)矩繞組機(jī)械坐標(biāo)系中同時(shí)存在第n和第n+1這兩個(gè)懸浮力繞組磁鏈ψBn、ψBn+1，則θM-θn-1-θψB>0。由于ψBn+1存在于轉(zhuǎn)矩繞組第n-1個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系中，ψBn+1與轉(zhuǎn)矩繞組第n個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系d軸之間的夾角θn定小于0，所以ψBn+2與轉(zhuǎn)矩繞組第n個(gè)坐標(biāo)系d軸之間的夾角為正且在轉(zhuǎn)矩繞組的第n個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)，則

θM-θψB-θn=θM-(-(θM-θψB-θn-1)+θψB)=

(θM-θψB-θn-1)+(θM-θψB)

(5)

同理

θM-θψB-θn+1=θM-(-(θM-θψB-θn)+θψB)=

(θM-θψB-θn)+(θM-θψB)

(6)

由以上推導(dǎo)過程可知：當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組第n-1個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系同時(shí)存在兩個(gè)懸浮力繞組磁鏈ψBn、ψBn+1時(shí)，θM-θn-1-θψB的大小隨著n的增大而增大且n每增加1，θM-θn-1-θψB增加的角度為θM-θψB，所以θM-θn-1-θψB的最大值是θM-θM-θψB。因此，求使得式θM-θn-1-θψB>0成立的最小整數(shù)n，即可求得在轉(zhuǎn)矩繞組第(n-1)個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)同時(shí)存在兩個(gè)懸浮繞組磁鏈ψBn、ψBn+1。

圖4　無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組機(jī)械坐標(biāo)系 Fig.4 Torque winding machine coordinate system of BPMSM

因?yàn)榈趖-1(2≤t≤m)個(gè)懸浮力繞組磁鏈方向與第t+1個(gè)懸浮力繞組磁鏈方向之間的夾角為2×θψB=2×360/(m+1)，且2×θψB-θM=2×360/(m+1)- 360/m=360(m-1)/(m×(m+1))，由式可知當(dāng)m≥2時(shí)2×θψB-θM>0恒成立，所以在轉(zhuǎn)矩繞組任一機(jī)械坐標(biāo)系中不可能同時(shí)存在連續(xù)3個(gè)方向的懸浮力繞組磁鏈。

(7)

令360+mθ=t則原式變?yōu)?/p>

(8)

若兩個(gè)懸浮力繞組磁鏈同時(shí)存在于轉(zhuǎn)矩繞組第n(1≤n

懸浮力繞組的極對數(shù)PB=PM+1，所以在m+1個(gè)懸浮繞組機(jī)械坐標(biāo)系中均勻的分布著m個(gè)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈，所以在懸浮力繞組的某個(gè)機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)不存在轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈(見圖5)。θ1=-θ則0≤θ1≤360°/(m+1)，ψM1在懸浮繞組第1機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)夾角為θ1，ψM2在懸浮繞組第2機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)夾角為

(9)

…

ψMn在懸浮繞組第n機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)夾角為

θ1+(n-1)×θψM-(n-1)×θB=

(10)

…

ψMm在懸浮繞組第m機(jī)械坐標(biāo)系內(nèi)夾角為

θ1+(m-1)×θψM-(m-1)×θB=

(11)

ψM1cos((m+1)θ1)+

(12)

圖5　無軸承永磁同步電機(jī)懸浮繞組機(jī)械坐標(biāo)系 Fig.5 Suspension force winding machine coordinate system of BPMSM

令(m+1)θ1=t則原式變?yōu)?/p>

(13)

(14)

由以上推導(dǎo)過程可知當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組PM=m，PB=m+1(PM≥2)時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈和懸浮力繞組磁鏈之間沒有相互耦合；同理可證當(dāng)PM=m，PB=m-1(PM≥2且PM≥2)時(shí)無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈和懸浮繞組磁鏈之間沒有相互交鏈。綜上所述，當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組PM=m，PB=m±1 (PM≥2且PM≥2)時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈和懸浮繞組磁鏈之間沒有耦合關(guān)系。所以有：

ψMd=LMiMd+ψPMψMq=LMiMq

(15)

ψBd=LBiBdψBq=LBiBq

(16)

3基于磁鏈耦合分析的無軸承永磁同步電機(jī)通用數(shù)學(xué)模型

無軸承永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型需要包括轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈方程、懸浮力繞組磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩繞組電壓方程、懸浮力繞組電壓方程、電磁轉(zhuǎn)矩方程與徑向懸浮力方程等6個(gè)主要方程。由以上分析可知當(dāng)當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB=PM±1時(shí)無軸承永磁同步電機(jī)的轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮繞組的磁鏈方程分別為：

ψMd=LMiMd+ψPMψMq=LMiMq

(17)

ψBd=LBiBdψBq=LBiBq

(18)

當(dāng)電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，且轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮，此時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組的電壓方程分別為：

uMd=-PMωψMq+RMiMd

uMq=PMωψMd+RMiMq

(19)

式中:RM為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)矩繞組電阻。

uBd=-PMωψBq+RBiBd

uBq=PMωψBd+RBiBq

(20)

式中:RB為兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的懸浮力繞組電阻。

對于表貼式無軸承永磁同步電機(jī)，當(dāng)轉(zhuǎn)子處于中心位置時(shí)，無軸承永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式應(yīng)與普通永磁同步電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩表達(dá)式一致，其方程為:

Tem=PMψPMiMq

(21)

無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子受到的徑向力包括三部分：轉(zhuǎn)子在電機(jī)氣隙磁場中受到的麥克斯韋力構(gòu)成的徑向力、載流轉(zhuǎn)矩繞組在懸浮力繞組氣隙磁場中受到的洛侖茲力與載流懸浮力繞組在轉(zhuǎn)矩繞組氣隙磁場中受到的洛侖茲力的作用于轉(zhuǎn)子的反作用力構(gòu)成的徑向力及由于轉(zhuǎn)子偏心引起氣隙磁場分布不均而產(chǎn)生的徑向力。所以無軸承永磁同步電機(jī)的徑向懸浮力方程為[10]:

(22)

式中:km、kc與kq均為常數(shù)，IPM為轉(zhuǎn)子永磁體激勵的磁場等效至轉(zhuǎn)矩繞組中的電流部分。

4仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

無軸承永磁同步電機(jī)采用轉(zhuǎn)子磁場定向控制策略，其矢量控制系統(tǒng)框圖見圖6。采用Matlab/simulink對所建的無軸承永磁同步電機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真研究。

圖6　無軸承永磁同步電機(jī)控制系統(tǒng)框圖 Fig.6 A digital control block diagram of BPMSM

圖7、8為無軸承永磁同步電機(jī)在徑向懸浮力作用下x、y方向的徑向位移圖，圖9為無軸承永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡圖。從圖中可以看出轉(zhuǎn)子最終能夠?qū)崿F(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

本文實(shí)驗(yàn)是在無軸承永磁同步電機(jī)數(shù)字實(shí)驗(yàn)平臺上完成的。實(shí)驗(yàn)樣機(jī)參數(shù)如下：功率1 kW，電機(jī)氣隙2 mm，電機(jī)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)2， 36槽，電阻2.01 Ω，直軸和交軸電感0.008 H，轉(zhuǎn)動慣量0.007 69 kg·m2，懸浮繞組極對數(shù)3，電阻1.03 Ω，輔助機(jī)械軸承氣隙0.5 mm(見圖10)，實(shí)驗(yàn)波形如圖11～圖13所示。

圖7 x方向的徑向位移Fig.7Theradicaldisplacementofxdirection圖8 y方向的徑向位移Fig.8Theradicaldisplacementofydirection圖9 轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡圖Fig.9Rotortrajectoryfigure

圖10　BPMSM數(shù)字實(shí)驗(yàn)平臺 Fig.10 BPMSM digital experimental platform

從圖11可以看出電機(jī)能夠在3 000 r/min的轉(zhuǎn)速下穩(wěn)定運(yùn)行，從圖12、13可以看出，產(chǎn)生的徑向懸浮力能夠?qū)⑥D(zhuǎn)子限制在中心位置附近做往復(fù)運(yùn)動，其穩(wěn)態(tài)懸浮精度在±40 μm左右，再通過調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，將會使運(yùn)動幅度進(jìn)一步降低，最終實(shí)現(xiàn)電機(jī)的穩(wěn)定懸浮運(yùn)行。

圖11 3000r/min時(shí)轉(zhuǎn)速波形圖Fig.11Speedwaveofmotorstableoperationto3000r/min圖12 轉(zhuǎn)速為3000r/min時(shí)轉(zhuǎn)子x,y方向徑向位移波形Fig.12Theradicaldisplacementofx,ydirectionofBPMSMStableoperationto3000r/min圖13 轉(zhuǎn)速為3000r/min時(shí)x,y方向徑向位移關(guān)系波形Fig.13Therelationshipbetweenradicaldisplacementofx,ydirectionofBPMSMStableoperationto3000r/min

5結(jié)論

本文通過應(yīng)用機(jī)械/電氣坐標(biāo)系變換方法詳細(xì)分析了轉(zhuǎn)矩繞組與懸浮力繞組之間的磁鏈交鏈情況，并證明了當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM=1，PB=2或PM=2，PB=1時(shí)轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間相互交鏈。當(dāng)轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB=PM±1時(shí)，轉(zhuǎn)矩繞組磁鏈ψM與懸浮力繞組磁鏈ψB之間沒有相互交鏈?；谠撟C明結(jié)論給出了轉(zhuǎn)矩繞組極對數(shù)PM與懸浮力繞組極對數(shù)PB均大于等于2且滿足PB=PM±1時(shí)無軸承永磁同步電機(jī)的通用的數(shù)學(xué)模型，該通用數(shù)學(xué)模型為無軸承永磁同步電機(jī)仿真與實(shí)驗(yàn)研究提供了理論依據(jù)。

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