第一作者熊天紅女，講師，1977年生

通信作者包伯成男，博士，教授，1966年生

超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)特性研究

熊天紅1,包伯成2

(1.南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 南京210094; 2.常州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院, 江蘇常州213164)

摘要：通過對超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)描述，采用分段線性滑行力函數(shù)擬合復(fù)雜非線性滑行力函數(shù)，構(gòu)建了超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)模型，獲得以反饋控制增益為可變參數(shù)的四維混沌系統(tǒng)．利用相軌圖、龐加萊映射、分岔圖和Lyapunov指數(shù)等動(dòng)力學(xué)分析工具，分析不同反饋控制增益變化時(shí)系統(tǒng)復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。結(jié)果表明，超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)行為依賴于各個(gè)閉環(huán)控制增益，隨著這些參數(shù)的變化，系統(tǒng)存在分岔、混沌、周期窗、共存吸引子和不完全費(fèi)根鮑姆樹等奇異的非線性物理現(xiàn)象；合理選擇反饋增益，能夠?qū)崿F(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行。研究結(jié)果將對超空泡航行體反饋控制器的設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞：分岔；混沌；閉環(huán)控制；超空泡航行體

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金(51277017);江蘇省自然科學(xué)基金(BK2012583);國家自然科學(xué)基金青年基金(11402116)

收稿日期：2014-05-27修改稿收到日期：2015-01-13

中圖分類號:O322

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.17.028

Abstract:By describing dynamics of supercavitating vehicles and utilizing a piecewise-linear sliding force function to fit a complex nonlinear sliding force function, a closed-loop control dynamic model for a supercavitating vehicle was constructed, a four-dimensional chaotic system with feedback control gains as variable parameters was obtained. By using dynamic analysis tools, such as, phase portrait, Poincaré map, bifurcation diagram and Lyapunov exponent, the complex dynamic behaviors of the system with variation of different feedback control gains were analyzed. The results indicated that the closed-loop control dynamic behaviors of supercavitating vehicles depend on each closed-loop control gain; with these parameters’ varying, the novel nonlinear phenomena, such as, bifurcation, chaos, periodic window, co-existing attractor, imperfect Feigenbaum-tree and so on appear; the stable motion of supercavitating vehicles can be realized by choosing appropriate feedback gains. The study results provided a guidance for feedback controller design of supercavitating vehicles.

Closed-loop control dynamic characteristics for supercavitating vehicles

XIONGTian-hong1,BAOBo-cheng2(1. State Key Laboratory of Transient Physics, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China;2. College of Information Science and Engineering, Changzhou University, Changzhou 213164, China)

Key words:bifurcation; chaos; closed-loop control; supercavitating vehicles

當(dāng)航行體在水下高速航行時(shí), 由于伯努利效應(yīng)，使得航行體周圍的液體汽化，從而產(chǎn)生覆蓋航行體大部分表面的超空泡, 進(jìn)而降低航行體在水中的阻力，大大提高了航行體的運(yùn)動(dòng)速度與航行距離[1-4]。超空泡航行體在水下高速航行時(shí)，航行體的尾部與空泡壁接觸時(shí)會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的非線性滑行力，非線性滑行力的出現(xiàn)不僅會(huì)增加航行體的摩擦阻力，還會(huì)給航行體造成振動(dòng)與沖擊，進(jìn)而產(chǎn)生混沌這一復(fù)雜的非線性現(xiàn)象[5-6]。

一個(gè)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，便會(huì)出現(xiàn)混沌和分岔等物理現(xiàn)象?；煦绾头植碜鳛橐环N復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象,過去的幾十年里在科學(xué)、數(shù)學(xué)以及工程應(yīng)用等各個(gè)領(lǐng)域得到了研究者極大的關(guān)注，關(guān)于具體物理系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模、非線性物理現(xiàn)象揭示、穩(wěn)定性和分岔分析等多個(gè)方面取得了大量的研究成果[7-9]。目前國內(nèi)外有關(guān)超空泡航行體的非線性動(dòng)力學(xué)研究，主要是針對超空泡航行體開環(huán)參數(shù)引起的非線性現(xiàn)象和航行體反饋控制的研究[9-16]，有關(guān)超空泡航行體閉環(huán)控制的動(dòng)力學(xué)特性研究，未見有文獻(xiàn)報(bào)道。超空泡航行體的閉環(huán)控制特性是進(jìn)行超空泡航行體反饋控制器設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，因此完全有必要對其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析和討論。

以超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)描述為出發(fā)點(diǎn)，采用分段線性擬合的滑行力函數(shù)，構(gòu)建超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)模型。基于此，利用常規(guī)的動(dòng)力學(xué)分析工具，以反饋控制增益為可變量，揭示了超空泡航行體非線性物理現(xiàn)象。通過對航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)特性的分析, 合理選擇反饋控制律中各個(gè)變量增益,能夠?qū)崿F(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行。

1超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)描述

航行體在水下高速航行時(shí)，周圍液體汽化，從而產(chǎn)生覆蓋航行體大部分表層的超空泡。為研究在一般情況下的空泡形態(tài)，引用反映空泡的無量綱空化數(shù)，其表達(dá)式為[1]

(1)

式中:P∞為外壓，Pc為空泡內(nèi)壓,ρ為水的密度，V為航行體總速度。對于自然超空泡，空泡內(nèi)壓力可以近似認(rèn)為等于水的飽和蒸汽壓力Pc= 2 350 Pa。

超空泡航行體的結(jié)構(gòu)和外形尺寸見圖1(a)。圖中長度L的航行體有兩段構(gòu)成：后端長度2/3L和半徑R的圓柱段，以及前端長度1/3L的圓錐段。對于該航行體模型，重心(CG)距離頭部為17/28L。航行體的頭部有一個(gè)半徑Rn的圓盤空化器。鰭舵采用十字形布局，置于航行體尾端。

航行體與空泡之間的相互作用關(guān)系可以通過作用力方程進(jìn)行建模，在航行體的體坐標(biāo)系中,作用在航行體上的力見圖1(b), 主要有空化器上的升力Fcavitator、尾翼上的升力Ffins、尾部和空泡壁面之間相互作用產(chǎn)生的滑行力Fplaning，以及航行體質(zhì)心位置的重力Fgravity。

圖1　超空泡航行體 Fig.1 Supercavtating vehicle

超空泡航行體動(dòng)力學(xué)建模的體坐標(biāo)系原點(diǎn)位于航行體頭部的圓盤空化器頂端端面的圓心, 超空泡航行體動(dòng)力學(xué)建模采用四個(gè)狀態(tài)變量來描述超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)，分別為垂直位置z、橫向速度w、俯仰角θ和俯仰角速度q。定義橫向速度w與航行體軸線垂直，定義前行速度V與航行體軸線平行。

超空泡航行體的浸沒深度見圖1(c)。超空泡航行體尾端的浸沒深度用參數(shù)h′來表示，可表達(dá)為[13]

(2)

式中:

f(w)=2w+(w+wt0)tanh[-k(w+wt0)]+

(w-wt0)tanh[k(w-wt0)]

式中:wt0=(Rc-R)V/L為位于過渡點(diǎn)的正w值，k為一個(gè)用于選擇控制近似誤差的常數(shù)，一般有k=300，Rc為離空化器距離L處的空泡半徑[13]。

按照文獻(xiàn)[14]給出的定義式，航行體中心線與空泡中心線之間的幾何角即超空泡航行體浸沒角α可表達(dá)為

(3)

假設(shè)在航行過程中各種作用力保持平衡，航行體總速度V保持不變，由上述各參數(shù)的定義可得超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)模型如下[14]

(4)

其中:m為密度比(ρm/ρ)，g為重力加速度，n為尾翼效率；各系數(shù)矩陣M0、A0、B0和重力Fgravity分別可表達(dá)為

式(4)中超空泡航行體的滑行力Fplaning可表達(dá)為

(5)

超空泡航行體設(shè)有反饋控制器，其控制輸入分別為δe和δc，一般選擇δe= 0、δc=kzz-kθθ-kqq，kz、kθ和kq均為實(shí)常數(shù)，分別為控制變量z、θ和q的反饋增益[10-11]。

2滑行力分段線性擬合的動(dòng)力學(xué)模型

2.1滑行力分段線性擬合

超空泡航行體的系統(tǒng)參數(shù)值列在表1中所示[14]?；诒?的系統(tǒng)參數(shù)值，采用式(5)表達(dá)的非線性滑行力Fplaning，則滑行力Fplaning與橫向速度w之間關(guān)系曲線如圖2中的虛線所示。

表1　超空泡航行體的參數(shù)

為了便于對超空泡航行體閉環(huán)控制增益的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行定性和定量分析，可采用一個(gè)分段線性滑行力Fp函數(shù)來擬合式(5)表示的復(fù)雜非線性滑行力Fplaning函數(shù)。這里采用了一種折衷的五段形式的分段線性滑行力函數(shù)。盡管可以采用更多段形式的分段線性滑行力函數(shù)來無限逼近非線性滑行力函數(shù)，但對系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性影響不大，反而又增加了分析難度。

(6)

式(6)表示的分段線性擬合的滑行力Fp與橫向速度w之間關(guān)系曲線如圖2中的實(shí)線所示。從圖2中可見，非線性滑行力Fplaning和分段線性滑行力Fp之間有著較好的擬合度。

圖2 Fp-w和Fplaning-w的關(guān)系曲線Fig.2CurvesofFp-wandFplaning-w圖3 采用不同滑行力函數(shù)時(shí)系統(tǒng)(4)隨σ變化的分岔圖Fig.3Bifurcationdiagramofsystem(4)withdifferentplaningforcefunctions

當(dāng)超空泡航行體的反饋控制增益分別為kz= 15、kθ= 30和kq= 0.3，即δe= 0、δc= 15z-30θ-0.3q時(shí)，采用非線性滑行力Fplaning函數(shù)的系統(tǒng)(4)隨空化數(shù)σ變化的關(guān)于狀態(tài)變量w的分岔圖見圖3(a)，而采用分段線性滑行力Fp函數(shù)的系統(tǒng)(4)隨空化數(shù)σ變化的關(guān)于狀態(tài)變量w的分岔圖見圖3(b)。

觀察圖3不難發(fā)現(xiàn)，兩種分岔圖的變化趨勢是基本一致的，由此表明，采用分段線性滑行力Fp函數(shù)來擬合非線性滑行力Fplaning函數(shù)后，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性基本保持不變。滑行力函數(shù)的分段線性化簡化了超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)模型，這對超空泡航行體的動(dòng)力學(xué)特性分析具有重要的意義。

2.2超空泡航行體閉環(huán)控制的動(dòng)力學(xué)模型

當(dāng)系統(tǒng)(4)選用表1參數(shù)值，固定σ= 0.0313和δe= 0，且采用分段線性滑行力Fp函數(shù)時(shí)，可得到超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)模型為

(7)

分段線性滑行力Fp函數(shù)可簡化為

(8)

系統(tǒng)(7)的可變參數(shù)僅為三個(gè)控制增益，因此系統(tǒng)(7)為專用于刻畫超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)行為的簡單模型。

當(dāng)kz= 15、kθ= 30和kq= 0.3時(shí)，系統(tǒng)(7)的運(yùn)行軌跡即混沌吸引子在各平面上的投影見圖4，相應(yīng)的龐加萊映射見圖5。利用Jacobi方法計(jì)算其Lyapunov指數(shù)為L1= 13.705 4,L2=-3.681 6，L3=-29.060 9和L4=-46.340 3。從系統(tǒng)(7)的相軌圖、龐加萊映射以及Lyapunov指數(shù)可見，系統(tǒng)(7)為一個(gè)四維混沌系統(tǒng)，可生成混沌吸引子。

圖4　混沌吸引子在相平面上的投影 Fig.4 Chaotic attractors

圖5　龐加萊映射在w-θ平面上的投影 Fig.5 Poincaré map in w-θ plane

3閉環(huán)控制的動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性

代入式(8)，可得到系統(tǒng)(7)隨控制增益kz和kθ變化的平衡點(diǎn)。對于典型參數(shù)kz= 15、kθ= 30和kq= 0.3，系統(tǒng)(7)只在1.38

S = [1.398 6, 0, 0.019 0, 0.041 6]

把系統(tǒng)(7)在平衡點(diǎn)S處線性化，得到Jacobi矩陣為

平衡點(diǎn)處的特征方程為

det(1λ-JS)=0

可解得四個(gè)特征值為

λ1，2=273.59±j344.05，λ3，4=-21.13±j30.90

因此，平衡點(diǎn)S為不穩(wěn)定鞍焦點(diǎn)，即指數(shù)2平衡點(diǎn)，滿足形成混沌吸引子的必要條件。

3.2閉環(huán)控制的動(dòng)力學(xué)行為

當(dāng)反饋控制增益發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)(7)有著不同的動(dòng)力學(xué)行為?？衫梅植韴D和Lyapunov指數(shù)譜等動(dòng)力學(xué)分析工具，分析系統(tǒng)(7)在各個(gè)反饋控制增益變化時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為。

(1)固定kθ= 30和kq= 0.3，kz在[0, 30]區(qū)間變化

系統(tǒng)(7)隨反饋增益kz變化的Lyapunov指數(shù)譜見圖6(a)，相應(yīng)的狀態(tài)變量w的分岔圖見圖6(b)。由圖可見，Lyapunov指數(shù)譜與分岔圖是基本一致的，kz∈[0, 18.8]時(shí)，系統(tǒng)(7)經(jīng)倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后由切分岔突變到周期狀態(tài)，再歷經(jīng)倍周期分岔后進(jìn)入混沌軌道。在此區(qū)間從圖5(b)可以觀測到在比較寬的參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)具有一個(gè)正值Lyapunov指數(shù)，一根零值Lyapunov指數(shù)和一根負(fù)值Lyapunov指數(shù)。在混沌區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)存在多個(gè)最大Lyapunov指數(shù)小于0的周期窗，主要出現(xiàn)在kz= 1.95、3.45、11.7等附近。在隨著反饋增益kz逐步增大，在kz∈[18.8, 30]時(shí)，系統(tǒng)由于混沌危機(jī)引發(fā)運(yùn)行軌道狀態(tài)突變，形成周期軌道，在此參數(shù)區(qū)間內(nèi)最大Lyapunov指數(shù)小于或等于0。但在[21.2, 24.5]和[20.2, 21.0]的兩個(gè)區(qū)間內(nèi)，其運(yùn)行軌跡存在不完全費(fèi)根鮑姆樹現(xiàn)象[17]，周期軌道經(jīng)倍周期正分岔后，又經(jīng)周期減半逆分岔回到原先的周期軌道。

另外，在一些參數(shù)值附近，系統(tǒng)(7)存在吸引子的共存現(xiàn)象。譬如，當(dāng)kz= 18.6時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡在不同的初始值時(shí)會(huì)發(fā)生周期極限環(huán)與混沌吸引子的共存現(xiàn)象，分別見圖7(a)和7(b)。

圖7(a)為初始值為(0.5377, 1.833 9,-2.258 8, 0.862 2)時(shí)的周期極限環(huán)；圖7(b)為初始值為(0.022 9，-0.262 0，-1.750 2，-0.285 7)時(shí)的混沌吸引子；而當(dāng)kz= 23時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)行軌跡在不同的初始值時(shí)有兩個(gè)共存的不同周期數(shù)的極限環(huán)，分別見圖7(c)和7(d)，圖7(c)為初始值為(-0.001 6, 0.898 5, 0.001 8, 0.145 4)時(shí)的周期4極限環(huán); 圖7(d)為初始值為(-0.025 7, -2.329 0, 0.009 0, -0.917 8)時(shí)的周期2極限環(huán)。

(2)固定kz= 15和kq= 0.3，kθ在[0, 50]區(qū)間變化

圖6 隨反饋增益kz變化的動(dòng)力學(xué)行為Fig.6Dynamicalbehaviorswiththevariationofkz圖7 不同kz且不同初始值時(shí)w-θ平面上的相軌圖Fig.7Phaseportraitswithdifferentkzanddifferentinitialvalues

系統(tǒng)(7)隨反饋增益kθ變化的Lyapunov指數(shù)譜及相應(yīng)的狀態(tài)變量w的分岔圖分別見圖8(a)和8(b)。當(dāng)kθ∈[0, 10.5]時(shí)，系統(tǒng)(7)以周期3軌道運(yùn)行，相對應(yīng)圖8(a)的最大Lyapunov指數(shù)等于0。kθ逐步增大，在kθ= 10.5附近系統(tǒng)(7)的周期3軌道經(jīng)過混沌危機(jī)直接進(jìn)入混沌，最大Lyapunov指數(shù)突變?yōu)檎?。并在kθ= 35.2附近系統(tǒng)(7)的運(yùn)行軌跡經(jīng)切分岔又回到周期3軌道，最大Lyapunov指數(shù)再次突變?yōu)?。kθ在[10.5, 35.2]較寬的范圍內(nèi)，系統(tǒng)(7)處于混沌狀態(tài)，并存在豐富的周期窗。在[16, 16.5]和[31, 31.5]區(qū)間內(nèi)，周期窗內(nèi)系統(tǒng)(7)的運(yùn)行軌跡存在不完全費(fèi)根鮑姆樹現(xiàn)象。在[16, 16.5]區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)的不完全費(fèi)根鮑姆樹現(xiàn)象是周期軌道經(jīng)倍周期分岔后又經(jīng)減半逆分岔回到周期軌道[17]；而在[31, 31.5]區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)的另一種不完全費(fèi)根鮑姆樹現(xiàn)象是周期軌道經(jīng)倍周期分岔后進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后又經(jīng)減半逆分岔回到周期軌道。

(3)固定kz= 15和kθ= 30，kq在[0.2, 0.5]區(qū)間變化

系統(tǒng)(7)隨反饋增益kq變化的Lyapunov指數(shù)譜及相應(yīng)的狀態(tài)變量w的分岔圖分別見圖9(a)和9(b)。當(dāng)kq< 0.284時(shí)，系統(tǒng)(7)處于周期狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)等于0，并在[0.25，0.28]區(qū)間內(nèi)存在不完全費(fèi)根鮑姆樹現(xiàn)象。當(dāng)kq∈[0.284，0.308]時(shí)，系統(tǒng)(7)基本處于混沌狀態(tài)，最大Lyapunov指數(shù)基本大于0，且在kq= 0.289和kq= 0.303附近存在兩個(gè)較窄的周期窗。當(dāng)kq>0.308時(shí)，系統(tǒng)(7)又回復(fù)到最大Lyapunov指數(shù)等于0的周期狀態(tài)，但其運(yùn)行軌跡在0.38附近出現(xiàn)了倍周期分岔行為，這時(shí)對應(yīng)的圖9(a)中的第2個(gè)Lyapunov指數(shù)從負(fù)值回到零值然后重新進(jìn)入負(fù)值。

通過超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)特性分析可知，調(diào)整反饋控制律中控制增益，能夠?qū)崿F(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行。當(dāng)σ= 0.031 3時(shí)，固定控制增益kz、kθ的值，增加反饋增益kq的取值范圍，其狀態(tài)變量w隨反饋增益kq變化的分岔圖見圖10(a)。不難觀察到，kq在[1.028 6，1.5]區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的位置保持不變。如當(dāng)kq=1.2時(shí)平衡點(diǎn)S= (1.398 6, 0, 0.019 0, 0.041 6)，系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處線性化Jacobi矩陣的特征根為λ1，2=-63.89±j621.86，λ3，4=-9.39±j24.64，這里λ1,2、λ3,4為實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根，表明平衡點(diǎn)S為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖10(b)為系統(tǒng)隨時(shí)間演化的Lyapunov指數(shù)譜，為清楚顯示，圖10(b)中僅給出三根Lyapunov指數(shù)曲線，相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)分別為L1= -8.368 2、L2=-8.676 1、L3=-65.208 9和L4=-155.486 9，其最大Lyapunov指數(shù)曲線在有限時(shí)間尺度內(nèi)為負(fù)值。從系統(tǒng)分岔圖、平衡點(diǎn)處特征根及Lyapunov指數(shù)可見，當(dāng)控制律δc= 15z-30θ-1.2q時(shí)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖11給出了控制律δc=15z-30θ-1.2q時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)示意圖，觀察圖11不難發(fā)現(xiàn)，各個(gè)反饋控制變量初始時(shí)刻的值較大, 在反饋控制律的作用下四個(gè)狀態(tài)變量逐漸穩(wěn)定到其平衡點(diǎn)上。由此也可表明，航行體在空泡內(nèi)的位置和姿態(tài)固定，處于穩(wěn)定航行狀態(tài)。

圖8 隨反饋增益kθ變化的動(dòng)力學(xué)行為Fig.8Dynamicalbehaviorswiththevariationofkθ圖9 隨反饋增益kq變化的動(dòng)力學(xué)行為Fig.9Dynamicalbehaviorswiththevariationofkq圖10 δc=15z-30θ-1.2q系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為Fig.10Dynamicalbehaviorsofsysteminδc=15z-30θ-1.2q

圖11　δ c = 15z-30θ-1.2q 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)示意圖 Fig.11 System response in δ c = 15z-30θ-1.2q

4結(jié)論

針對超空泡航行體尾部與空泡壁面接觸產(chǎn)生的非線性滑行力，本文采用分段線性擬合的滑行力函數(shù)，構(gòu)建了超空泡航行體閉環(huán)控制動(dòng)力學(xué)模型，通過超空泡航行體閉環(huán)控制的非線性動(dòng)力學(xué)特性的分析，得到以下結(jié)論：

(1)在一定參數(shù)范圍內(nèi)，利用相軌圖、龐加萊映射和Lyapunov指數(shù)等數(shù)值仿真手段，驗(yàn)證了超空泡航行體動(dòng)力學(xué)模型是以反饋控制增益為可變參數(shù)的四維混沌系統(tǒng)。

(2)閉環(huán)控制的超空泡航行體的運(yùn)行軌跡有著復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，且依賴于各個(gè)閉環(huán)控制增益；隨著各個(gè)反饋增益的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌、分岔、共存吸引子和不完全費(fèi)根鮑姆樹等非線性現(xiàn)象，從而揭示了超空泡航行體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的不穩(wěn)定性。

(3)通過合理設(shè)置反饋控制律中各個(gè)變量增益，可以有效抑制超空泡航行體分岔、混沌等非線性現(xiàn)象，實(shí)現(xiàn)超空泡航行體的穩(wěn)定航行。

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