劉良坤 ，譚　平 ，李祥秀 ，張　穎 ，周福霖 ,

(1.廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州　510405； 2.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京　100124)

第一作者劉良坤男，碩士生，1988年生

TMD控制系統(tǒng)的相位及控制效果分析

劉良坤1，譚平1，李祥秀2，張穎1，周福霖1,2

(1.廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州510405； 2.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京100124)

摘要：推導(dǎo)了TMD系統(tǒng)的相位公式,研究了各參數(shù)對相位差及減震效果的影響。結(jié)果表明當(dāng)TMD選取最優(yōu)頻率比與最優(yōu)阻尼比時具有最優(yōu)控制效果。TMD質(zhì)量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且提高了頻域內(nèi)的控制魯棒性。此外，本文提出了相能原理并結(jié)合能量耗散相等的原理給出了TMD的等效阻尼比，該數(shù)值比白噪聲激勵下推導(dǎo)的等效阻尼比更加符合TMD系統(tǒng)的實際情況。

關(guān)鍵詞：TMD系統(tǒng);相位差;結(jié)構(gòu)控制;相能原理;等效阻尼比

基金項目：國家973項目(2012CB723304)；國家基金委面上項目(51208129)；國家教育部新世紀(jì)人才項目(NCET-11-0914)；廣州市羊城學(xué)者科技計劃項目(10A032D)

收稿日期：2013-12-19修改稿收到日期：2014-06-06

通信作者譚平男，研究員，博士生導(dǎo)師，1973年生

中圖分類號:TU352.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.11.028

Abstract:Here, the phase formulas of a TMD control system were derived. The effects of parameters on phase difference and vibration reduction result were investigated. Both the frequency band of vibration reduction and the distribution of phase difference change with parameters were indicated. The results showed that the comprehensive optimal control effect of TMD is obtained with the optimal damping ratio and the optimal frequency ratio; the increase in mass ratio of TMD can improve both the control performance and control robustness. In addition, the theory of phase energy combined with the principle of energy dissipation was employed to obtain the equivalent damping ratio of TMD. It was shown that the proposed equivalent damping ratio is more reasonable than that deduced under the excitation of white noise.

Phase and performance analysis for TMD control systems

LIULiang-kun1,TANPing1,LIXiang-xiu2,ZHANGYing1,ZHOUFu-lin1,2(1. Earthquake Engineering Research & Test Center, Guangzhou University, Guangzhou 510405, China；2. School of Civil Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China)

Key words:TMD system; phase difference; structural control; theory of phase energy; equivalent damping ratio

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)在高層建筑和高聳結(jié)構(gòu)的振動控制中有較為廣泛的運用。TMD系統(tǒng)通過自身的慣性力反作用于主結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到減震目的。其參數(shù)的選取極大地影響著減振效果，Den hartog[1]利用二自由度體系并假定主結(jié)構(gòu)無阻尼的情況下推導(dǎo)了TMD的最優(yōu)頻率比與最優(yōu)阻尼比；當(dāng)考慮主結(jié)構(gòu)阻尼時,很難得到最優(yōu)參數(shù)的解析解,不過Sadek[2]等采用數(shù)值尋優(yōu)得到地震控制的TMD最優(yōu)參數(shù)。

Rana[3]通過對TMD參數(shù)研究表明使用簡諧激勵下的參數(shù)設(shè)計的結(jié)果與地震作用時較為接近。譚平等[4]針對帶TMD的高聳結(jié)構(gòu)，進(jìn)行了動力可靠度研究，強調(diào)了TMD減震裝置限位設(shè)計的必要性。黃瑞新[5]采用了二維模型分析了某演播塔的TMD風(fēng)振控制。歐進(jìn)萍等[6]比較了TMD,TLD系統(tǒng)的控制效果以及分別對高層鋼和鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的控制效應(yīng)。李春祥等[7]廣泛評述了TMD等控制裝置，指出了有待進(jìn)一步研究的若干問題。李創(chuàng)第[8]給出了帶TMD結(jié)構(gòu)隨機地震響應(yīng)分析的復(fù)模態(tài)分析方法。但TMD減震過程中相位分析不容忽視。Soong等[9]探討了簡諧激勵下TMD單自由度系統(tǒng)相位概念，并指出當(dāng)TMD相對位移滯后主結(jié)構(gòu)90°相位差時，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)移到TMD系統(tǒng)的能量最大，此時TMD效果最好，但無定量分析。張俊平等[10]提出了TMD作用在結(jié)構(gòu)上力的相位和外激勵輸入滿足180°相位差時，TMD作用在結(jié)構(gòu)上的力才減小外激勵，降低結(jié)構(gòu)響應(yīng)，但只限于正弦荷載輸入。張力[11]提出TMD主結(jié)構(gòu)的速度相位與TMD相對主結(jié)構(gòu)位移相位為180°時，即TMD的減震效果最好。但上述文獻(xiàn)并未給出TMD系統(tǒng)相位差與減震機理的詳細(xì)研究。文獻(xiàn)[12-13]通過地震或風(fēng)作用激勵的主結(jié)構(gòu)位移方差分析，求出等效阻尼比，但此時等效阻尼比與外激勵頻率無關(guān)，與實際不符。本文推導(dǎo)了主結(jié)構(gòu)有阻尼情況下TMD系統(tǒng)相位差公式，并研究其與減震效果的關(guān)系；提出了相能原理，結(jié)合能量耗散等效原理得出了單自由度的等效阻尼比及其與控制效果的關(guān)系。

1計算模型與相位差推導(dǎo)

1.1簡化模型及動力方程

TMD控制系統(tǒng)(以下簡稱TMD系統(tǒng))，見圖1。

圖1　TMD系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of TMD system

為方便相位的分析，在水平地震作用下TMD系統(tǒng)的運動方程采用形式：

(1)

M=diag([m1,m2]),K=[k1+k2,-k2;-k2,k2]

C=[c1+c2,-c2;-c2,c2]

1.2TMD相位差的推導(dǎo)

單自由度體系受正弦激勵時，相位差指結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)的相位與激勵相位之間的差值。按文獻(xiàn)[11]的分析見圖2。

圖2　結(jié)構(gòu)與TMD運動的相對位置Fig.2 Relative position of structure and TMD

圖3　TMD等效作用力與結(jié)構(gòu)運動狀態(tài)Fig.3 TMD equivalent force and motion state of structure

(2)

代入到運動方程(1)中并根據(jù)恒等式的條件對比系數(shù)得：

(3)

式(3)每一項除m1，并令

式中各參數(shù)：

主結(jié)構(gòu)的頻率ω1，阻尼比ξ1，TMD頻率ω2，阻尼比ξ2；質(zhì)量比為μ=m2/m1。并求解四元一次方程組得到：

TMD的相對位移：

x2r=(A3-A1)cosωt+(A4-A2)sinωt

(4)

由式(4)得：

x2r=Arsin(ωt+φr)

(5)

主結(jié)構(gòu)的速度：

(6)

那么TMD的相對位移與主結(jié)構(gòu)速度的相位差：θ=φa-φr，以下分析簡稱相位差。

2TMD系統(tǒng)參數(shù)對相位差的影響分析

TMD和主結(jié)構(gòu)的參數(shù)對減震效果的影響，實際是相位差與減震效果的關(guān)系。本節(jié)試圖改變子結(jié)構(gòu)參數(shù)或主結(jié)構(gòu)的參數(shù)來分析相位差與減震效果的關(guān)系。

2.1主結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響

為方便分析，假設(shè)TMD系統(tǒng)中主結(jié)構(gòu)為單位質(zhì)量，TMD與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比為0.01，TMD系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)采用Den hartog公式設(shè)計。圖4(a)繪出了主結(jié)構(gòu)阻尼比0.02時周期與相位差的關(guān)系。由圖4(a)可得知三條曲線重合，即相位差與主結(jié)構(gòu)周期變化無關(guān)，這可從“1.2”的公式中相位差在質(zhì)量比、頻率比、阻尼比確定后就只與主結(jié)構(gòu)頻率有關(guān)進(jìn)行解釋。若主結(jié)構(gòu)周期為1 s，改變主結(jié)構(gòu)的阻尼比；由圖4(b)可得知隨著主結(jié)構(gòu)的阻尼比增大時，同一相位差處外激頻率比往兩端拓展，但在最優(yōu)頻率點處的相位差基本不變。

圖4　主結(jié)構(gòu)參數(shù)與相位差Fig.4 Main structure Parameters and phase difference

2.2TMD參數(shù)的影響

在研究TMD參數(shù)與相位差的關(guān)系時，假定TMD系統(tǒng)中主結(jié)構(gòu)為單位質(zhì)量，主結(jié)構(gòu)阻尼比0.02。圖5(a)中頻率比與阻尼比按Den hartog公式計算:

fopt=1/(1+u)

(7)

(8)

繪出TMD最優(yōu)參數(shù)時相位差隨質(zhì)量比的變化規(guī)律圖，隨著質(zhì)量比的增大，同一相位差處外激頻率比往兩端拓展，即同一相位差質(zhì)量比越大外激頻率比頻帶越大。

圖5(b)頻率比按Den hartog公式計算，取質(zhì)量比為0.01。與其它阻尼比相比，最優(yōu)阻尼比0.06(圖5(b)中細(xì)實線ζ=0.06)處于其余線條中間，相位差處于90°以上的頻段較寬。圖5(c)阻尼比按Den hartog[1]公式計算，取質(zhì)量比為0.01。圖5(c)中最優(yōu)頻率比取0.99(圖5(c)粗實線f=0.99)在主結(jié)構(gòu)共振頻率處相位差接近180°具有最好減震效果，而其余相位都嚴(yán)重偏離180°。因此，在確定合適質(zhì)量比后，TMD采用最優(yōu)頻率比與最優(yōu)阻尼比在具有綜合最優(yōu)減震效果，此時相位差接近180°。

3TMD系統(tǒng)相位差的應(yīng)用

3.1相位差與減震效果

為了分析相位差的對減震效果的影響，取TMD控制系統(tǒng)與無控結(jié)構(gòu)在基底受正弦激勵下的位移幅值之比為放大系數(shù)。其中無控結(jié)構(gòu)的幅值：

(9)

圖5　TMD參數(shù)與相位差Fig.5 TMD parameters and phase difference

質(zhì)量比左失效段右失效段總失效區(qū)段有效控制區(qū)段有效外激頻率比范圍0.01-75°～52°-90°～92°-90°～92°92°～180°0.91～1.080.02-71°～49°-90°～104°-90°～104°104°～180°0.89～1.110.03-69°～45°-90°～109°-90°～109°109°～180°0.87～1.130.04-67°～43°-90°～115°-90°～115°115°～180°0.85～1.140.05-66°～40°-90°～120°-90°～120°120°～180°0.83～1.15

圖6　相位差與減震效果Fig.6 Phase difference and vibration-reduction

當(dāng)質(zhì)量比由0.01到0.05變化時，按Den hartog[1]公式計算作相位差與放大系數(shù)關(guān)系見圖6a，質(zhì)量比與相位差的關(guān)系如“2.2”所述，此處將詳細(xì)說明不同質(zhì)量比下放大系數(shù)、外激頻率比和相位差的關(guān)系。圖6(b)為相位差與放大系數(shù)關(guān)系圖，由圖可見質(zhì)量比的增加提高了減震效果，其余詳細(xì)情況見表1。

表1中失效區(qū)段表示放大系數(shù)大于1的情況，有效控制區(qū)段則表示放大系數(shù)小于1；“左”和“右”表示圖6(a)中外激勵頻率比1對應(yīng)的左右相位差區(qū)段。表1中給出的具體情況，經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)：質(zhì)量比0.01到0.05變化，有效控制相位差區(qū)段從92°～180°變?yōu)?20°～180°度，也就是說有效控制區(qū)域的相位差區(qū)段減小了，使更多的區(qū)域處在接近最佳控制點；而外激勵頻率比則從0.91～1.08變?yōu)?.83～1.15，說明外激勵頻率的有效控制頻帶加寬了。這就說明小范圍內(nèi)的質(zhì)量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且增加了頻域上的控制魯棒性。

3.2TMD等效阻尼比的確定及其能量分析

本文所用的相位差為TMD系統(tǒng)相對主結(jié)構(gòu)位移與主結(jié)構(gòu)速度的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)之間的相位差；若按“1.2”所述指主結(jié)構(gòu)阻尼力與TMD等效作用力的相位差，即主結(jié)構(gòu)速度與TMD等效作用力的相位差，這兩種情況是等效的。那么主結(jié)構(gòu)參數(shù)與TMD參數(shù)一旦確定，其相位差便可求得，并且利用相位差與能量的關(guān)系還可求得TMD系統(tǒng)的等效阻尼比。

在穩(wěn)態(tài)運動的一個自振周期內(nèi)，當(dāng)TMD系統(tǒng)的相位差為180°時，TMD對主結(jié)構(gòu)完全做負(fù)功，即阻礙主結(jié)構(gòu)的運動；當(dāng)相位差為0°時，對主結(jié)構(gòu)完全做正功，起放大主結(jié)構(gòu)運動作用；當(dāng)相位差為90°時，在一個循環(huán)內(nèi)對主結(jié)構(gòu)所做的正負(fù)功相互抵消，基本不放大也不減小主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，這從“3.1”中的分析也可論證：質(zhì)量比較小時相位差90°左右為有效控制區(qū)段的分界點。由于TMD等效作用力做功與相位差有關(guān)，本文將TMD做功原理稱為相能原理，以下為這一原理的推導(dǎo)：

當(dāng)TMD控制系統(tǒng)基底受到某一正弦激勵，為方便分析可令相位平移后的主結(jié)構(gòu)穩(wěn)態(tài)速度為

(10)

取θ為主結(jié)構(gòu)速度與TMD等效作用力的相位差，穩(wěn)態(tài)時的TMD等效作用力為

Fe=Fsin(ωt+θ)

(11)

當(dāng)相位差θ=00，TMD等效作用力做功表示如下：

(12)

當(dāng)相位差θ不為0，TMD等效作用力做有效功表示如下：

(13)

這就推出相能原理公式，TMD等效作用力做功為相位差余弦值與相位差為0時的等效作用力做功之積。利用相能公式即可論證上述相位差在0°、90°、180°的做功情況。公式表明TMD系統(tǒng)對主結(jié)構(gòu)的控制作用依賴于相位差，因為TMD的有效功與相位差有關(guān)，而有效功對消耗主結(jié)構(gòu)振動能量起著重要作用。因此調(diào)節(jié)好相位差是TMD系統(tǒng)良好控制與魯棒性控制的重要保證。

基底受到到正弦激勵時TMD等效作用力

(14)

有效功表達(dá)式

m2πω2(A2A3-A1A4-pA1)

(15)

主結(jié)構(gòu)耗能(Ed),無控結(jié)構(gòu)耗能(Ed0):

(16)

(17)

根據(jù)能量等效原則，TMD的附加粘性阻尼比的確定

(18)

于是TMD控制系統(tǒng)的總等效阻尼比：ξeq=ξ1+ξa，其中ξ1為主結(jié)構(gòu)阻尼比。

為確定此方法的有效性，可根據(jù)文獻(xiàn)[13]的的方法求出等效阻尼比對比，通常假設(shè)地震或風(fēng)作用為白噪聲激勵，通過分析主結(jié)構(gòu)方差求出的等效阻尼比。本文取Luft[14]假定地震激勵為白噪聲時的擬合出的等效阻尼比作對比:

(19)

作出TMD等效阻尼比及其幅值、能量的關(guān)系見圖7。圖7(a)中按白噪聲激勵下的等效阻尼比為定值0.041，不能真正的反映TMD的等效阻尼比，因為TMD對主結(jié)構(gòu)的減震效果受外激勵頻率的影響，在最優(yōu)頻率比處減震效果最好，其等效阻尼比最大，而在失效時有放大作用，此時等效阻尼比應(yīng)小于原主結(jié)構(gòu)的阻尼比；

圖7　TMD等效阻尼比與幅值、能量關(guān)系Fig.7 Equivalent damping of TMD vs amplitude or energy of structure

但從圖7(a)可知，采用能量進(jìn)行等效時，可以體現(xiàn)結(jié)構(gòu)在不同頻率比處有不同的等效阻尼比，更符合實際情況，而白噪聲等效阻尼比并未反映出與外激頻率比的關(guān)系。

圖7(b)是正弦激勵下的反應(yīng)幅值，取白噪聲等效阻尼比時的幅值，在最優(yōu)頻率比處并未反映TMD系統(tǒng)最佳減震的情況，僅右端失效處重合；當(dāng)采用能量等效阻尼比時，在左端失效處與TMD系統(tǒng)基本一致，在最優(yōu)頻率比處的等效阻尼比也可正好的反應(yīng)了實際情況，僅右端處比實際幅值大，但這說明此方法在此處是偏于保守的。圖7c的結(jié)構(gòu)耗能關(guān)系上，可看出能量等效阻尼比和實際的TMD系統(tǒng)主結(jié)構(gòu)的耗能基本吻合，這可由能量等效的原理解釋，但白噪聲下的等效阻尼比和實際的TMD系統(tǒng)的主結(jié)構(gòu)的耗能相差甚遠(yuǎn)。因此，總體上能量等效的阻尼比在分析實際TMD系統(tǒng)時能夠更好地體現(xiàn)其特性。但在時域分析時由于要考慮頻率特性會受到限制，不過可以通過求取瞬時頻率來得到不同時段下的響應(yīng)。

4結(jié)論

本文通過推導(dǎo)TMD系統(tǒng)的相位公式，研究了各參數(shù)對相位差和控制效果的影響規(guī)律；提出了相能原理，結(jié)合能量耗散相等原理推導(dǎo)了不同激勵頻率比下的等效阻尼比。經(jīng)過分析有以下結(jié)論：

(1)主結(jié)構(gòu)周期對相位差無影響；主結(jié)構(gòu)阻尼比增大時，可增加接近1800區(qū)域的頻段。在確定合適質(zhì)量比后最優(yōu)頻率比與最優(yōu)阻尼比在主結(jié)構(gòu)共振處有最好減震效果。

(2)TMD質(zhì)量比的增大不僅有助于增加控制效果，而且可增加頻域內(nèi)的控制魯棒性。

(3)基于相位差結(jié)合能量耗散相等推導(dǎo)出TMD等效阻尼比，分析結(jié)果表明，該數(shù)值比白噪聲激勵下得到的等效阻尼比更加符合TMD系統(tǒng)的實際情況。

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