一元二次方程解背后的物理情懷

鄧有鴻④

(廣州市第二中學廣東 廣州510530)

摘 要：本文討論了一元二次方程有關的物理意義.

關鍵詞：一元二次方程陷阱物理意義

作者簡介：鄧有鴻(1977-)，男，中教高級，主要從事高中物理競賽輔導及高中物理教學.

收稿日期：(2015-04-25)

1引言

數學家彭加萊所說，“數學離開了物理就會步入歧途，物理學家不僅迫使人們面臨大量的數學問題，而且能影響我們朝著夢想不到的方向前進.”他還說，“物理科學不僅給我們(數學家)求解問題的機會，而且還幫助我們發(fā)現解決它們的方法.”

高中物理講解追及相遇問題時最后都落實到解一個一元二次方程，本來解一元二次方程是一個很簡單的事，但是事實上并不是簡單地求解方程這么容易，有時候需要對解出來的根進行取舍，有時候解出來的答案完全不符合題意，不是實際情況下所要求的結果.這中間物理和數學究竟發(fā)生了什么“恩怨”？是什么原因讓它們不“和諧統一”？這里需要對數學和物理有一個簡單的區(qū)分.一個數學方程所包含的意義是數量大小之間的某種關系，而物理定律反映的是,實際情況下研究的某幾個物理量之間的定量關系.就拿一元二次方程來說，在數學里研究的是單純的數量之間的大小關系，而物理的位移關系也是一個一元二次方程，但是這個方程除了數量之間的關系外，還賦予了實際意義，例如時間不能為負，某些物理量在實際情況下有一定的范圍(如速度、加速度以及時間).平常教學中我們關注物理的意義偏多，而很少關注物理和數學的內在聯系，這樣就會使學生經常陷入一種物理是物理，數學是數學的尷尬境地.下面筆者就以追及相遇問題作為切入點，領悟不同學科在“道”中統一的大美境界.

高中物理的追及與相遇問題一直都是運動學中的一個難點，教師在講解這類問題時一般都會講幾種方法來拓展學生的思維，例如基本公式法、相對運動法、圖像法.學生習慣用基本公式法來解相遇問題，這種方法思路簡單，物理情景容易再現，關系式容易找到，常常需要求解一個關于時間t的一元二次方程，難點是對計算的結果不知如何取舍.方程中求解出來的根的個數是不是就是物體相遇的條件呢？下面我們從兩方面來闡釋數學和物理不同的美.

2一元二次方程定義域的陷阱

【例1】如圖1所示，A,B兩物體相距s=7 m，物體A在水平拉力和摩擦力的作用下，正以vA=4m/s的速度向右勻速運動，而物體B此時的速度是vB=10m/s，由于摩擦力作用向右勻減速運動，加速度a=-2 m/s2.那么，物體A追上B所用的時間為多少？

圖1

對于本題,學生通常有兩種解法，表面上看這兩種方法無懈可擊，實際上結果并不正確.

錯解1：設A物體在t時間內追上B物體，根據A追上B時的位移關系得

sA=s+sB

即

代入數值整理得

t2-6t-7=0

解得

t1=7 st2=-1 s(舍去)

錯解2：設A物體在t時間內追上B物體，由相對運動知識有

vAB=-6 m/s

aAB=2 m/s2

sAB=7 m

式中vAB為A物體相對于B物體的速度，aAB為A物體相對于B物體的加速度，sAB為A物體相對于B物體的位移.由運動學公式得

代入數值整理得

t2-6t-7=0

解得

t1=7 st2=-1 s(舍去)

正解分析：A做勻速運動，B做勻減速運動，最后停止.A去追B，首先應該判斷在B停止之前，A是否能追上B.

sA=vAt=20 m

B物體發(fā)生的位移為

再看一題，也同樣是定義域的問題.

【例2】一輛公共汽車在公路上以v0=20 m/s的速度行駛，某時刻發(fā)現其前方s=11 m處有輛小汽車以v=8 m/s的速度在做勻速直線運動，公共汽車這個時刻開始以a=-2 m/s2的加速度剎車,則兩車在運動過程中相遇多少次，相遇對應的時刻為多少？(假設兩車在兩條車道上，不會相撞)

解析：根據位移關系列方程

代入數據化簡整理得

t2-12t+11=0

3一元二次方程負根的物理意義

我們先看一道具體的題：

【例3】甲、乙兩輛汽車同時沿一直線運動，甲車做初速度v1=10 m/s的勻速直線運動，乙車做初速度v2=4 m/s，加速度a=2 m/s2的勻加速直線運動.開始運動時甲在前，乙在后，相距s=7 m.求經過多少時間兩車相遇？

解析：根據位移關系列方程

代入數據整理得

t2-6t-7=0

解得

t1=-1 st2=7 s

根據物理過程分析勻加速運動的物體一定能追上勻速運動的物體，且只能相遇一次.

但是從一元二次方程判別式角度看

Δ=b2-4ac=62-4×7=8>0

分析知應有兩個解，再根據韋達定理的兩根之積

得兩根一正一負，我們對負根舍去.那么舍去的負根究竟有沒有物理意義呢？首先我們對負根舍去的理由是時間不能為負，事實上時間也可以為負，相對我們所選的計時起點更早，那么時間為負時真能相遇嗎？我們可以從時間的負方向看，原來向時間正方向做勻速運動的物體還是做勻速運動，原來做勻加速運動的物體向時間負方向是先做勻減速運動，速度減為零后再反向加速運動直到永遠.打個簡單的比方，向時間負方向看好比放電影的“倒帶”過程.所以負根的意義就是：在“過去”的某個時刻相遇.一個具體的追及相遇問題我們只研究它的“今生”和“來世”，從來就沒有人思考它的“前生”究竟發(fā)生了什么.因此從整個時空來看數學一元二次方程的根的個數跟物理追及相遇的次數是“和諧統一”的.

為了讓討論具有普遍性，我們把每個物理量都以字母形式表示，追及和相遇問題所涉及到的只有兩種運動，一種是勻速運動，一種是勻變速運動，我們可以設兩物體都做勻變速運動，當其中任意一個物體的加速度為零時就變成了勻速運動，這樣討論更具有普遍性.

兩輛汽車同時沿一直線運動，甲車做初速度為v1，加速度為a1的勻加速直線運動，乙車做初速度為v2，加速度為a2的勻加速直線運動.開始運動時甲在前，乙在后，相距s.求經過多少時間兩車相遇？

根據位移關系得

化簡整理得

根據一元二次方程的判別式

當Δ=0時，即有

這里筆者只是從一元二次方程的解和物理問題中的追及相遇問題談談數學和物理所呈現的不一樣的美，數學反映的是數字大小的定量關系，而物理除此以外還賦予了實際的意義，這就是每個公式背后的那份火熱的人文情懷，在物理學里這種美無處不在，這也正印證了“萬物在道中融匯一體”這句話.

莫爾斯所說,“數學是數學，物理是物理，但物理可以通過數學的抽象而受益，而數學則可通過物理的見識而受益.”數學家拉克斯說,“數學和物理的關系尤其牢固，其原因在于，數學的課題畢竟是一些問題，而許多數學問題是物理中產生出來的，并且不止于此，許多數學理論正是為處理深刻的物理問題而發(fā)展出來的.”