帶電粒子在四電荷系統(tǒng)內(nèi)的運動模型及其應(yīng)用

徐 斌陳 浩②

(華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院廣東 廣州510006)

指導(dǎo)教師：陳浩(1959-)，男，教授，碩士生導(dǎo)師，博士，主研方向為理論物理，包括非線性物理、量子場論和凝聚態(tài)物理等前沿領(lǐng)域以及理論物理的教學(xué)研究.

摘 要：以對稱分布的四電荷系統(tǒng)為例，研究任意帶電粒子在對稱的電場分布內(nèi)的運動性質(zhì)，借助橢圓函數(shù)和積分的方法分別推導(dǎo)出粒子的運動學(xué)方程，探討了該類運動模型在求解物理問題時的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：四電荷系統(tǒng)對稱電場分布物理教學(xué)

作者簡介：徐斌(1991-)，男，在讀碩士研究生，主研方向為物理課堂教學(xué)、國外物理教材分析.

收稿日期：(2015-05-13)

1引言

大學(xué)物理靜電場的教學(xué)中重點討論過單個點電荷及電偶極子等帶電系統(tǒng)的電場分布[1].任意帶電粒子在對稱的電場分布內(nèi)運動的模型在以往的教學(xué)中并不常見，然而這種模型的很多性質(zhì)可用于大學(xué)物理課堂教學(xué)中.本文以四電荷系統(tǒng)為例，從能量角度出發(fā)具體分析了四電荷系統(tǒng)的性質(zhì)，對不同初始能量的任意帶電粒子在電場中的運動進行定量分析，在對電勢分布作不同的近似后，采用兩種方法推導(dǎo)出運動學(xué)方程，分別分析了任意帶電粒子在系統(tǒng)中運動的線性和非線性性質(zhì)，并重點介紹了該體系在物理教學(xué)中的應(yīng)用.

2模型的介紹

如圖1所示，邊長均為2a的矩形的4個頂點固定4個等量同號的點電荷，討論與場源電荷異號的任意帶電粒子在對稱軸線(以下討論以x軸為例)上的運動情況[2].

圖1　四電荷模型示意圖

建立如圖1所示的坐標系，設(shè)點電荷的電荷量為q0，運動帶電粒子的電荷量為-q，可以得出帶電粒子在x軸上的電勢能分布方程[3]

(1)

圖2　 E p( x)- x圖

3模型在物理教學(xué)中的應(yīng)用分析

(2)

結(jié)合圖2及給定的總能量E對帶電粒子的運動情況定性分析.

3.1模型一般性質(zhì)的分析

當(dāng)E=Epmax時，帶電粒子靜止在勢壘上，但此時的靜止?fàn)顟B(tài)是一個亞平衡態(tài)，如果給一個沿x軸的微小擾動它將離開亞平衡位置做大振動.當(dāng)E=Epmin時，運動電荷靜止在勢阱處，此時為平衡態(tài)，如果給一個沿x軸的微小擾動它將離開平衡位置做小振動.當(dāng)E>0時，由于運動電荷的電勢能總是小于零，可見速度v不可能為零，所以此時運動電荷必定一直運動至無窮遠，和天體物理中動能大于引力勢能時即可發(fā)射一顆衛(wèi)星離開行星的情況一樣，此時帶電粒子的能量超過電勢能分布的最高能量，將不受電場束縛，運動到無窮遠處.當(dāng)Epmax

3.2模型的教學(xué)意義分析

3.2.1線性振動的研究

(3)

對式(3)右邊作泰勒展開,忽略4次及以上項,得

(4)

則帶電粒子的動力學(xué)方程為

F=-

(5)

x=Asin(ωt+φ)

(6)

可見,帶電粒子在這種情況下的運動模型非常類似于量子場論中對稱性自發(fā)破缺的例子.因此,我們可以把Epmax看作是體系對稱性破缺的臨界能量,Epmin則為基態(tài)能量,當(dāng)帶電粒子處在基態(tài)能量與臨界能量的范圍內(nèi)時,它的運動情況發(fā)生了對稱性破缺,其解只能是任意一個,而它們都不具有哈密頓量的坐標反演不變對稱性,而當(dāng)帶電粒子的能量高于臨界能量時,它的運動情況只有一種,其解具有與哈密頓量相同的坐標反演不變對稱,這時候系統(tǒng)的對稱性沒有遭到破壞[4].

在經(jīng)典力學(xué)中存在不少對稱性破缺的例子,一般和能量的取值有關(guān).比如一支鉛筆垂直靜止放置時的重心很高，重力勢能較大，此時系統(tǒng)是關(guān)于沿鉛筆頭、尾所在的直線軸對稱的.而一旦給鉛筆一個微擾后，鉛筆會倒下來，此時能量降低了，但是軸對稱性亦被破壞了.本系統(tǒng)也不例外,我們看到,當(dāng)能量降低到一定程度(到達臨界能量)時,就會出現(xiàn)對稱性破缺.故本文所討論的系統(tǒng)有助于形象地理解場論中關(guān)于自發(fā)對稱性破缺的模型[5].

3.2.2非線性振動的研究

結(jié)合式(1)、(2)得

(7)

(8)

對式(8)作泰勒展開,忽略6次及以上項,得

(9)

則式(7)可化簡為

(10)

借助橢圓函數(shù)解法，可求出帶電粒子的運動學(xué)方程[4]

x=A1dn[k1(t-t1),m1]

(11)

(12)

(13)

(14)

令k1>0,則

4結(jié)語

本文所研究的運動模型有助于學(xué)生理解場論中的對稱性破缺概念，在非線性教學(xué)中，同樣有輔助教學(xué)的作用，因此該模型可以作為大學(xué)物理教學(xué)中的一個例子.四電荷系統(tǒng)只是對稱電荷系統(tǒng)中的一個特例，其他對稱分布電場的性質(zhì)也是類似的，本文的研究方法和視角對研究其他對稱分布有一定的借鑒意義.

參 考 文 獻

1趙凱華，陳熙謀．新概念物理教程 電磁學(xué)(第2版)．北京：高等教育出版社，2006.1～42

2孫曉林，董慎行．帶電粒子在四電荷點陣中的運動.物理與工程，2005，5(15)：12～16

3劉式適，劉式達．物理學(xué)中的非線性方程(第2版)．北京：北京大學(xué)出版社，2012.59～61

4戴元本．相互作用的規(guī)范理論(第2版)．北京：科學(xué)出版社，2005.35～46

5J. Goldstone， A. Salam and S. Weinberg. Broken Symmetries.Phys. Rev. 1962，127(3)： 965～970

The Charged Particle′s Motion Model and

Its Application in a Four-charge System

Xu BinChen Hao

(School of Physics and Telecommunication Engineering， South China Normal University， Guangzhou，Guangdong510006)

Abstract:In the case of the four-charge system,the vibrations of charged particles in symmetrical distribution of the electric field are investigated.With the elliptic function and integral technique,the kinematics equation of particle is presented,respectively.The model investigated in this paper can help students understand spontaneous symmetry breaking and nonlinear physical knowledge in college physics teaching.

Key words:four-charge system; symmetrical distribution of the electric field; physics teaching