兩均勻帶電長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線方程的兩種推導(dǎo)方法

姜付錦

(武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué)湖北 武漢430300)

摘 要：本文采用解析函數(shù)的知識(shí)和徑向圓光柵的莫爾條紋理論分別從兩個(gè)不同的角度推導(dǎo)出了兩根無限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線的電場(chǎng)線方程，并用電腦軟件MathCAD對(duì)其電場(chǎng)線進(jìn)行了數(shù)值模擬.

關(guān)鍵詞：解析函數(shù)莫爾條紋數(shù)值模擬

收稿日期：(2014-12-15)

文獻(xiàn)[1]描繪了兩根帶相等電量無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線和等勢(shì)面的解析函數(shù)，但是沒有給出帶不等電量?jī)筛鶡o限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線方程.本文將用兩種方法來研究這個(gè)問題.

1建立模型

兩根相距為2a的無限長(zhǎng)平行均勻帶電直導(dǎo)線，每根導(dǎo)線單位長(zhǎng)度上所帶的電荷量分別為λ1,λ2，以垂直于兩根導(dǎo)線的連線為x軸，過連線中點(diǎn)O作垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，如圖1所示.

圖1　建立平面直角坐標(biāo)系

由高斯定理[2]求得其中一根導(dǎo)線在空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

式中r為空間某點(diǎn)到直導(dǎo)線的距離.

設(shè)xOy平面任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y)，則兩根直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的合電場(chǎng)強(qiáng)度E的兩個(gè)分量為

Ex=E1cosθ1+E2cosθ2=

(1)

Ey=E1sinθ1+E2sinθ2=

(2)

2利用解析函數(shù)求解

設(shè)電勢(shì)為φ，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，由于E=-φ，得任意一點(diǎn)P(x,y)的電場(chǎng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量應(yīng)滿足式(1)和式(2).

查表得[4]

上式中的E(x,y)為任意常量，則上式可化為

(3)

即兩根無限長(zhǎng)帶電直導(dǎo)線的電場(chǎng)線的方程.式中C2為任意常數(shù).

若將坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)平移到(-a,0)，則式(3)可化為

設(shè)λ1=kλ2(k為常數(shù))，由極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)的關(guān)系式

x=ρcosφy=ρsinφ

(4)

將式(4)化為極坐標(biāo)系的表達(dá)式

3利用徑向圓光柵的莫爾條紋推導(dǎo)[5，6]

作光柵平面xOy，規(guī)則排列的光柵線紋可以用整數(shù)n,m作為參變量，x,y作為函數(shù)表示出來.這樣兩光柵的柵線方程分別由f(x,y,n),g(x,y,m)的形式表示出來.由于兩柵線交點(diǎn)的軌跡是莫爾明條紋，因此莫爾條紋方程式就能由f(x,y,n),g(x,y,m)所給定.可以用f,g描述的柵線簇不僅僅限于直線，凡是規(guī)則排列的曲線簇都可以，更普遍的不只是平面曲線，即使是空間曲線也適用.這兩條光柵線分別代表的是兩根無限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線產(chǎn)生的電場(chǎng)線.

設(shè)兩光柵的角節(jié)距分別為γ1,γ2，偏心放置，偏心量OO1=2a，如圖2所示.取兩光柵中心連線OO1為x軸，與x軸垂直并通過主光柵中心O的為y軸，為使柵線方程簡(jiǎn)單，使兩光柵各有一簇線紋與x軸正方向重合，并以此線為柵線編號(hào)n,m的起點(diǎn)，且令n,m為正或負(fù)整數(shù)(逆時(shí)針方向數(shù)為正，順時(shí)針方向數(shù)為負(fù))，則兩光柵的柵線方程可表示為

φ=nγ1

若n=m+L,γ2=kγ1，則上式可整理為

式中C=Lkγ1.兩光柵線交點(diǎn)的軌跡就是兩根無限長(zhǎng)均勻帶電直導(dǎo)線合場(chǎng)強(qiáng)的電場(chǎng)線.

圖2　徑向光柵柵線及其莫爾條紋方程圖解

4數(shù)值模擬

利用電腦軟件MathCAD可以對(duì)電場(chǎng)線進(jìn)行數(shù)值模擬，如圖3所示.

圖3　用MathCAD對(duì)電場(chǎng)線進(jìn)行數(shù)值模擬

如圖3(a)所示，當(dāng)k=-1時(shí)表示兩根帶等量異種電荷的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線，它們是圓簇；

如圖3(b)所示，當(dāng)k=1時(shí)表示兩根帶等量同種電荷的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線，它們是雙曲線簇；

如圖3(c)所示，當(dāng)k=-2時(shí)表示兩根帶不等量異種電荷的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線，它們是一種特殊平面曲線簇；

如圖3(d)所示，當(dāng)k=2時(shí)表示兩根帶不等量同種電荷的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電場(chǎng)線，它們是一種特殊平面曲線簇.

5結(jié)語(yǔ)

參 考 文 獻(xiàn)

1王小林．兩無限長(zhǎng)均勻帶電平行直線的電力線和等位面．西華師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2001，22(2)：134～138

2徐斌富，章可欽，鄒勇，潘傳芳 ．大學(xué)物理基礎(chǔ)(第二冊(cè))．北京：科學(xué)出版社，2007.19～20

3程若磊．無限長(zhǎng)均勻帶電線與非接地帶電圓柱導(dǎo)體系統(tǒng)的等勢(shì)線與電場(chǎng)線方程 ．物理通報(bào),2013(8)：22～23

4周城壁．高等數(shù)學(xué)(第一冊(cè) 第三版)．北京：高等教育出版社，1997.369

5姚景風(fēng)．圓光柵的莫爾條紋 ．上海機(jī)械學(xué)院學(xué)報(bào)，1983(3)：77～82

6李治林，劉建科．利用莫爾條紋模擬疊加靜電場(chǎng)的等勢(shì)線 ．大學(xué)物理，2011(6)

Two Deductive Methods on Electric Field Line Equation

of Two Infinite Long Uniformly Charged Wires

Jiang Fujin

(Huangpi No.1 High School, Wuhan, Hubei430300)

Abstract:We obtain the electric field line equation by two infinite long uniformly charged wires with the approach of analytic function, and then deduce the equation by using of the moire fringe of radial circular grating. At last, we do numerical simulation for the electric field line by the software MathCAD.

Key words: analytic function; moire fringe; numerical simulation