何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所　甘肅 蘭州　730070)

物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中線性函數(shù)逐差法與平均法的關(guān)系

何述平

(西北師范大學(xué)教育學(xué)院物理教育研究所甘肅 蘭州730070)

摘 要：探究了物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中線性函數(shù)逐差法與平均法的關(guān)系問題，給出了細(xì)致的推證，結(jié)果表明：線性函數(shù)逐差法與平均法等效．

關(guān)鍵詞：線性函數(shù)逐差法平均法關(guān)系

1引言

物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中時(shí)常遇到兩個(gè)直接測量量呈線性函數(shù)關(guān)系，因此，探究線性函數(shù)的數(shù)據(jù)處理方法具有現(xiàn)實(shí)意義．線性函數(shù)的數(shù)據(jù)處理基本方法(準(zhǔn)確程度由低到高)有：圖像法、平均法、逐差法、最小二乘法，且分別有所論述[1]．然而，線性函數(shù)逐差法與平均法有無關(guān)聯(lián)？若有，具體怎樣？本文就此進(jìn)行相應(yīng)的探究，以明確線性函數(shù)逐差法與平均法的關(guān)系，并為進(jìn)一步理解與運(yùn)用逐差法或平均法進(jìn)行線性函數(shù)的數(shù)據(jù)處理奠定理論基礎(chǔ)．

2探究

逐差法、平均法是物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法，也是解決擬合(回歸)直線時(shí)方程數(shù)多于變量數(shù)的方法[1]；據(jù)此簡明、普遍推證線性函數(shù)的逐差法、平均法，進(jìn)而明確其關(guān)系．設(shè)物理直接測量量x和y呈線性關(guān)系

y=a0+a1x

(1)

式中a0與a1為間接測量量(恒量)．測2n組數(shù)據(jù)(xi,yi)，i=1,2,…,2n，n≥1；依次代入式(1)，得2n個(gè)線性方程．

2.1線性函數(shù)逐差法

根據(jù)逐差法處理數(shù)據(jù)的基本思想[1]，式(1)的2n個(gè)線性方程按測量數(shù)據(jù)大小順序隔n項(xiàng)逐差，得

yi+n-yi=a1(xi+n-xi)

(2)

式(2)求和，得

(3)

式(1)的2n個(gè)線性方程求和，得

(4)

式(3)代入式(4)，化簡得

(5)

簡化式(5)、(3)，有

(6)

(7)

2.2線性函數(shù)平均法

根據(jù)平均法處理數(shù)據(jù)的基本思想[1]，式(1)的2n個(gè)線性方程按測量數(shù)據(jù)大小順序?qū)Π敕譃閮山M，再分別求和，得

(8)

(9)

由式(8)、(9)得

(10)

(11)

簡化式(10)、(11)，有

(12)

(13)

2.3線性函數(shù)逐差法與平均法的關(guān)系

比較式(12)、(13)與式(6)、(7)知：線性函數(shù)逐差法、平均法的表達(dá)式相同，即對同一2n組直接測量量(xi,yi)，線性函數(shù)的a0與a1(間接測量量)的逐差法、平均法的估值相同；且有數(shù)據(jù)處理實(shí)例[1]表明線性函數(shù)逐差法、平均法對同一2n組數(shù)據(jù)給出相同的結(jié)果．因此，線性函數(shù)逐差法、平均法的效果相同，即等效．可謂異曲同工．

3討論

3.1特點(diǎn)

由上述推證可見：逐差法的實(shí)質(zhì)是差分-平均，平均法的實(shí)質(zhì)是分組-平均[1]；因此，線性函數(shù)逐差法、平均法的等效反映間接測量量對直接測量量取平均的效果[式(12)、(13)]，只是這種平均是粗略的統(tǒng)計(jì)平均，而非準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)平均(如線性函數(shù)最小二乘法)，即線性函數(shù)逐差法、平均法的等效實(shí)質(zhì)是粗略的統(tǒng)計(jì)平均，并非某種運(yùn)算巧合．

逐差法的適用條件是因變量與自變量的函數(shù)形式為多項(xiàng)式和自變量等間距變化[1]，因此，線性函數(shù)逐差法，若對自變量有等間距的條件，則為嚴(yán)格的逐差法；若無此條件，則為廣義的逐差法即差值法[1]．對式(1)線性函數(shù)逐差法、平均法，都要求測2n組即偶數(shù)組數(shù)據(jù)，因需同時(shí)確定兩個(gè)間接測量量a0與a1．

對式(1)的線性函數(shù)，最小二乘法的估值為[1，2]

(14)

(15)

比較式(14)、(15)與式(12)、(13)知：線性函數(shù)逐差法、平均法的表達(dá)式與最小二乘法的不同，即對同一2n組數(shù)據(jù)，逐差法、平均法處理的結(jié)果一般與最小二乘法的不同．然而，線性函數(shù)最小二乘法卻要求自變量無測量誤差、僅因變量有測量誤差或自變量的誤差限相對較小或可忽略[1，2]，且無偶數(shù)組數(shù)據(jù)的要求．

線性函數(shù)的逐差法、平均法與最小二乘法不同，但線性函數(shù)逐差法、平均法處理數(shù)據(jù)的結(jié)果與線性函數(shù)最小二乘法的卻很接近[1]；線性函數(shù)逐差法、平均法的等效實(shí)質(zhì)是粗略的統(tǒng)計(jì)平均，因粗略而計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差或不確定度就沒有多大的意義[1]．因此，線性函數(shù)逐差法、平均法不失為簡便、實(shí)用的中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理的基本方法．

3.2建議

鑒于線性函數(shù)逐差法與平均法等效，因此，中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中涉及線性函數(shù)的數(shù)據(jù)處理，既可運(yùn)用逐差法，又可運(yùn)用平均法(當(dāng)然可運(yùn)用最小二乘法)．尤其對普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書中涉及的基本而重要的實(shí)驗(yàn)(如測自由落體的加速度[3]、測電源的電動(dòng)勢和內(nèi)阻[4])，應(yīng)運(yùn)用線性函數(shù)逐差法或平均法處理數(shù)據(jù)，而不僅僅是運(yùn)用更粗略的作圖圖像法(當(dāng)然可運(yùn)用準(zhǔn)確的回歸圖像法[5])．

4結(jié)語

本文細(xì)致推證了物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中線性函數(shù)逐差法與平均法的等效；討論了線性函數(shù)逐差法與平均法的等效實(shí)質(zhì)、各自特點(diǎn)，線性函數(shù)逐差法與平均法不等效的特例及其特點(diǎn)，并與線性函數(shù)最小二乘法做了比較；提出了運(yùn)用線性函數(shù)逐差法與平均法處理數(shù)據(jù)的建議．

本文的探究深化了線性函數(shù)逐差法與平均法的認(rèn)識(shí)，奠定了合理運(yùn)用線性函數(shù)逐差法或平均法處理數(shù)據(jù)的理論基礎(chǔ)．

參 考 文 獻(xiàn)

1龔鎮(zhèn)雄．普通物理實(shí)驗(yàn)中的數(shù)據(jù)處理．西安：西北電訊工程學(xué)院出版社，1985．67～168，132，119～120，126～127，120～121，134～135，130

2朱鶴年．基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)教程：物理測量的數(shù)據(jù)處理與實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)．北京：高等教育出版社，2003．67

3人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理1(第3版)．北京：人民教育出版社，2010．44

4人民教育出版社課程教材研究所，物理課程教材研究開發(fā)中心．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3-1(第2版)．北京：人民教育出版社，2007．69～70

5何述平．圖像法處理打點(diǎn)紙帶的研究．物理教師，2013，34(1)：57～60

The Relation between Successive Difference Method

and Average Method of Linear Function

in the Physical Experiment Data Processing

He Shuping

(Research Institute of Physics Education，College of Education，Northwest Normal University，Lanzhou,Gansu730070)

Abstract：This paper inquires into the relation between equaling difference method and average method of linear function in the physical experiment data processing，particular deductions are given，the results indicate that equaling difference method and average method of linear function are equivalent；and necessary discussion is made．

Key words：linear function；equaling difference method；average method；relation

收稿日期：(2015-03-30)

作者簡介：何述平(1964-)，男，碩士，副教授，從事物理教學(xué)論的理論和實(shí)驗(yàn)的教學(xué)與研究工作．