權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的研究*

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院浙江 湖州313000)

張 萍

(北京師范大學(xué)物理學(xué)系北京100875)

*國家自然科學(xué)基金,項(xiàng)目編號：11275067；浙江省高等學(xué)校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)，項(xiàng)目編號：T200924；湖州師范學(xué)院首屆中青年教師卓越教學(xué)能力培養(yǎng)計(jì)劃；浙江省高等學(xué)校訪問學(xué)者教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目.

摘 要：權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)是梯形網(wǎng)絡(luò)的推廣，上、中、下3層各級電阻為等比級數(shù).由電阻的串、并聯(lián)性質(zhì)，得到了這個(gè)網(wǎng)絡(luò)N階等效電阻的遞推關(guān)系式及計(jì)算程序.當(dāng)權(quán)重系數(shù)相等時(shí)，給出了無窮權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的解析表達(dá)式.

關(guān)鍵詞：梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻權(quán)重系數(shù)

收稿日期：(2014-08-07)

作者簡介：邱為鋼(1975-), 男, 博士，副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究.

1引言

把梯形網(wǎng)絡(luò)電阻看作是一級級的開口形電阻組合，那么，文獻(xiàn)[1～4]研究的梯形網(wǎng)絡(luò)電阻，每一級是相同的.我們可以繼續(xù)推廣這個(gè)模型，即每一級開口電阻不再相等，且上、中、下各層電阻前后級成正比關(guān)系(權(quán)重)，而且權(quán)重比例系數(shù)不同.當(dāng)級數(shù)趨向無窮大時(shí)，這個(gè)網(wǎng)絡(luò)的等效電阻如何計(jì)算？這就是本文主要研究問題.

2等效電阻遞推式

設(shè)權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)電阻的級數(shù)為N，等效電阻為RN.每一級的上、中、下層電阻是前一級相應(yīng)各層電阻的倍數(shù)，比例分別為k1,k,k2.最左端的各層電阻分別為r1,r,r2，如圖1所示.

圖1　權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)電阻

從最右端的電阻開始往前逐級計(jì)算，最右邊的一級電阻是

R0=k1Nr1+k2Nr2+kNr

(1)

由電阻的并聯(lián)關(guān)系式，得到第N級電阻與第N-1級電阻的遞推關(guān)系

(2)

式(2)電阻的迭代公式，很容易用數(shù)學(xué)軟件編程數(shù)值計(jì)算.數(shù)學(xué)軟件Mathematica的程序?yàn)椋?/p>

R[k1_,k_,k2_,r1_,r_,r2_,N_]:=

理論上當(dāng)級數(shù)N趨向無窮大時(shí)，以上程序給出的數(shù)值結(jié)果就是這個(gè)權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.但數(shù)值計(jì)算時(shí)，級數(shù)N越大，計(jì)算時(shí)間越大，一般我們?nèi)=100，認(rèn)為這個(gè)值就是等效電阻值.

3權(quán)重系數(shù)相等時(shí)的等效電阻

接下來我們研究電阻的解析性質(zhì).當(dāng)各層電阻的比列系數(shù)相同時(shí),即k1=k=k2，式(2)有解析解.設(shè)Rn=kN-nPn，式(2)化為

(3)

An=krAn-1+(r1+r2)Bn

(4)

Bn=kAn-1+rBn-1

(5)

如果

(6)

那么就有

(7)

(8)

式(7)除以式(8)，計(jì)算得到N級梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻滿足的關(guān)系式為

(9)

計(jì)算得到式(9)中的各個(gè)參數(shù)為

(10)

(11)

以及

(12)

式中

4等效電阻方程

接下來我們考慮各層電阻比列系數(shù)不同時(shí)，無窮梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻所滿足的關(guān)系式.設(shè)這個(gè)無窮等效電阻為R(r1,r2,r,k1,k2,k), 由式(2)取極限，得到

(13)

式(13)就是等效電阻滿足的方程，目前看來沒有解析解，但當(dāng)各層電阻的等比系數(shù)相同時(shí)，可以求解，此時(shí)式(13)化為

(14)

由等效電阻的相似性質(zhì)

R(kr1,kr2,kr,k)=kR(r1,r2,r,k)

(15)

計(jì)算得到無窮梯形網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為

(16)

這與式(9)當(dāng)N趨向于無窮大的極限的結(jié)果是一致的. 當(dāng)比例系數(shù)k趨向于1時(shí)，式(16)就返回到文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.

5結(jié)論

這樣，把梯形網(wǎng)絡(luò)電阻推廣到權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)電阻，得到了等效電阻所滿足的關(guān)系式.當(dāng)權(quán)重系數(shù)相同時(shí)，得到了無窮權(quán)重梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的解析表達(dá)式.

參 考 文 獻(xiàn)

1江超. 梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的研究. 大學(xué)物理, 2000 , 19 (3) :19～22

2陸建隆,譚志中. 關(guān)于梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的普適研究.大學(xué)物理,2001,20 (10) :26～28

3李永安. 梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻的網(wǎng)絡(luò)分析. 大學(xué)物理,2002 ,21 (12) :9～10

4李永安.梯形網(wǎng)絡(luò)等效電阻網(wǎng)絡(luò)分析的再研究. 大學(xué)物理,2003 ,22 (10) :12～14

A Study on the Equivalent Resistance of

Weigthed Ladder-shaped Network

Qiu Weigang

(School of Science, HuZhou Teachers College, HuZhou, ZheJiang313000)

Zhang Ping

(Department of Physics,Beijing Normal University,Beijing100875)

Abstract:The weighted ladder-shaped network is a network in which each ladder resistance is a geometric series. The recursion equation of equivalent resistance is derived with a mathematic code. The analytical expression of equivalent resistance is given when the weight coefficients are the same

Key words: ladder-shaped network; equivalent resistance; weigth coefficient