二維連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定

劉春霞

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院，山東青島266106)

摘要：給出了二維連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性的一個判定定理、兩個推論，并舉例說明用此結(jié)論判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性時，不需要計算邊緣密度函數(shù)，只從聯(lián)合概率密度的形式上就能判斷出X與Y的獨(dú)立性。

關(guān)鍵詞：二維連續(xù)型隨機(jī)變量；獨(dú)立性；判定

收稿日期:2015-02-23

作者簡介:劉春霞(1981-)，女，山東，濱州人，講師，碩士，主要從事高等數(shù)學(xué)教育研究。

中圖分類號：O211文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

二維隨機(jī)變量是概率論與數(shù)理統(tǒng)計[1，2]中非常重要的內(nèi)容，兩個隨機(jī)變量取值之間有無關(guān)系可以用“獨(dú)立性”來度量。

判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性通常是先求出其邊緣密度函數(shù)，然后利用等價條件f(x,y)=fX(x)fY(y)來判斷。計算邊緣密度函數(shù)fX(x)、fY(y)需要用到積分[3]的知識，這對于有些學(xué)生來說有一定難度，下面介紹一種簡單方法只要從f(x,y)的形式就能判斷出二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性。

1預(yù)備知識

定義1 [1]設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S，ω∈S為樣本點(diǎn)，而

X=X(ω)，Y=Y(ω)

是定義在S上的兩個隨機(jī)變量，稱(X,Y)為定義在S上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量。

一般地，稱n個隨機(jī)變量的整體X=(X1,X2,…,Xn)為n維隨機(jī)變量或n維隨機(jī)向量。

定義2 [1]設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù)x,y，二元函數(shù)

F(x,y)=P{Xx,Yy}

稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。

FX(x)=P{Xx}=P{Xx,Y<+}，

FY(y)=P{Yy}=P{X<+,Yy}，

分別稱為F(x,y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)。

定義3 [1]設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x,y)，邊緣分布函數(shù)為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，若對任意實(shí)數(shù)x,y，有

F(x,y)=FX(x)FY(y)，

則稱隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立。

定義4 [1]設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，F(xiàn)(x,y)為其分布函數(shù)，若存在一個非負(fù)可積的二元函數(shù)f(x,y)，使對任意實(shí)數(shù)x,y，有

則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，并稱f(x,y)為(X,Y)的概率密度(密度函數(shù))，或X，Y的聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù))。

分別稱為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)。

對二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，獨(dú)立性的定義等價于：

定義5 [1]對任意實(shí)數(shù)x,y，有

f(x,y)=fX(x)fY(y)

幾乎處處成立，則稱X和Y相互獨(dú)立。

2主要結(jié)果

下面以D(f(x,y>0)的區(qū)域)為有界區(qū)域?yàn)槔齺碛懻摚?dāng)D為無界區(qū)域時，有類似的結(jié)論。

定理：二維連續(xù)型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是f(x,y)可以分解為x的一元函數(shù)f1(x)與y的一元函數(shù)f2(y)的乘積，即f(x,y)=f1(x)f2(y)，并且D=[a,b]×[c,d]或D=D1∪D2∪…∪Dn，其中Di=[ai,bi]×[ci,di]，i=1,2,3,…，n。

證明：設(shè)X，Y的聯(lián)合概率密度為

X與Y的邊緣概率密度分別為

先證明必要性：

設(shè)X與Y相互獨(dú)立，即f(x,y)=fX(x)fY(y)，令f1(x)=fX(x)，f2(y)=fY(y)，即得f(x,y)=f1(x)f2(y)，并且容易看出D=[a,b]×[c,d]。

當(dāng)fX(x)、fY(y)的定義分段更多的話則D=D1∪D2∪…∪Dn，其中每個Di都是矩形域。

下面證明充分性：

設(shè)f(x,y)=f1(x)f2(y)，這時D一定是矩形區(qū)域或者矩形區(qū)域的并的形式。又由聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)得

fX(x)fY(y)=Bf1(x)Af2(y)=ABf1(x)f2(y)，

又因?yàn)锳B=1，所以fX(x)fY(y)=f1(x)f2(y)=f(x,y)，即X與Y相互獨(dú)立。

推論1若f(x,y)不能分解為f1(x)f2(y)，則X與Y一定不相互獨(dú)立。

推論2若D不是矩形區(qū)域或幾個矩形區(qū)域的并，則X與Y一定不相互獨(dú)立。

此結(jié)論可推廣到對n維隨機(jī)變量獨(dú)立性的判定上。

3典型例題

例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

判斷X與Y是否相互獨(dú)立？

例2設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

判斷X與Y是否相互獨(dú)立？

例3設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

判斷X與Y是否相互獨(dú)立？

解：因?yàn)?xy=2x·2y=f1(x)f2(y)，0x1,0y1是矩形區(qū)域，由定理知X與Y相互獨(dú)立。

試問ρ取何值時X與Y相互獨(dú)立？

解：從f(x,y)的形式易看出當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0時，f(x,y)=f1(x)f2(y)，即此時X、Y相互獨(dú)立。

實(shí)際計算得X、Y的邊緣概率密度分別為：

f(x,y)=fX(x)fY(y)時，當(dāng)且僅當(dāng)ρ=0，此時X、Y相互獨(dú)立。

通過以上幾個例題可以看到上面定理以及推論在判斷二維連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立性時是非常好用的。我們不需要計算邊緣概率密度，只從f(x,y)的形式構(gòu)造上就能判斷出X與Y是否相互獨(dú)立。

參考文獻(xiàn):

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[2]盛驟,謝式千.概率論與數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.

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[5]孫建英.數(shù)學(xué)期望在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J]長春大學(xué)學(xué)報，2014,24(2):180—181.

責(zé)任編輯：程艷艷

Determination of Independence of Two-dimensional Continuous Random Variables

LIU Chunxia

(Qindao College, Qingdao Technological University, Qingdao 266106, China)

Abstract：This paper gives a theorem and two corollaries of the independence of two-dimensional continuous random variables. With an example, it illustrates that the calculation of the marginal density function is not necessary while judging two-dimensional continuous random variables by this conclusion, and the independence ofXandYcan be judged from the form of the joint probability density.

Keywords：two-dimensional continuous random variables; independence; judgment