有限秩多任務(wù)核的若干性質(zhì)

劉建強(qiáng)

(寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，銀川750021)

摘要：多任務(wù)核的性質(zhì)研究較少。應(yīng)用多任務(wù)核的刻畫定理，給出多任務(wù)核的若干性質(zhì)，主要包括多任務(wù)核空間結(jié)構(gòu)、沿對角線平移性質(zhì)、多任務(wù)核的Kronecker乘積相關(guān)的幾個性質(zhì)，為多任務(wù)核學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)中選擇多任務(wù)核提供必要的方法和依據(jù)。

關(guān)鍵詞：多任務(wù)核；Kronecker乘積；半正定

收稿日期:2014-03-12

基金項(xiàng)目:寧夏省自然

作者簡介:劉建強(qiáng)(1981-)，男，山東青州人，講師，博士，主要從事多任務(wù)核研究。

中圖分類號：O177.92文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0引言

機(jī)器學(xué)習(xí)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，有多個任務(wù)同時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)，考慮這些任務(wù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)得到的結(jié)果經(jīng)常比忽略他們要好得多[3,4]，這稱為多任務(wù)學(xué)習(xí)。將核方法應(yīng)用到多任務(wù)學(xué)習(xí)中，產(chǎn)生了多任務(wù)核的概念，它最早由C.A.Micchelli等人提出[5]。

設(shè)Y是一個實(shí)希爾伯特空間，稱為輸出空間。對任何y,z∈Y，其內(nèi)積記為〈y,z〉，H為從X到Y(jié)的映射組成的線性空間。用L(Y)表示所有從Y到Y(jié)的有界線性算子，對于任何A=L(Y)，用A*表示其共軛算子。用L+(Y)表示所有非負(fù)有界算子，即任何A∈L+(Y),〈y,A(y)〉≥0。稱算子K:X×X→L(Y)為一個多任務(wù)核，如果

(1) 對任何x,t∈X,K(x,t) ∈L(Y),K(x,t)=K(t,x)*

易見傳統(tǒng)的再生核也是多任務(wù)核，對應(yīng)于輸出空間Y維數(shù)為1的情況，因此在這里稱傳統(tǒng)再生核為標(biāo)量值核。

1主要內(nèi)容

對于固定的輸入空間X和輸出空間Y，所有從從X×X到L(Y)上的多任務(wù)核由于有正性的約束，無法形成線性空間，事實(shí)上，它構(gòu)成了一個凸錐。

性質(zhì)1.1構(gòu)成一個凸錐。

證明：只需證明對K1，K2∈Ω(x,y)，α,β≥0,則αK1+βK2∈Ω(X,Y)。首先對任何x,t∈X,K1(x,t),K2(x,t)∈L(Y),

再有，對x1,…,xm∈X,y1,…,ym∈Y,

證畢。

性質(zhì)1.2設(shè)K∈Ω(X,Rd)，K1為K的d1階主子矩陣，d1≤d 。那么K1∈Ω(X,Rd1)。特別地，多任務(wù)核的對角線元素都是標(biāo)量值核。

特別地，取d1=1，得到的主子陣K1為K的對角線元素，它是標(biāo)量，根據(jù)上面的證明仍得到K1是多任務(wù)核，并且是一維的，因此是標(biāo)量值核，證畢。

性質(zhì)1.3設(shè)K∈Ω(X,Y)，X?R,x,t∈X，則

(1)若s>0，(xt)sK(x,t)∈Ω(X,Y)；

(2)設(shè)s<0，若X不包含原點(diǎn)，(xt)sK(x,t)∈Ω(X,Y)；

(3)設(shè)s<0且X包含原點(diǎn)。若K作為x,t的二元函數(shù)在原點(diǎn)的某鄰域G1內(nèi)解析，且(xt)sK(x,t)在原點(diǎn)的空心鄰域G2內(nèi)解析，則(xt)sK(x,t)∈Ω(X,Y)。

證明：對任何y1,y2,…,ym∈Y，x1,x2，…,xm∈X,

性質(zhì)1~性質(zhì)3中X,Y的范圍均能使上式成立，證畢。

上述性質(zhì)可以理解為：對于某一個一直的多任務(wù)核，將其特征(算子)矩陣沿著對角線上下拉動，得到特征算子對應(yīng)的函數(shù)仍為多任務(wù)核。

下面將通過矩陣的Hadamard乘積和Kronecker乘積討論多任務(wù)核。

設(shè)A=(aij)m1×n1,B=(blr)m2×n2稱矩陣C=(cuv)m1m2×m1n2=(aijB)m2×n2為矩陣A,B的Kronecker乘積，記為C=A?B。若A=(aij)m1×n1，B=(bij)m1×n1,稱矩陣C=(cij)m1×n1=(aijbij)m1×n1為矩陣A,B的Hadamard乘積，記為C=A⊙B 。舒爾(Shur)定理(文獻(xiàn)[7])是說，兩個半正定矩陣的Kronecker乘積是半正定的。因此，我們得到如下的結(jié)論：

根據(jù)此性質(zhì)以及文獻(xiàn)[8]，可得如下結(jié)論：

證明：設(shè)

反過來，假設(shè)Kronecker乘積是多任務(wù)核，一般情況下不能得到參與Kronecker乘積的矩陣值函數(shù)是多任務(wù)核，但我們有下面的兩個結(jié)論。

f∈Ω(C1,Cd2)?f?K∈Ω(C1,Cd1d2)?K?f∈Ω(C1,Cd1d2) 。

證明：根據(jù)性質(zhì)1.5，

f∈Ω(C1,Cd2)?f?K∈Ω(C1,Cd1d2)

且

f∈Ω(C1,Cd2)?K?f∈Ω(C1,Cd1d2)。

現(xiàn)在證明

K?f∈Ω(C1,Cd1d2)?f∈Ω(C1,Cd2)，

f?K∈Ω(C1,Cd1d2)?f∈Ω(C1,Cd2)的證明類似。

且m1+m2=m,c0=c′c″。

由于多任務(wù)核用于同時(shí)處理多個任務(wù)，而且這些任務(wù)之間相互內(nèi)在關(guān)聯(lián)，相互耦合，不存在理論上的方法，能直接將這些任務(wù)分組。但是，可以通過特征算子的特征值(eigenvalue)分解，得到對耦合之后的任務(wù)進(jìn)行分組，從而達(dá)到并行處理的目的。

證明：根據(jù)多任務(wù)核的刻畫定理，

K(x,t)=(φ1(x)θd2×nd2,φ2(x)θd2×nd2,…,φn(x)θd2×nd2)T

⊙C⊙(φ1(t)θd2×nd2,φ2(t)θd2×nd2,…,φn(t)θd2×nd2)。

Ki(x,t)=(φ1(x)θd2×nd2,φ2(x)θd2×nd2,…,φn(x)θd2×nd2)T

⊙C⊙(φ1(t)θd2×nd2,φ2(t)θd2×nd2,…,φn(t)θd2×nd2)

參考文獻(xiàn):

[1]Boser, B., Guyon, I., Vapnik, V. A training algorithm for optimal margin classifiers[J].Pittsburgh, 1992(5)：144-152.

[2]Aronszajn N. Theory of reproducing kernels[J]. Trans. Am. Math. Soc，1950( 68):334‐404.

[3]Caruana R. Multi‐task learning[J]. Mach. Learn, 1997(28): 41-75.

[4]Evgeniou T, Pontil M. Regularized multi‐task learning[A]. International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining[C]：2004.

[5]Micchelli C A, Pontil M. On learning vector‐valued functions[J]. Neural Computation, 2005,17(1): 177-204.

[6]Liu Jianqiang, Micchelli C A, Wang Rui, Xu Y. Finite rank kernels in multitask learning[J]. Advances in Computational Mathematics, 2014, 38(2), 427‐436.

[7]Horn R A, Johnson C R. Matrix Analysis[M]. Oxford city: Cambridge University Press, 1990.

[8]Caponnetto A, Micchelli C A, Pontil M, Ying Y. Universal multitask kernels[J]. Journal of Machine Learning Research, 2008; 9(1):1615‐1646.

責(zé)任編輯：程艷艷

Several Properties of Finite Rank Multi-task Kernel

LIU Jianqiang

(School of Mathematics and Computer, Ningxia University, Yinchuan 750021, China)

Abstract：There is less research on the properties of multi-task kernel. Some properties of multi-task kernel are given by applying the characterizing theorem, including the spatial structure, shifting along diagonal lines and several properties related to Kronecker product, which provides necessary methods and basis for selecting multi-task kernel in learning and experiments.

Keywords：multi-task kernel； Kronecker product； positive semidefinite