齒輪參數(shù)激光周掃系統(tǒng)檢測(cè)精度分析

孫峰1,2，蘇成志1

(1.長(zhǎng)春理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)春130022；2.長(zhǎng)春汽車工業(yè)高等?？茖W(xué)校，長(zhǎng)春130013)

摘要：針對(duì)齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)精度分析問(wèn)題，應(yīng)用拓?fù)浞治龇椒ㄅc多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了齒輪測(cè)量數(shù)學(xué)模型，把誤差分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系變換問(wèn)題，解決了通過(guò)傳統(tǒng)的誤差傳遞方法難以探究高復(fù)雜度系統(tǒng)檢測(cè)精度的難題；通過(guò)數(shù)值仿真分別分析了12個(gè)單項(xiàng)誤差源對(duì)該系統(tǒng)檢測(cè)精度的影響，綜合誤差計(jì)算表明：基于目前的轉(zhuǎn)臺(tái)制造精度和激光檢測(cè)水平，該系統(tǒng)檢測(cè)精度可達(dá)0.003mm。

關(guān)鍵詞：激光周掃；檢測(cè)精度；多體拓?fù)洌徽`差轉(zhuǎn)換

收稿日期:2014-05-28

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然基金(50775014);吉林省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目(20110313)。

作者簡(jiǎn)介:孫峰(1982-)，男，朝鮮族，黑龍江佳木斯人,碩士研究生，主要從事在線檢測(cè)理論與技術(shù)方面的研究；蘇成志(1977-)，男，副教授，博士，主要從事機(jī)電系統(tǒng)、光電檢測(cè)方面的研究。

中圖分類號(hào)：TN249文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

0前言

目前的齒輪測(cè)量方法[1-2]基本上可以分為四種方法：機(jī)械幾何解析測(cè)量法、齒輪嚙合滾動(dòng)式綜合測(cè)量法、CNC坐標(biāo)測(cè)量法和非接觸式齒輪測(cè)量法。上述方法從測(cè)量原理上來(lái)講屬于相對(duì)測(cè)量，易于實(shí)現(xiàn)齒形、齒向和周節(jié)等齒輪誤差的測(cè)量，但對(duì)端跳、齒根圓圓度、齒根圓圓柱度和全齒高等齒輪參數(shù)的測(cè)量卻是技術(shù)難題。這些參數(shù)的測(cè)量是齒輪工藝參數(shù)改進(jìn)與優(yōu)化的依據(jù)，是目前齒輪測(cè)量中亟需解決的問(wèn)題。本文提出了齒輪參數(shù)激光周掃方法。由于齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的復(fù)雜性，難以通過(guò)傳統(tǒng)的誤差傳遞方法探究該系統(tǒng)的檢測(cè)精度。為此，應(yīng)用拓?fù)浞治龇椒ㄅc多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論[3-4]建立其數(shù)學(xué)模型[5]，把誤差分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系變換問(wèn)題，并結(jié)合數(shù)值計(jì)算進(jìn)行精度仿真分析，為該系統(tǒng)的研制奠定了考量基礎(chǔ)。

1齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)原理

如圖1所示，齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)由大理石基座、氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)、激光位移傳感器、升降絲杠、升降絲杠電機(jī)、滑臺(tái)、支撐立柱七部分組成。測(cè)量步驟為，被測(cè)件8放于大理石基座1上靜止不動(dòng), 由升降絲杠4及驅(qū)動(dòng)電機(jī)5完成測(cè)頭Z軸方向的升降，實(shí)現(xiàn)不同截面掃描；氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)6完成同一截面的周掃運(yùn)動(dòng)；滑臺(tái)3完成同一截面內(nèi)測(cè)量半徑的變化；在滑臺(tái)3位置確定的前提下，由激光位移傳感器2對(duì)被測(cè)件進(jìn)行測(cè)量；支撐立柱7用于支撐測(cè)量結(jié)構(gòu)的整體重量。掃描齒輪結(jié)束后，利用掃描的數(shù)據(jù)重構(gòu)齒輪，并與數(shù)字齒輪比較獲得齒輪誤差[6]。

圖1　齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng) 1.大理石基座　2.激光位移傳感器　3.滑臺(tái)　4.升降絲杠　5.升降絲杠電機(jī)　6.氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)　7.支撐立柱　8.被測(cè)件

2建立數(shù)學(xué)模型模

2.1　齒輪參數(shù)激光掃描檢測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)拓?fù)?/h2>

應(yīng)用多體拓?fù)鋵W(xué)中的連續(xù)映射分析法[7]，對(duì)圖1所示的模型建立齒輪參數(shù)激光掃描檢測(cè)系統(tǒng)的進(jìn)行結(jié)構(gòu)拓?fù)鋄8]，如圖2所示，B, G, T1,T2,T依次為低序到高序體，本拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)具有兩個(gè)分支。

2.1.1　激光位移傳感器和基座分支

設(shè)大理石基座為第1體B，O1為該體參考點(diǎn)；支撐立柱為第2體T1，O2為該體參考點(diǎn)；氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)為第3體T2，O3為該體參考點(diǎn)；激光位移傳感器為第4體T，O4為該體參考點(diǎn)。

2.1.2　齒輪和基座分支

設(shè)大理石基座為第1體B，O1為該體參考點(diǎn)；被測(cè)件為第2體G,O5為該體參考點(diǎn)。

矢量q1代表體T1參考點(diǎn)O2相對(duì)于體B參考點(diǎn)O1的位置矢量；矢量q1e代表體T1參考點(diǎn)O2相對(duì)于體B參考點(diǎn)O1的位置誤差矢量；矢量S1代表體T1參考點(diǎn)O2相對(duì)于體B參考點(diǎn)O1的位移矢量；矢量S1e代表體T1參考點(diǎn)O2相對(duì)于體B參考點(diǎn)O1的位移誤差矢量。

矢量q2代表體T2參考點(diǎn)O3相對(duì)于體T1參考點(diǎn)O2的位置矢量；矢量q2e代表體T2參考點(diǎn)O3相對(duì)于體T1參考點(diǎn)O2的位置誤差矢量；矢量S2代表體T2參考點(diǎn)O3相對(duì)于體T1參考點(diǎn)O2的位移矢量；矢量S1e代表體T2參考點(diǎn)O3相對(duì)于體T1參考點(diǎn)O2的位移誤差矢量。

矢量rw，rg分別為測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于體T坐標(biāo)系參考點(diǎn)O4和體G坐標(biāo)系參考點(diǎn)O5的位置矢量。

2.2　幾何運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型

圖2　拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

由圖2建立各體的坐標(biāo)系[9-10]。以第1體B的參考點(diǎn)O1為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系{A}，以此類推，以各體的參考點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系{B}、{C}、{D＇}和{D}。

根據(jù)多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論，建立的幾何運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型[11]如下：

(1)

(2)

(3)

因?yàn)槭噶縭w，rg分別為測(cè)量點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系{D＇}原點(diǎn)和坐標(biāo)系{D}原點(diǎn)的位置矢量，故設(shè)

(4)

(5)

將式(4)、 (5)代入式(3)，整理得到齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)的測(cè)量方程如下：

至此，實(shí)現(xiàn)了把誤差分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了坐標(biāo)系變換問(wèn)題。

(6)

式中：

s表示sin，c表示cos，本文將一律采用此約定；

z為測(cè)頭所在截面高度坐標(biāo)；δ為被測(cè)件半徑方向向量與Y軸逆時(shí)的針夾角；L1是氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心到其在測(cè)量平臺(tái)投影中心的距離，即理想旋轉(zhuǎn)軸高度； θ1=θ2=θ3=arcsin(v/L1),x軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ1，y軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ2，z軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ3,旋轉(zhuǎn)軸v為不垂直度引起水平位移，即旋轉(zhuǎn)軸機(jī)械加工徑向跳動(dòng)；θ4=θ5=θ6=arctan(L軸/R1), x軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ4，y軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ5，z軸相對(duì)轉(zhuǎn)角為θ6,設(shè)氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)軸向跳動(dòng)為L(zhǎng)軸,選用氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)的半徑為R1; L徑(Lx、Ly、Lz)為氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)； Ljx、Ljy、Ljz為由激光測(cè)長(zhǎng)誤差分解為出的x、y、z軸上的分量誤差；式(6)為齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的幾何運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型。在不考慮本系統(tǒng)變形及間隙問(wèn)題時(shí)，可知本系統(tǒng)包括12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)參數(shù),如表1所示。

表1　12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)表

3誤差分析

為了分析本系統(tǒng)精度情況，下面通過(guò)測(cè)量模型(6)，并結(jié)合數(shù)值計(jì)算進(jìn)行精度仿真，圖3為齒輪測(cè)量仿真齒形模擬圖。

1)設(shè)被測(cè)量齒輪直徑范圍為50mm~300mm，高度為100mm，被測(cè)件給定齒輪齒數(shù)為88，被測(cè)件給定齒輪模數(shù)為3.4，如圖3(a)為仿真給定的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字齒輪。

2)設(shè)齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)尺寸如下：氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)中心到其在測(cè)量平臺(tái)投影中心的距離L1=110mm，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)半徑R1=200mm。

3)設(shè)齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)數(shù)據(jù)采樣率為：12600000點(diǎn)/周。

4)設(shè)齒輪測(cè)量的初始位置:測(cè)件給定齒輪形心x坐標(biāo)x0=0mm;測(cè)件給定齒輪形心y坐標(biāo)y0=0mm，測(cè)件給定齒輪形心z坐標(biāo)z0=0mm。

圖3(b)為齒輪參數(shù)激光周掃系統(tǒng)檢測(cè)系統(tǒng)的氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線相對(duì)于大理石基座不垂直時(shí)，齒形仿真結(jié)果圖；圖3(c)為氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)測(cè)量時(shí)，齒形仿真結(jié)果圖；圖3(d)為激光位移傳感器有測(cè)量誤差時(shí)，齒形仿真結(jié)果圖；圖3(e)為氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度有誤差時(shí)，齒形仿真結(jié)果圖。

3.1　單項(xiàng)誤差分析

由表1可知，12項(xiàng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)可分為4項(xiàng)誤差源，下面對(duì)4項(xiàng)誤差源分別進(jìn)行分析：

3.1．1　不垂直度誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系

由齒形仿真圖3(b)可知，由于齒輪參數(shù)激光周掃系統(tǒng)檢測(cè)系統(tǒng)的氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線相對(duì)于大理石基座不垂直，造成齒形測(cè)量截面整體呈橢圓形。

圖3　齒輪測(cè)量仿真齒形模擬圖

圖4　不垂直度與測(cè)量半徑誤差關(guān)系曲線圖

設(shè)被測(cè)件測(cè)量起始位置方向向量與Y軸成逆時(shí)針45°夾角，測(cè)量系統(tǒng)的不垂直度V分別為0.01mm、0.1mm、1mm，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，周掃(360°)后的齒輪半徑仿真誤差如圖4。

由圖4可知，齒輪參數(shù)激光周掃系統(tǒng)檢測(cè)系統(tǒng)的氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)軸線相對(duì)于大理石基座不垂直度誤差對(duì)測(cè)量半徑誤差影響很小,當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸系不垂直度水平位移(徑向跳動(dòng))為10mm時(shí)，測(cè)量半徑誤差最大為0.00018mm數(shù)量級(jí)。機(jī)械加工旋轉(zhuǎn)軸系只要保證不垂直度V≤0.01mm即可，此時(shí)測(cè)量半徑誤差為10-6mm數(shù)量級(jí)。

3.1.2　氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系

由齒形仿真圖3(c)可知，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)對(duì)齒形徑向和軸向測(cè)量精度均產(chǎn)生影響。

1)設(shè)氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向晃動(dòng)與軸向晃動(dòng)為L(zhǎng)徑=L軸≤0.00001mm(正態(tài)隨機(jī)分布隨機(jī)數(shù)模擬氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)量，幅值最大值為0.00001mm)，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖5；

2)設(shè)氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向晃動(dòng)與軸向晃動(dòng)為L(zhǎng)徑=L軸≤0.0001mm(正態(tài)隨機(jī)分布隨機(jī)數(shù)模擬氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)量，幅值最大值為0.0001mm)，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖6；

由圖5與圖6對(duì)比可知，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)誤差即徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)是由所選購(gòu)氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)自身決定的，若高精度的氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)基本為≤0.0001mm，由仿真結(jié)果得，引起測(cè)量半徑最大誤差為0.00042mm，平均誤差影響為0.00015mm;若高精度的氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)均為≤0.00001mm，引起測(cè)量半徑最大誤差為0.000034mm，平均誤差影響為0.000016mm；氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)精度的提高對(duì)半徑測(cè)量誤差影響不大，僅提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，但制造成本增加很大。所以氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)均為≤0.0001mm時(shí)，引起測(cè)量半徑最大誤差為0.00042mm，平均誤差影響為0.00015mm，可以滿足半徑測(cè)量誤差0.003mm要求。

圖5　轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系曲線圖

圖6　轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系曲線圖

3.1.3　激光位移傳感器測(cè)量與測(cè)量半徑誤差關(guān)系

由齒形仿真圖3(d)可知，激光位移傳感器測(cè)量誤差對(duì)齒形徑向測(cè)量精度產(chǎn)生影響。

1)設(shè)激光位移傳感器測(cè)量位移誤差為L(zhǎng)j(Ljx、Ljy、Ljz)≤0.0001mm(正態(tài)隨機(jī)分布隨機(jī)數(shù)模擬激光位移傳感器測(cè)量位移誤差量，幅值最大值為0.0001mm)，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖7；

2)設(shè)激光位移傳感器測(cè)量位移誤差為L(zhǎng)j(Ljx、Ljy、Ljz)≤0.0001mm(正態(tài)隨機(jī)分布隨機(jī)數(shù)模擬激光位移傳感器測(cè)量位移誤差量，幅值最大值為0.001mm)，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖8。

由圖7與圖8對(duì)比可知，激光器位移傳感器位移測(cè)量誤差是由激光器位移傳感器精度自身決定的，當(dāng)激光位移傳感器測(cè)量位移誤差精度為≤0.0001mm時(shí)，引起測(cè)量半徑最大誤差為0.00031mm，平均誤差影響為0.000015mm; 當(dāng)激光位移傳感器測(cè)量位移誤差精度為≤0.001mm時(shí)，引起測(cè)量半徑最大誤差為0.0039mm，平均誤差影響為0.0015mm。

因此，測(cè)量位移誤差精度為≤0.0001mm的激光位移傳感器，既可以滿足測(cè)量要求0.003mm。

圖7　激光器位移測(cè)量誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系圖

圖8　激光器位移測(cè)量誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系圖

3.2　綜合誤差分析

以上分析了各單項(xiàng)誤差對(duì)齒輪測(cè)量精度的影響，下面分析旋轉(zhuǎn)軸線不垂直度V，氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)晃動(dòng)L徑=L軸，激光位移傳感器測(cè)量位移誤差量，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)旋轉(zhuǎn)角度誤差對(duì)齒輪測(cè)量精度的綜合影響。1)設(shè)齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)不垂直度V為0.01mm，氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)軸向晃動(dòng)與徑向晃動(dòng)為L(zhǎng)徑=L軸≤0.0001mm，激光位移傳感器測(cè)量位移誤差為L(zhǎng)j(Ljx、Ljy、Ljz)≤0.0001mm，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖9所示。2)設(shè)齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)不垂直度V為0.01mm，氣浮轉(zhuǎn)臺(tái)軸向晃動(dòng)與徑向晃動(dòng)為L(zhǎng)徑=L軸≤0.001mm，激光位移傳感器測(cè)量位移誤差為L(zhǎng)j(Ljx、Ljy、Ljz)≤0.001mm，代入式(6)，不計(jì)其它誤差，測(cè)量一周(360°)仿真結(jié)果如圖10所示。

對(duì)比圖9與圖10可知：保證齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)軸系不垂直度V≤0.01mm，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)的徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)均為≤0.0001mm，激光位移傳感器測(cè)量位移誤差量為≤0.0001mm的前提下，綜合誤差引起的測(cè)量半徑最大誤差為0.00042mm，平均誤差影響為0.00015mm。

目前機(jī)械設(shè)計(jì)制造方法可以達(dá)到并保證齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)軸系不垂直度V≤0.01mm，氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)的徑向跳動(dòng)與軸向跳動(dòng)均為≤0.0001mm，激光位移傳感器測(cè)量位移誤差量為≤0.0001mm，且綜合仿真測(cè)量結(jié)果為0.00015mm，故本系統(tǒng)設(shè)計(jì)的測(cè)量精度為0.001mm。

圖9　綜合誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系圖

圖10　綜合誤差與測(cè)量半徑誤差關(guān)系圖

4 結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用拓?fù)浞治龇椒ㄅc多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了齒輪測(cè)量數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)值仿真分別分析了12個(gè)單項(xiàng)誤差源對(duì)該系統(tǒng)檢測(cè)精度的影響，仿真結(jié)果表明：

1)建立了幾何運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型，把誤差分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系變換問(wèn)題，解決了通過(guò)傳統(tǒng)的誤差傳遞方法難以探究高復(fù)雜齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的精度分析問(wèn)題；

2)根據(jù)當(dāng)前的氣浮旋轉(zhuǎn)臺(tái)制造精度和激光位移檢測(cè)水平，齒輪參數(shù)激光周掃檢測(cè)系統(tǒng)的精度可達(dá)到0.003mm。

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責(zé)任編輯：吳旭云

Analysis of Detection Precision of Gear Parameter Laser Circling Scan System

SUN Feng1，2，SU Chengzhi1

(1. School of Mechatronical Engineering, Changchun University of Science and Technology, Changchun 130013, China; 2.Changchun Automobile Industry Institute, Changchun 130013, China)

Abstract：In view of the detection precision of gear parameter laser circling scan system, a mathematical model of the gear measurement is constructed by using topology analysis method and multi-body kinetics theory. Then the error analysis problem is transformed into the problem of coordinate system transformation, and the problem of the system detection accuracy with high complexity is solved, which is difficult to be explored by the traditional error transfer methods. In addition, the effect of 12 single error sources on the detection precision of the system is analyzed through numerical simulation. The calculation result of comprehensive error shows that the detection accuracy of the system can reach 0.003mm based on the current turntable manufacturing precision and laser detection level.

Keywords：laser circling scan; detection accuracy; multi-body topology; error conversion