從錯誤題解談二重積分極坐標(biāo)變換的積分限安排

陳鳳德1陳柳娟2呂書龍1

(1.福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，福建福州350116；2.福建教育學(xué)院理科研修部，福建福州350025)

摘要：以學(xué)生的錯誤解答為切入點，給出二重積分極坐標(biāo)變換下積分限安排的一點心得體會。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；二重積分；極坐標(biāo)

作者簡介：陳鳳德(1974-)，男，福建屏南人，福州大學(xué)教授。

中圖分類號：O175.14文獻標(biāo)識碼：A

重積分的計算在數(shù)學(xué)分析課程中多變量積分學(xué)部分占有特別重要的地位，其掌握與否直接涉及到后續(xù)的曲線積分，曲面積分以及三大公式的學(xué)習(xí)，在二重積分的計算中，極坐標(biāo)變換和廣義極坐標(biāo)變換是一個重要內(nèi)容,而這部分內(nèi)容并不容易掌握，文獻[1-3]對極坐標(biāo)系下積分限的安排進行了探討，其中文[2-3]側(cè)重從教師教學(xué)研究的角度進行了深入的理論探討，文[1]則根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的解題情況進行了探討，回答了學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的跟標(biāo)準(zhǔn)答案不一致的情況。筆者在教學(xué)中發(fā)覺哪怕限制角度變換范圍到[0，2π]，由于受直角坐標(biāo)系的影響，學(xué)生照樣會出現(xiàn)錯誤。本文受論文[1]啟發(fā)，也從學(xué)生的常見錯解出發(fā)，來進一步談?wù)剬W(xué)生該如何學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系下重積分積分限的安排。

由復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系歐陽光中、朱學(xué)炎、金福臨和陳傳璋等老師[4]編寫的《數(shù)學(xué)分析》(第三版)是國內(nèi)很多高校數(shù)學(xué)系采用的教材,其下冊第297頁第7題的(3)(4)兩小題：

總體來說，教師在教學(xué)中要有意識的強調(diào)：(1)在直角坐標(biāo)系下畫出草圖；(2)借助x=rcosθ,y=rsinθ確定邊界方程r=r1(θ),r=r2(θ)；(3)強調(diào)的積分限安排要以固定的θ來確定，是從極角θ出發(fā)的射線跟r=r1(θ),r=r2(θ)的交點。經(jīng)過這樣的強調(diào)后學(xué)生在做作業(yè)時就可能會較少出現(xiàn)上述錯誤，或者在出現(xiàn)上述錯誤后，經(jīng)過教師講評也能較快理解自己的錯誤之處并進一步掌握正確的積分限安排手法。

參考文獻：

[1]任麗平.用極坐標(biāo)計算二重積分教學(xué)初探[J].呂梁高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2009(1).

[2]高玉芬.重積分在極坐標(biāo)變換下確定積分限的方法探究[J].青海師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2012(1).

[3]袁榮.利用極坐標(biāo)計算二重積分的方法與技巧[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(1).

[4]歐陽光中,朱學(xué)炎,金福臨，等.數(shù)學(xué)分析(下)(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2010.