旋轉(zhuǎn)矢量法在振動(dòng)與波中的應(yīng)用

柯 堯*

(江西省九江第一中學(xué)江西 九江332000)

摘 要：旋轉(zhuǎn)矢量法是求解振動(dòng)與波動(dòng)問(wèn)題的一種重要而又有效的方法，本文通過(guò)3個(gè)高考題介紹了旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用，從而拓展了解決振動(dòng)與波相關(guān)問(wèn)題的解題思路.

關(guān)鍵詞：旋轉(zhuǎn)矢量法振動(dòng)波動(dòng)

收稿日期：(2014-10-24)

作者簡(jiǎn)介：*柯堯(1983-)，男，中教一級(jí)，主要從事高中物理教學(xué)及研究.一直擔(dān)任物理競(jìng)賽教學(xué)、物理競(jìng)賽特級(jí)教練，曾輔導(dǎo)多名學(xué)生進(jìn)入國(guó)家冬令營(yíng).

1何謂旋轉(zhuǎn)矢量法

如圖1，A為一長(zhǎng)度保持不變的矢量，A的始點(diǎn)在x坐標(biāo)軸原點(diǎn)處，計(jì)時(shí)起點(diǎn)t=0時(shí)，矢量與坐標(biāo)軸夾角為α，矢量A以角速度ω0逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，矢量A在任一瞬間與x軸夾角為ω0t+α，用x表示矢量A在坐標(biāo)軸上的投影，有x=Acos(ω0t+α).可見(jiàn)，勻速旋轉(zhuǎn)矢量在坐標(biāo)軸上的投影可表示一特定的簡(jiǎn)諧振動(dòng).不難發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度等于振幅；矢量A旋轉(zhuǎn)的角速度等于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率；矢量A與x軸正方向的夾角等于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位.通常將此方法稱為旋轉(zhuǎn)矢量法，又稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的幾何表示法[1].

圖1　旋轉(zhuǎn)矢量法示意圖

旋轉(zhuǎn)矢量法將數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化成了動(dòng)態(tài)的圖形，相當(dāng)于數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合.美國(guó)數(shù)學(xué)家斯蒂恩曾說(shuō),“如果一個(gè)特定的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思想就整體地把握了問(wèn)題，并且能創(chuàng)造性地思索問(wèn)題的解法”.本文通過(guò)舉例說(shuō)明旋轉(zhuǎn)矢量法在解高考題中的應(yīng)用.

2旋轉(zhuǎn)矢量法在簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的應(yīng)用

振動(dòng)是自然界中一種非常常見(jiàn)的運(yùn)動(dòng)形式，幾乎所有的微振動(dòng)都可視為簡(jiǎn)諧振動(dòng).旋轉(zhuǎn)矢量法可以十分直觀地描述振動(dòng)物體的位移、速度、加速度、相位等物理量的變化.特別是在處理同頻率振動(dòng)的合振動(dòng)上更是體現(xiàn)其簡(jiǎn)便易行.

圖2

或

或

即

或

或

其中k=0,1,2,…

或

或

即

或

或

其中k=0,1,2,…

3旋轉(zhuǎn)矢量法在波動(dòng)中的應(yīng)用

圖3　 Q落后 P的相位

分析：解決波動(dòng)的題常規(guī)方法是利用質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)情況畫出波形圖，再根據(jù)波形圖判斷質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況，但是本題質(zhì)點(diǎn)所處的位置既不是最大位移也不是最小位移，通過(guò)畫波形求出答案難度較大.不妨嘗試通過(guò)旋轉(zhuǎn)矢量法來(lái)分析.

圖4

A．上方且向上運(yùn)動(dòng)

B．上方且向下運(yùn)動(dòng)

C．下方且向上運(yùn)動(dòng)

D．下方且向下運(yùn)動(dòng)

圖5

通過(guò)上述3例不難發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)矢量法在解決振動(dòng)或波動(dòng)問(wèn)題時(shí)，的確有獨(dú)到之處.在高中階段，振動(dòng)一般不要求作復(fù)雜的定量計(jì)算.但在物理競(jìng)賽和自主招生試題中可能就會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，這時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量法更是能體現(xiàn)其簡(jiǎn)便.旋轉(zhuǎn)矢量法的應(yīng)用遠(yuǎn)不止這些，其實(shí)凡是按正余弦變化的量都可以進(jìn)行矢量化，都可以讓問(wèn)題在直觀的圖形中解決.

參 考 文 獻(xiàn)

1漆安慎，杜嬋英．力學(xué)．北京：高等教育出版社，1997.265