彎曲絲帶有關(guān)物理現(xiàn)象的解析

邱為鋼*

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院浙江 湖州313000)

*國家自然科學(xué)基金,項目編號：11475062，11275067；湖州師范學(xué)院中青年教師卓越教學(xué)能力培養(yǎng)計劃專題項目，項目編號：2014ZYJH017作者簡介：邱為鋼(1975-), 男, 博士，副教授，主要從事大學(xué)物理的教學(xué)和研究.

摘 要：假設(shè)彈性勢能正比于曲率平方，由變分原理，得到了重力場中旋轉(zhuǎn)絲帶的形狀方程，并畫出了圖形.給出了向上豎直放置絲帶開始彎曲時的臨界長度精確值，以及向下豎直放置絲帶開始彎曲時的臨界轉(zhuǎn)速與長度關(guān)系圖.

關(guān)鍵詞：彈性勢能絲帶臨界值

收稿日期：(2014-09-30)

先從一個常見的生活現(xiàn)象開始，在宴會上水果拼盤處，常會看到一根細長的木桿，其底部綁著很多細細的絲帶.當(dāng)木桿處于不同狀態(tài)時，其上的絲帶對應(yīng)呈現(xiàn)不同的分布狀態(tài):豎起來正放，絲帶散開；旋轉(zhuǎn)起來，絲帶傾向于水平展開.倒放，絲帶幾乎成一直線；旋轉(zhuǎn)，絲帶也散開，如圖1所示.

圖1　實際生活中彎曲的絲帶

(1)

其中s是弧長坐標，θ是曲線上一點切線與縱軸的夾角，ρ是質(zhì)量密度，ω是轉(zhuǎn)速，l是絲帶的長度.物理量可以相加，其量綱必定相等.定義一個長度單位l0和頻率單位ω0，式(1)中的前3項量綱相等，得到

于是得到長度單位

頻率單位

(2)

(3)

由解析幾何知識可知

(4)

以及

(5)

設(shè)

dG(s)=dsdH(s)=λxds

(6)

分部積分，并利用式(5)和式(6)，將式(3)中的積分項化為

(7)

式(3)中的邊界項包含G(s1),H(s1),θ′(s1)等項.對于任意的η(s)，式(7)為零，于是得到彎曲絲帶的形狀方程

(8)

及邊界條件

θ′(s1)=0H(s1)=0G(s1)=0

(9)

式(8)與文獻[1]中利用彈性理論得到的方程一致.數(shù)值計算中，絲帶下端固定為原點，起始條件是

(10)

數(shù)值求解式(4)和式(8)，由邊界條件式(10)反過來確定式(9)中的參數(shù)α,G0,H0，就能確定絲帶的形狀.

考慮第一個問題，當(dāng)彈性系數(shù)k固定時，絲帶豎直正放，長度至少達到多長(臨界長度lc)，絲帶才開始彎曲.先定性分析，長度大，不彎曲，重力勢能大,彈性勢能為零；長度大而彎下來，重力勢能減小，但彈性勢能增大；所以絲帶有一個臨界長度，超過這個臨界長度，絲帶開始彎曲.文獻[2]以圓木為例，半定量分析得到

其中Yr2相當(dāng)于本文中的彈性系數(shù)k，但沒有給出比例系數(shù).利用本文給出的方程式(4)和式(8)，數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，臨界長度的定量結(jié)果是lc=1.994 4l0.

圖2　豎直正放絲帶臨界轉(zhuǎn)速與長度的理論關(guān)系圖

由圖2可以看出，豎直正放的絲帶，長度越大，使絲帶開始彎曲的轉(zhuǎn)速越小，當(dāng)長度趨向于臨界長度lc時，轉(zhuǎn)速趨向于零.當(dāng)絲帶長度為l=1.5l0，轉(zhuǎn)速比例系數(shù)分別為λ=1.45，λ=1.5，λ=1.8，λ=2.2，λ=3.0，λ=4.0時，絲帶形狀如圖3所示.

圖3　豎直正放長度為l=1.5l 0的絲帶在不同轉(zhuǎn)速下的形狀

由圖3可以看出，轉(zhuǎn)速越大，絲帶越往外伸展.當(dāng)絲帶長度為l=2.5l0，轉(zhuǎn)速比例系數(shù)分別為λ=0.0，λ=0.5，λ=1.0，λ=2.0，λ=3.0，λ=4.5時，絲帶形狀如圖4所示.

圖4　豎直正放長度為l=2.5l 0的絲帶在不同轉(zhuǎn)速下的形狀

由圖4可以看出，轉(zhuǎn)速越大，絲帶越向外伸展.

第三個問題是，當(dāng)絲帶豎直倒放時，轉(zhuǎn)速至少達到多大(臨界轉(zhuǎn)速ωc)時，絲帶才開始彎曲.這個臨界值依賴于絲帶的長度.數(shù)值計算得到的臨界轉(zhuǎn)速ωc與絲帶長度l的關(guān)系如圖5所示.

圖5　豎直倒放絲帶臨界轉(zhuǎn)速與長度的理論關(guān)系圖

圖6　豎直倒放長度為l=1.5l 0的絲帶在不同轉(zhuǎn)速下的形狀

由圖5看出，絲帶長度越大，臨界轉(zhuǎn)速越小，當(dāng)絲帶長度趨向無窮大時，臨界轉(zhuǎn)速趨向于零.當(dāng)絲帶長度為l=1.5l0，轉(zhuǎn)速比例系數(shù)分別為λ=2.5，λ=3.5，λ=3.8，λ=4.0，λ=4.3，λ=4.6，λ=5.0，λ=5.5時,絲帶形狀如圖6所示.

當(dāng)絲帶長度為l=2.5l0，轉(zhuǎn)速比例系數(shù)分別為λ=1.1，λ=1.2，λ=1.4，λ=1.6，λ=1.8，λ=2.0，λ=2.2，λ=2.5時,絲帶形狀如圖7所示.

圖7　豎直倒放長度為l=2.5l 0的絲帶在不同轉(zhuǎn)速下的形狀

由圖6和圖7可以看出，絲帶越長，轉(zhuǎn)動的彎曲效應(yīng)越明顯.

轉(zhuǎn)動絲帶模型中有3個因素對形狀施加影響，重力傾向于拉低，離心力傾向于離開轉(zhuǎn)軸，彈性勢能傾向于不彎曲，三者共同作用，使得絲帶呈現(xiàn)多種形狀.在這個模型中，重力加速度、彈性系數(shù)不能改變，是固定的，但是長度和轉(zhuǎn)速是可以調(diào)控的，這就給實驗設(shè)計提供了方便，有興趣的讀者不妨試試，測量轉(zhuǎn)動絲帶的各種物理量和幾何量，對本文的理論預(yù)言進行驗證.

參 考 文 獻

1朗道，粟弗席茲.彈性理論(第5版).北京：高等教育出版社，2011.80～82

2趙凱華.定性與半定量物理學(xué)(第2版).北京：高等教育出版社，2008.85～86

ExplanationonthePhysicalPhenomenon

RelatingtotheBentRibbon

QiuWeigang

(SchoolofScience,HuzhouTeachersCollege,Huzhou,Zhejiang, 313000)

Abstract:The shape equation of bending ribbon is derived from variation principle with the assumption that the elastic potential is proportional to the square of curvature. The theoretical shape is drawn from numerical results. The exact critical length of up-ribbon is given and theoretical curve of critical speed of revolution via length of down-ribbon are also drawn.

Keywords:elasticpotential;ribbon;criticalvalue