丁照東+黃依慧

【摘 要】期權(quán)定價(jià)是一種價(jià)值最大化過(guò)程，根據(jù)不同時(shí)期不同股價(jià)的路徑獲取收益的最大值，并且考慮資產(chǎn)的時(shí)間價(jià)值?；炯僭O(shè)是股價(jià)波動(dòng)符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)（Geometric Brownian Motion），這些波動(dòng)可以用偏微分方程來(lái)描述。對(duì)于歐式期權(quán)來(lái)說(shuō)，存在偏微分方程的解析解，通過(guò)Black-Scholes模型可以得到。期權(quán)定價(jià)可以運(yùn)用蒙特卡羅法進(jìn)行模擬估算，均值與解析解比較接近。盡管如此，模擬估算的過(guò)程仍存在比較大的缺陷，比如價(jià)格方差過(guò)大，置信區(qū)間無(wú)效等。這些缺陷可以通過(guò)改良蒙特卡洛方法來(lái)進(jìn)行彌補(bǔ)。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價(jià)；蒙特卡洛法；方差縮減技術(shù)；控制變量

一、 背景

首先我們需要溫習(xí)蒙特卡洛法進(jìn)行歐式期權(quán)定價(jià)的過(guò)程：

（1）獲得T時(shí)間內(nèi)的股價(jià)路徑，可以認(rèn)為時(shí)間T的時(shí)候期權(quán)到期

（2）獲得T時(shí)間點(diǎn)上的收益 ，其中 為T時(shí)間點(diǎn)上的股票價(jià)格，K為歐式期權(quán)的行權(quán)價(jià)

（3）考慮時(shí)間價(jià)值，將收益折算成現(xiàn)價(jià)，即為一個(gè)可能的期權(quán)價(jià)格

（4）重復(fù)上述（1）（2）（3）步驟n次，獲取n個(gè)可能的期權(quán)價(jià)格

（5）取這n個(gè)可能的期權(quán)價(jià)格的平均值，即為蒙特卡羅法估計(jì)的期權(quán)價(jià)格

上述五個(gè)步驟的數(shù)理和編程邏輯可以簡(jiǎn)化為：

For i = 1，2，…，n

生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù) Zi

以上并非標(biāo)準(zhǔn)的編程語(yǔ)言，僅表示編程邏輯，其中字母S系列代表股價(jià)，S（0）是股票初始價(jià)格，r是利率，字母C系列是期權(quán)價(jià)格，K是行權(quán)價(jià)，T是當(dāng)前歐式期權(quán)距離到期日的時(shí)間，σ是股價(jià)波動(dòng)率，Zi來(lái)自于Black-Scholes模型中的隨機(jī)量，假設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

實(shí)際上，對(duì)于期權(quán)定價(jià)來(lái)說(shuō)，蒙特卡洛是比較粗糙的方法，盡管可以得到一個(gè)比較滿意的平均值，但是計(jì)算過(guò)程中期權(quán)價(jià)格Ci的方差大得驚人，更不用說(shuō)置信區(qū)間。在后續(xù)的討論中，我們可以從數(shù)據(jù)和圖像上看到這一點(diǎn)。

二、改良蒙特卡洛法：方差縮減技術(shù)

方差縮減技術(shù)是對(duì)蒙特卡洛方法的優(yōu)化，引入方差縮減技術(shù)的目的就是減少蒙特卡洛計(jì)算過(guò)程中Ci的方差，收縮置信區(qū)間，增加計(jì)算的精準(zhǔn)度。當(dāng)然方差縮減技術(shù)有多種，比如，控制變量（control variates， CV）、對(duì)偶變量（Antithetic Variates， AV）、分層抽樣（Stratified Sampling， SS）、拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling， LHS）、矩匹配（Moment Matching， MM）和重要性抽樣（Importance Sampling， IS）。本文中我們采用控制變量的方法，該方法的核心思想是引入另外一個(gè)變量，此變量的期望值可以通過(guò)解析式的形式計(jì)算，也就是與樣本變量之間存在關(guān)系；根據(jù)引入變量可以得到一個(gè)估計(jì)值，該估計(jì)值與樣本變量得到的估計(jì)值之間也存在關(guān)系，這樣的關(guān)系可以用b來(lái)表示。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)闡述就是：

（1）假定Y1，Y2，…Yn為樣本觀測(cè)值，獨(dú)立同分布，我們的目標(biāo)是估計(jì)Yi的期望E[Yi]，普通的無(wú)偏估計(jì)法是計(jì)算Y1，Y2，…Yn的算術(shù)均值；

（2）控制變量法是引入另一個(gè)變量Xi，并且Xi的期望已知，Xi與Yi之間存在如下關(guān)系：

從而得到一個(gè)新的帶估計(jì)變量Ybi，其中b為一個(gè)實(shí)數(shù)。不難看出，無(wú)論b取何值，Yb和Y的期望是相等的，所以這個(gè)變換不影響蒙特卡洛方法的均值結(jié)果，重點(diǎn)在于中間過(guò)程所有Yi值的方差。我們已經(jīng)知道Yi的方差非常大（正如前文的Ci），目的是讓新的估計(jì)量Ybi的方差盡可能的小。

（3）通過(guò)計(jì)算不難得到Y(jié)b和Y方差的關(guān)系：

所以，問(wèn)題又回到我們構(gòu)建的變量X與原有樣本變量Y之間的關(guān)系，相關(guān)系數(shù)越是接近于1，我們得到的結(jié)果越好。

三、控制變量（control variates）在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用

我們已經(jīng)知道歐式期權(quán)定價(jià)中，股價(jià)Si是樣本變量，目標(biāo)是估計(jì)期權(quán)價(jià)格，那么我們針對(duì)Si引入如下變量：

設(shè)定N為蒙特卡羅法在Matlab程序中循環(huán)的次數(shù)，分別讓N=1000、10000、100000、1000000，比較經(jīng)典的蒙特卡羅法和改良的蒙特卡羅法進(jìn)行期權(quán)定價(jià)的過(guò)程。上面四張圖分別為循環(huán)過(guò)程中得到的可能的期權(quán)價(jià)格。

上圖中藍(lán)色代表簡(jiǎn)單蒙特卡羅法估算歐式期權(quán)價(jià)格的過(guò)程，紅色代表控制參數(shù)法改良后的蒙特卡羅法估算歐式期權(quán)價(jià)格的過(guò)程，可以看出前者非常不穩(wěn)定，有時(shí)候價(jià)格嚴(yán)重偏離均值，而后者的估算精度非常高，誤差很小。

根據(jù)BS模型解析式計(jì)算得到的歐式期權(quán)價(jià)格為13.3886，上表中各次試驗(yàn)的結(jié)果都和解析結(jié)果非常接近。但是傳統(tǒng)蒙特卡羅法的標(biāo)準(zhǔn)差非常大，甚至達(dá)到120以上，大約是期權(quán)價(jià)格本身的10倍，如此之高的方差會(huì)損害蒙特卡羅法本身在期權(quán)定價(jià)方面的有效性，而改良后的估算法誤差大大減少，并且使得置信區(qū)間變得有意義；同時(shí)，我們引入的變量SG和原有變量S的相關(guān)性極高（0.9997），也驗(yàn)證了上述的解析式推演結(jié)果。

四、總結(jié)

可以看出，引入的變量極大降低了估算價(jià)格的方差，使得原本無(wú)意義的置信區(qū)間具有解釋期權(quán)價(jià)格的能力。因此可以說(shuō)，將蒙特卡羅模擬方法與方差縮減技術(shù)結(jié)合，是提高期權(quán)定價(jià)效率的重要途徑。當(dāng)然，正如上文所述，方差縮減技術(shù)出控制變量外還有多種，這些方法有待于進(jìn)一步研究。

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