【摘要】 柯西積分公式是解析函數(shù)的積分表達式，是我們研究解析函數(shù)各種局部性質(zhì)的重要工具，是聯(lián)系函數(shù)及其積分的橋梁.本文主要研究被積函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)有2個及其以上奇點的情形，得到了相應的共軛解析函數(shù)的積分公式.

【關鍵詞】 共軛解析函數(shù)；奇點；積分公式

【中圖分類號】 O174.5 【文獻標識碼】 A

【基金項目】 國家自然科學青年基金資助項目（No. 61304146），貴州省高校優(yōu)秀科技創(chuàng)新人才支持計劃資助項目（黔教合KY字[2012]101號），貴州省科技廳、安順市政府、安順學院三方聯(lián)合基金（黔科合J字LKA[2013]19號）

1.引 言

柯西積分公式是復變函數(shù)中十分重要的一個公式，既有理論價值，又有實際應用，它的重要性在于一個解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它的邊界上的值通過積分來表示，正由于這一點，柯西積分公式提供了計算復積分的重要方法，它把沿閉曲線的積分轉化為求函數(shù)的函數(shù)值，從而簡單巧妙地解決了大量復積分的計算問題.同時也為一些實積分的計算提供幫助，比如被積函數(shù)是非初等函數(shù)的實積分問題，只能借助復積分的方法去解決.已有很多學者對解析函數(shù)的柯西積分公式進行了研究.特別地，文[1]給出了函數(shù)在區(qū)域內(nèi)只有一個奇點時的柯西積分公式，文[2]討論了有界區(qū)域內(nèi)不同奇點個數(shù)時的柯西積分公式的推廣形式.

解析函數(shù)雖然能解決平面無源無旋場的問題，但對于有源場和有旋場就無能為力了.1988年，王見定提出了共軛解析函數(shù)，共軛解析函數(shù)可以用來解決解析函數(shù)所能解決的幾乎所有問題，并且比解析函數(shù)更直觀，方便.王見定研究了函數(shù)在有界區(qū)域只有一個奇點時的共軛解析函數(shù)的積分公式：

引理1 若Γ為區(qū)域D的邊界周線，F(xiàn)（z）= f（z） z-z0 ，f（z）在D內(nèi)共軛解析，z0∈D，D - =D+Γ，則

∫Γ f（z） z-z0 dz =-2πif（z0）.

引理2 若Γ為區(qū)域D的邊界周線，F(xiàn)（z）= f（z） （z-z0）n ，f（z）在D內(nèi)共軛解析，z0∈D，D - =D+Γ，則

∫Γ f（z） （z-z0）n dz =- 2πi （n-1）！ f（n-1）（z0）

引理1、引理2中的z0是被積函數(shù)在周線Γ所圍區(qū)域內(nèi)唯一的奇點.如果給定的被積函數(shù)在周線Γ所圍區(qū)域內(nèi)有2個及以上奇點時就不可直接用它們，本文針對被積函數(shù)在有界區(qū)域內(nèi)有2個及以上奇點的情況，推廣了共軛解析函數(shù)的積分公式.

2.主要結果

定理1 若Γ為簡單閉曲線，F(xiàn)（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q ，f（z）是Γ內(nèi)的共軛解析函數(shù)，且z1，z2在Γ的內(nèi)部，則

∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .

其中φ（z）= f（z） （z-z1）p ，ψ（z）= f（z） （z-z1）q .

證明 在Γ內(nèi)作以z1，z2為圓心，r1，r2為半徑的兩個互不相交的圓，分別為c1，c2.由[7，定理4]，得

∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz +∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz . （1）

由于ψ（z）= f（z） （z-z2）q 在c1內(nèi)共軛解析，所以由引理1得

∫c1 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c1 f（z） （z-z2）q （z-z1）p dz =∫c1 ψ（z） （z-z1）p dz =- 2πi （p-1）！ ψ（p-1）（z1）. （2）

同理，由于φ（z）= f（z） （z-z1）q 在c2內(nèi)共軛解析，則

∫c2 f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =∫c2 f（z） （z-z1）p （z-z2）q dz =∫c2 φ（z） （z-z2）q dz =- 2πi （q-1）！ φ（q-1）（z2）. （3）

把（2）、（3）代入（1），得

∫ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz =-2πi 1 （p-1）！ ψ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ φ（q-1）（z2） .

證完.

特別地，當F（z）= f（z） （z-z1）p（z-z2）q 中p=1，q=0時，即為引理1；當q=0時即為引理2.

推論1 設f（z）在以z為圓心，R為半徑的區(qū)域C內(nèi)共軛解析，在C內(nèi)有互不相交的以z1，z2為圓心，r1，r2為半徑的圓形區(qū)域c1，c2.設M=max z =R f（z） ，則

1 （p-1）！ φ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） ≤ MR r1pr2q

證明 由定理1，得

1 （p-1）！ φ（p-1）（z1）+ 1 （q-1）！ ψ（q-1）（z2） = - 1 2πi ∫Γ f（z） （z-z1）p（z-z2）q dz ≤ 1 2π ∫ z =R f（z） z-z1 p z-z2 q dz ≤ 1 2π · M r1pr2q ·2πR= MR r1pr2q .

證完.

定理1給出了被積函數(shù)在周線Γ所圍區(qū)域內(nèi)有2個奇點時的共軛解析函數(shù)的積分公式.下面我們將定理1的結果推廣到被積函數(shù)在周線Γ所圍區(qū)域內(nèi)有2個以上奇點時的情形.

定理2 若Γ為簡單的閉曲線，設F（z）= f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni ，其中zi在Γ的內(nèi)部且f（z）共軛解析，則

∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz ==-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.

其中 φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk ，k∈ N *.

證明 在Γ內(nèi)作以zi為圓心，ri為半徑的n個互不相交的圓，分別為ci，i=1，…，n.由于φk（z）= f（z） ∏ n k≠i i=1 （z-zk）nk 在ci內(nèi)共軛解析，所以由引理2得

∫Γ f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ci f（z） ∏ n i=1 （z-zi）ni dz =∑ n i=1 ∫ ci φk（z） （z-zi）ni dz =-2πi∑ n i=1 1 （ni-1）！ φ（ni-1）（zi）.

證完.

類似于推論1，由定理2，我們也可以得到下面的推論.

推論2 設f（z）在以z為圓心、R為半徑的圓C內(nèi)共軛解析，在C內(nèi)有以zi為圓心，ri為半徑的圓形區(qū)域ci.設M=max z =R f（z） ，則

∑ n k=1 1 （nk-1）！ φk（n-1）（zk） ≤ MR ∏ n i=1 rini

應用上面的定理，計算積分區(qū)域內(nèi)有多個奇點時的共軛積分是很方便的，下面試舉一例.

例1 計算積分∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz .

解 顯然f（z）= 5z-2 z（z-1）2 在 z =2內(nèi)有兩個奇點z=0，z=1，令

φ（z）= 5z-2 z - ， ψ（z）= 5z-2 （z-1）2 .

則由定理1得

∫ z =2 5z-2 z（z-1）2 dz =-2πi 1 （1-1）！ ψ（1-1）（0）+ 1 （2-1）！ φ（2-1）（1） =-2πi（-2+2）=0.