【摘要】 洛比達(dá)法則是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的定理，本文證明洛比達(dá)法則成立的三個(gè)條件可減少為兩個(gè).

【關(guān)鍵詞】 洛比達(dá)法則；三個(gè)條件；減為；兩個(gè)條件

洛比達(dá)是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的定理，它是求極限的一個(gè)非常重要的方法，目前在國(guó)內(nèi)出版發(fā)行的高等數(shù)學(xué)、微積分或數(shù)學(xué)分析教材中都有洛必達(dá)法則定理.在這些教材中，關(guān)于洛比達(dá)法則定理主要有四個(gè)，定理成立的條件都是三個(gè)，本文證明洛比達(dá)法則成立的三個(gè)條件可減少為兩個(gè).為討論方便，我們將這四個(gè)洛必達(dá)法則定理復(fù)述如下

定理 1（LHospital法則 0[]0 型）若函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）；（2）在點(diǎn)x0的某一去心鄰域U 0 （x0）內(nèi)，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.

則lim x→x0 f（x）[]g（x） =

lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.

定理2（LHospital法則 ∞[]∞ 型）若函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞；（2）在點(diǎn)x0的某一去心鄰域U 0 （x0）內(nèi)，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.

則lim x→x0 f（x）[]g（x） =lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）

注：定理1和定理2對(duì)單側(cè)極限x→x-0，x→x+0也成立.

定理3（LHospital法則 0[]0 型）若函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=0；（2）當(dāng)|x|>N時(shí)，f′（x）， g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N為某一自然數(shù)）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）

則lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）

定理4（LHospital法則 ∞[]∞ 型） 若函數(shù)f（x），g（x）滿足：

（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=∞；（2）當(dāng)|x|>N時(shí)，f′（x），g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N為 某一自然數(shù)）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） = A（或∞）.

則lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.

注：定理3和定理4對(duì)單側(cè)極限x→-∞，x→+∞也成立.

現(xiàn)在我們來(lái)分析上述四個(gè)定理成立的條件，實(shí)際上，這四個(gè)定理成立的三個(gè)條件不是獨(dú)立的，其中條件（2）隱含在條件（3）中，也就是說，如果條件（3）成立，則條件（2）一定成立，所以條件（2）是多余的，可以省略.證明如下

證明 我們先證明定理1和定理2中的條件（2）可以省略，即證明：（3）（2）.

先證：lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（2）.用反證法，先證lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A的情形，即設(shè)lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即在點(diǎn)x0的任一去心鄰域U 0 x0， 1[]n （n=1，2，…）內(nèi)，xn∈U 0 x0， 1[]n 使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0.從而得lim x→∞ xn=x0.這樣存在一個(gè)子列{xn}使lim x→x0 f′（xn）[]g′（xn） 不存在.從而根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系推出，lim x→x0 f′（x）[]g′（x） 不存在.與假設(shè)lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A矛盾.對(duì)lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =∞的情形證法完全類似.

再證明定理3和定理4中的條件（2）也可以省略，即證明：（3）（2）.

先證：lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（2）.也用反證法.設(shè)lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即n（n=N，N+1，N+2，…），xn，|xn|>n（n=N，N+1，N+2…）時(shí)，使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0，這樣存在一個(gè)子列{xn}，lim n→∞ xn=∞.lim xn→∞ f′（xn）[]g′（xn） 不存 在.從而根據(jù)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系推出，lim x→∞ f′（x）[]g′（x） 不存在.與假設(shè)lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A矛盾.對(duì)lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =∞ 的情形，證法完全類似.證畢.

這樣我們證明了洛比達(dá)（LHospital）法則定理中的三個(gè)條件中的第二個(gè)條件是多余的，可以去掉.所以四個(gè)洛比達(dá)（LHospital）法則定理可簡(jiǎn)述為