【摘要】 《高等數(shù)學(xué)》中求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的極限而引用的定理L′Hopsital法則，從定理本身來(lái)看，由于有了條件（1），條件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重復(fù)的.

【關(guān)鍵詞】 定理（L′Hopsital法則）；質(zhì)疑；證明；修改

高等數(shù)學(xué)中對(duì)于求不定型 0 0 和 ∞ ∞ 的極限，引入了定理L′Hopsital法則.法則如下：

1.當(dāng)x→x0時(shí)的不定型 0 0 的情形

定理 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=0；（2）g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A為常數(shù)或∞）.

則lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是說(shuō)lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

質(zhì)疑： 條件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重復(fù)的.

證明 反證法

若g′（x）=0.由條件函數(shù)在x0的某去心鄰域中除點(diǎn)x0外可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，x0）中有g(shù)′（x）=0，則由Lagrange微分學(xué)中值定里的推論可知，g（x）=C.

顯然，C≠0.而lim x→x0- g（x）=C≠0 與條件（1）中l(wèi)im x→x0 g（x）=0矛盾.

故g′（x）=0不成立.證畢.

2.當(dāng)x→x0時(shí)的不定型 ∞ ∞ 的情形

定理 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

1 lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞；（2）g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A為常數(shù)或∞）.

則lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是說(shuō)lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

質(zhì)疑 條件（2）中的g′（x）≠0是肯定的、重復(fù)的.

證明：反證法.

若g′（x）=0.由條件函數(shù)在x0的某去心鄰域中除點(diǎn)x0外可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，x0）中有g(shù)′（x）=0，則由Lagrange微分學(xué)中值定里的推論可知，g（x）=C.而由lim x→x0- g（x）=C≠∞與條件（1）中l(wèi)im x→x0 g（x）=∞相矛盾.故g′（x）=0不成立.證畢.

因而，此定理可修改為：當(dāng)x→x0時(shí)的不定型 0 0 的情形.

定理 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=0；（2）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A為常數(shù)或∞）.則lim x→x0 f（x） g（x） =A，

也就是說(shuō)lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

證明： 首先 g′（x）≠0，反證法.

若g′（x）=0.由條件函數(shù)在x0的某去心鄰域中除點(diǎn)x0外可導(dǎo)，則在區(qū)間（a，x0）中有g(shù)′（x）=0，則由Lagrange微分學(xué)中值定里的推論可知，g（x）=C.

顯然，C≠0.而lim x→x0- g（x）=C≠0與條件（1） 中l(wèi)im x→x0 g（x）=0矛盾.

故g′（x）=0不成立.

補(bǔ)充定義f（x0）=0，g（x0）=0，則函數(shù)f（x），g（x）在x0連續(xù)，在x0的鄰域內(nèi)任取x，在[x0，x]或[x，x0]上應(yīng)用柯西定理，有

f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） = f′ ζ g′ ζ 其中 ζ在x0和x之間，于是當(dāng)x→x0時(shí)ζ→x0，上式即成為lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f（x）-f（x0） g（x）-g（x0） =lim x→x0 f′ ζ g′ ζ =lim x→x0 f′（x） g′（x） =A.

證畢當(dāng)x→x0時(shí)的不定型 ∞ ∞ 的情形.

定理 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在x0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

1 lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞，（2）lim x→x0 f′（x） g′（x） =A（A為常數(shù)或∞）.

則lim x→x0 f（x） g（x） =A，也就是說(shuō)lim x→x0 f（x） g（x） =lim x→x0 f′（x） g′（x） .

證明 （略）

對(duì)于x→∞等情形，只需將定理（2）中的g′（x）≠0去掉即可.