解析幾何是每年高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生對(duì)解析幾何題“望而生畏”的原因，在于解析幾何具備了雙重身份及代數(shù)身份與幾何身份.代數(shù)身份要求學(xué)生有較強(qiáng)的運(yùn)算能力與處理多元變量的能力，幾何身份要求學(xué)生對(duì)曲線(xiàn)、圖形有較強(qiáng)的幾何條件與分析能力，所以提高學(xué)生解決解析題的能力是一項(xiàng)艱巨及深遠(yuǎn)的任務(wù).點(diǎn)差法，設(shè)而不求是解析幾何的基本方法，能運(yùn)用這些基本方法的關(guān)鍵是必須有一定數(shù)學(xué)思想的積淀，而解析幾何中常用的數(shù)學(xué)思想較多有數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，分類(lèi)討論思想，等價(jià)化歸思想，整體思想等.數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的精髓，學(xué)生只有理解了數(shù)學(xué)思想，才能有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)理論解決問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)思維.如何在平時(shí)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想？

一、思想引領(lǐng)方法，燃起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想的欲望

學(xué)習(xí)了解析幾何的第一章直線(xiàn)以后，高二學(xué)生對(duì)待定系數(shù)法有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，在第二章圓的學(xué)習(xí)中，應(yīng)該說(shuō)是“順?biāo)浦邸绷?

例1 求與x軸相切，圓心在直線(xiàn)3x-y=0上，且被直線(xiàn)x-y=0所截弦長(zhǎng)為2的圓的方程

分析 待定系數(shù)法運(yùn)用的過(guò)程，即是方程思想的運(yùn)用過(guò)程.有幾個(gè)“等待”確定的未知量，即需由題設(shè)條件列幾個(gè)方程.在圓的方程中有三個(gè)量a，b，r只需由題設(shè)條件列出有關(guān)a，b，r的三個(gè)方程.在方程思想的引領(lǐng)下，待定系數(shù)法的運(yùn)用就非常自如.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，而數(shù)學(xué)方法則是其數(shù)學(xué)理論的具體化.

二、在碰壁中歸納，竟顯數(shù)學(xué)思想的身價(jià)

數(shù)形結(jié)合思想，方程思想的學(xué)習(xí)對(duì)高二學(xué)生來(lái)說(shuō)并不是很困難，但在選修2-1的圓錐曲線(xiàn)中，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)能力的要求就有了進(jìn)一步提高.如在求解離心率，漸近線(xiàn)時(shí)，學(xué)生覺(jué)得有困難，這時(shí)在例題講解時(shí)，歸納數(shù)學(xué)思想方法就很有必要.以不變的數(shù)學(xué)思想方法解決形形色色的各種題，讓他們胸有成竹，信心倍增.

例2 設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)與橢圓相交，其中的一個(gè)交點(diǎn)為p，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為 .

分析 求離心率即求的是a，c兩量的關(guān)系，這個(gè)目標(biāo)先應(yīng)讓學(xué)生清楚.把求離心率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求a，c兩量關(guān)系問(wèn)題，而從題設(shè)中得到的可能是a，b，c三量之間的關(guān)系，此時(shí)只需要把b用a，c表示即可.

解一 利用橢圓定義直接找a，c關(guān)系.

∵△F1PF2為等腰三角形.

∴|PF2|=2C，|PF1|=2 2 C.

∵|PF1|+|PF2|=2a， 即 2 2 C+2C=2a，∴（ 2 +1）C=a，∴e= c a = 1 2 +1 = 2 -1.

解二 P c， b2 a ，∵△F1PF2為等腰三角形，∴|PF2|= F1F2 ，∴ b2 a =2C∴b2=2ac.∴a2-c2=2ac.∴e2+2e-1=0∴e= 2 -1.

例3 （2010浙江理科高考第8題）設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線(xiàn) x2 a2 - y2 b2 =1（a.>0，b>0）的左右焦點(diǎn)，若在雙曲線(xiàn)右支上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足|PF2|= F1F2 且F2到直線(xiàn)PF1的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（ ）.

A.3x±4y=0 B.3x±5y=0

C.4x±3y=0 D.5x±4y=0

分析 求漸近線(xiàn)方程y=± b a x，即找a，b兩量關(guān)系，與離心率一樣轉(zhuǎn)化成求a，b，c三量之間的關(guān)系.過(guò)F2作PO⊥PF1，O為PF1中點(diǎn)F2又到直線(xiàn)PF1的距離等于雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)2a∴ F2O =2a，∴ PO = 4c2-4a2 =2b.∴|PF1|=4b.再利用雙曲線(xiàn)定義即找到了a，b，c三量關(guān)系，∴|PF1|-|PF2|=2a.∴4b-2c=2a∴c2=（2b-a）2.

∴a2+b2=4b2+a2-4ab.∴3b2=4ab.∴ b a = 4 3 .

歸納：（1）題中運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，求離心率，漸近線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求a，b，c三量關(guān)系.

（2）尋找a，b，c關(guān)系，通常從兩個(gè)方向進(jìn)行“幾何與代數(shù)”，分析題設(shè)條件，充分挖掘幾何條件.

通過(guò)實(shí)例歸納，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生從心底感受到在不變的數(shù)學(xué)思想下，方法才得到實(shí)現(xiàn)，實(shí)實(shí)在在感受到數(shù)學(xué)思想力量的強(qiáng)大.

三、在反思中鞏固，體會(huì)數(shù)學(xué)思想的力量

1.多法并舉，不斷深化

方程的方法和數(shù)形結(jié)合的方法是解決解析幾何問(wèn)題的兩大方向，這兩種方法都要求學(xué)生在平時(shí)訓(xùn)練中，嘗試，比較.在練習(xí)，比較中讓他們體會(huì)利用方程解決問(wèn)題時(shí)必須注重嚴(yán)密性，利用數(shù)形結(jié)合時(shí)要充分利用幾何性質(zhì)，體會(huì)它的優(yōu)越性.通過(guò)一題多解，一題多變，拓展延伸的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生多方位，多視角思考問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.教會(huì)學(xué)生如何進(jìn)行多角度轉(zhuǎn)化，如何獲得解題思路，掌握數(shù)學(xué)思想.

例4 如圖，M是拋物線(xiàn)y2=4x上一點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，以Fx為始邊，F(xiàn)M為終邊的角∠x(chóng)FM=60°，求 FM .

解一 過(guò)M作MN⊥準(zhǔn)線(xiàn)，垂足為N，記準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為T(mén)

∵∠x(chóng)FM=60°，

∴∠NMF=60°， MN = MF .

∴△MNF為正三角形.∴∠NFT=60°.

在Rt△NTF中 TF =2，∴ NF = MF =4.

解二（方程思想） 過(guò)M作MS⊥x軸于S

令 MF =t，則 MN =t，△MSF中∠MFS=60°.∴ FS = t 2 . TS = TF + FS ，得 t 2 +2=t，解得t=4.

解三 直線(xiàn)MF方程為：y= 3 （x-1）設(shè)M（x1，y1）.∴y= 3 （x-1）.

y2=4x，消y得：3x2-10x+3=0.解得x1=3，x2= 1 3 （舍）.∴ MF =3+1=4.

2.糾錯(cuò)反思，及時(shí)鞏固

“失敗是成功之母”，錯(cuò)了以后要讓學(xué)生反思此題考查了什么思想方法，以后會(huì)運(yùn)用這種思想方法的時(shí)候要注意什么？解題后反思能夠培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，既可促進(jìn)“雙基”的掌握，又能加強(qiáng)知識(shí)的有效遷移，是提高解題能力的重要途徑，有了良好的思維品質(zhì)，就有了良好的思維習(xí)慣，通過(guò)反思讓學(xué)生在不斷的知識(shí)聯(lián)系和整合中，豐富認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的內(nèi)容.通過(guò)不斷地反思總結(jié)，才能及時(shí)鞏固并運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，才能在解題時(shí)做到有的放矢，思維優(yōu)化.

四、在運(yùn)用中提升，感受數(shù)學(xué)思想方法的強(qiáng)大

例5 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x-a-2（a，b∈R，a≠0）在 3，4 上至少有一個(gè)零點(diǎn)，求 a2+b2的最小值.

解 把等式看成關(guān)于a，b的直線(xiàn)： （x2-1）a+2xb+x-2=0利用直線(xiàn)上的一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離大于原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即 a2+b2 ≥ |x-2|[] （x2-1）2+（2x）2 .

∴ a2+b2≥ （x-2）2 （x2-1）2+（2x）2 = 1 （x-2）+ 5 x-2 +4 2 ≥ 1 100 ，∵x-2+ 5 x-2 ，x∈ 3，4 是減函數(shù)，∴當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取最小值 1 100

此題巧用了a2+b2的幾何意義.把看似函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，從幾何角度，轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題，利用轉(zhuǎn)化思想使題目煥然一新，當(dāng)然還可用函數(shù)，方程求解.讓學(xué)生在運(yùn)用中感受數(shù)學(xué)思想的強(qiáng)大，感受成功的喜悅.

興趣是最好的老師.在教學(xué)過(guò)程中，根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)思想的教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容適時(shí)滲透，及時(shí)總結(jié)，反復(fù)強(qiáng)化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.用數(shù)學(xué)思想武裝學(xué)生，使學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)的主人.