【摘要】 數(shù)學(xué)中的某些問題，如果用辯證的思維方式，透過問題的現(xiàn)象去看問題的實(shí)質(zhì)，用數(shù)學(xué)的思想與方法加以概括、抽象就會(huì)引起思維的火花，使我們產(chǎn)生嶄新的認(rèn)識(shí).下面通過求空間中的最短距離，來說明這一幾何問題的代數(shù)化.

【關(guān)鍵詞】 最短距離；代數(shù)化

在初中數(shù)學(xué)的多面體與旋轉(zhuǎn)體的習(xí)題中和高中數(shù)學(xué)必修2的立體幾何的習(xí)題教學(xué)中都設(shè)計(jì)了類似如下的問題：

已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為5，4，3，則從A點(diǎn)沿表面到C1點(diǎn)的最短距離是多少？

這一問題許多人都是用分類的方法，利用旋轉(zhuǎn)的方法或把長(zhǎng)方體沿某一條棱展開，把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決.由于長(zhǎng)方體有三條不同的棱，于是有三種不同的情況，解法如下：

解 將長(zhǎng)方體展開成平面圖形有下列三種情況：

（1） （2）

（3）

（1）如圖（1），把側(cè)面BCC1B1繞BB1旋轉(zhuǎn)至與側(cè)面ABB1A1共面，此時(shí)AC1= （5+4）2+32 =3 10 .

（2）如圖（2），把側(cè)面DCC1D1繞DC旋轉(zhuǎn)至與面ABCD共面，此時(shí)AC1= 52+（3+4）2 = 74 .

（3）如圖（3），把側(cè)面BCC1B1繞BC旋轉(zhuǎn)至于面ABCD共面，此時(shí)AC1= （5+3）2+42 =4 5

因?yàn)?74 <4 5 <3 10 ，故點(diǎn)A沿表面到C1的最短距離是 74 .

從上面的解法可以看出，用分類的方法解決這一實(shí)際問題自然非常清晰，但每次用這種方法去解決，大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為比較麻煩.有沒有簡(jiǎn)潔的方法呢？我們只需對(duì)上面的解法稍微加以分析、推理，用代數(shù)的方法去解答就可以得到一個(gè)一般的結(jié)論，輕松解決我們的問題.在這個(gè)問題中，如果把長(zhǎng)方體從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別設(shè)為a、b、c，那么利用上面的解法可以得到以下三種情況：

①AC1= a+b 2+c2 = a2+b2+c2+2ab ；

②AC1= b+c 2+a2 = a2+b2+c2+2bc ；

③AC1= a+c 2+b2 = a2+b2+c2+2ac .

比較上面的①、②、③這三個(gè)式子，可以發(fā)現(xiàn)影響AC1大小的僅取決于a與b，b與c，a與c乘積的大小，要使從A點(diǎn)沿表面到C1點(diǎn)的距離最短，只需AC1最小，即只需讓ab或bc或ac的乘積最小，也即a、b、c中取兩個(gè)較小者再作積即可.若a、b、c中不妨設(shè)a>b>c，則AC1的最小值為 a2+b2+c2+2bc .這樣一來，只要知道長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)，不用畫圖，就可以用代數(shù)方法直接求出AC1的最小值.如在開始提出的問題中，長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別為5，4，3，而5>4>3，于是從A點(diǎn)沿表面到C1點(diǎn)的最短距離AC1= 52+42+32+2×4×3 = 74 .

從上面探討問題的過程可以看出，在學(xué)習(xí)過程中結(jié)果的得出并不是問題的結(jié)束，更重要的是對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，反思解題過程，看看是否能得出更一般性的結(jié)論，如在上面求長(zhǎng)方體表面兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的最短距離問題可以直接用代數(shù)方法去解決.這樣就可以從一道題出發(fā)，歸納出一類題的解法，起到觸類旁通的作用.否則就好比自己把飯做好了而棄之一旁，失去了做飯的目的，是非?？上У?