我們知道，四面體是錐體的特例，如果知道了四面體的底面積和高，就可以按照計(jì)算錐體體積的公式計(jì)算四面體的體積.雖然已知三角形的邊長，三角形的面積可以由秦九韶公式計(jì)算出來，但是四面體的高一般不易用直尺直接測(cè)量出來，而四面體的長是可以用直尺測(cè)量的.如果已知四面體的各條棱長分別為a，b，c，p，q和r，如圖所示：我們可以按照

計(jì)算四面體的體積.因?yàn)樾枰?jì)算一個(gè)五階行列式，所以計(jì)算過程比較麻煩.那么能不能尋找一個(gè)更方便的計(jì)算公式呢？為了解決這個(gè)問題，筆者按照下列步驟進(jìn)行了推證.

假設(shè)四面體V-OAB的各條棱長分別為a，b，c，r，p和q（如圖一）所示，四面體的一個(gè)頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，底邊OA與OX軸重合，底面OAB和XOY平面重合，很顯然，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（r，0，0），設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0，b0，0），V點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1，b1，z1）.

在XOY平面內(nèi)，圓心在原點(diǎn)，半徑為q的圓的方程為：x2+y2=q2，圓心在A

半徑為p的圓的方程為： x-r 2+y2=p2，B點(diǎn)為兩圓 在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，所以

分別以原點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn)為中心，以a，b和c為半徑的球的方程為：

很顯然頂點(diǎn)V為三球的交點(diǎn).V點(diǎn)的坐標(biāo)Z1的長度即為四面體的高，我們只要求出四面體的高，四面體的體積就可以計(jì)算出來了.為此，我們將方程（1），（2）和（3）聯(lián)立求出交點(diǎn)（X1，Y1，Z1），方程（1）—（2）得：2rx1=r2+a2-b2

所以x1= r2+a2-b2 2r （4）

因?yàn)槿切蜲AV的面積為：

所以 y21+z21= 4Δ22 r2 （5）

將（4）式和（5）式代入（3）式，可以求出：

其中a與p，b與q，r與c分別為四面體的三組對(duì)棱，Δ1和Δ2分別為以四面體的棱r為一條邊的兩個(gè)側(cè)面的面積.在用此公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，通常選擇兩個(gè)側(cè)面面積容易計(jì)算的側(cè)面所夾的邊為r.用此公式進(jìn)行計(jì)算，要比用上述五階行列式簡捷得多.

例 計(jì)算棱長為a的正四面體的體積

解 方法一

邊長為a的等邊三角形的面積為 3 4 a2，所以