【摘要】 本文對(duì)極限理論中的無(wú)窮小量、無(wú)界量、發(fā)散量、無(wú)窮大量等重要概念進(jìn)行了分析比較，分析了數(shù)列極限和函數(shù)極限之間聯(lián)系的歸并原理，并都通過(guò)具體的例子予以說(shuō)明.

【關(guān)鍵詞】 一元函數(shù)；數(shù)列極限； 函數(shù)極限

在數(shù)列極限和函數(shù)極限教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)常對(duì)相關(guān)極限理論中的一些概念和定理的理解存在一定的問(wèn)題，本文將從對(duì)無(wú)窮小量、無(wú)界量、發(fā)散量、無(wú)窮大量以及歸并原理等幾個(gè)方面予以說(shuō)明.

一、無(wú)窮小量

1.無(wú)窮小量在微積分中的重要地位和作用

無(wú)窮小量等價(jià)代換是求極限的一種重要方法，且與極限的密切關(guān)系，例如：

lim n→∞ xn=axn-a是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮?。籰im x→x0 f（x）=af（x）-a是當(dāng)x→x0是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小.

此外，無(wú)窮小分析是貫穿于微積分的一種重要的思想方法.例如：

1° 可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lim Δx→0 f（x+Δx）-f（x） Δx 實(shí)際上就是Δx→0時(shí)兩個(gè)無(wú)窮小量f（x+Δx）-f（x）與Δx之比的極限；

2° 可導(dǎo)函數(shù)y=f（x）的微分dy=AΔx=f′（x）Δx就是當(dāng)Δx→0時(shí)的無(wú)窮小量，它與函數(shù)的改變量Δy之差是Δx的高階無(wú)窮小，即Δy-dy=ο（Δx）當(dāng)dy≠0時(shí)，dy與Δy是當(dāng)Δx→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮?。?/p>

3° 定積分∫baf（x）dx=lim λ→0 ∑ n k=1 f（ξk）Δxk是當(dāng)λ→0時(shí)的無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小之和，是無(wú)窮小的無(wú)限累加；

4° 收斂級(jí)數(shù)∑ ∞ n=1 an的通項(xiàng)an是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮小，判別∑ ∞ n=1 an的收斂性

首先應(yīng)分析an是否為無(wú)窮小.若an不是當(dāng)n→∞時(shí)的無(wú)窮小，則級(jí)數(shù)∑ ∞ n=1 an發(fā)散，否則可用比較準(zhǔn)則判別其斂散性，由此知判別級(jí)數(shù)∑ ∞ n=1 an的斂散性的關(guān)鍵在于先分析無(wú)窮小量an的階.

2.關(guān)于無(wú)窮小量的階

1° 無(wú)窮小量的階是用來(lái)刻畫無(wú)窮小量趨于零的“速度”的嗎？

例 當(dāng)x→0時(shí)，x2與x都是無(wú)窮小，并且前者是后者的高階（二階）無(wú)窮小.試問(wèn)當(dāng)x→0時(shí)，x2比x趨于0的“速度”大嗎？我們知道，“速度”可用導(dǎo)數(shù)來(lái)刻畫，并且

（x2）′=2x，（x）′=1.

易見，無(wú)窮小量β（x）趨于0的速度是常數(shù)1，而x2趨于0的速度為2x，當(dāng)|x|< 1[]2 時(shí)，|2x|<1，故當(dāng)x< 1 2 時(shí)，x2比x趨于0的速度?。?！

2° 對(duì)無(wú)窮小量α（x）與β（x）的階進(jìn)行比較的前提條件是分母β（x）無(wú)零點(diǎn)（即β（x）≠0.）

例 下列運(yùn)算是否正確：

lim x→0 sin x2sin 1 x x =lim x→0 x2sin 1 x x =lim x→0 xsin 1 x =0.

錯(cuò)在第一個(gè)等式用了無(wú)窮小等價(jià)代換，由于β（x）=x2sin 1 x 在x=0的任何鄰域內(nèi)部有零點(diǎn)xn= 1 nπ ，因此，不能說(shuō)sin x2sin 1 x 與x2sin 1 x 是當(dāng)x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小.正確解法：當(dāng)x≠0時(shí)，

sin x2sin 1 x x ≤ |x2sin 1 x | x ≤|x|→0（x→0）.

進(jìn)而，也不能說(shuō)，β（x）=x2sin 1 x 是當(dāng)x→0時(shí)的二階無(wú)窮小，只能說(shuō)它是當(dāng)x→0時(shí)x的高階無(wú)窮小.

3° 無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的乘積不一定是無(wú)窮小.反例：

1， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ， …， 1 n ， …1 2 1 3 1 4 ， …， 1 n ， …1 1 32 1 4 ， …， 1 n ， …1 1 1 43 …， 1 n ， …… … … 乘積為數(shù)列1，1，…，1，….

二、 無(wú)界量、發(fā)散量、無(wú)窮大量之間的關(guān)系（以數(shù)列為例）

無(wú)界數(shù)列是指對(duì)數(shù)列{xn}：M>0，至少存在其中一項(xiàng)xn0，使|xn0|>M；

而稱不收斂的數(shù)列為發(fā)散數(shù)列；數(shù)列{xn}為無(wú)窮大數(shù)列是指對(duì)M>0，N∈N+，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|xn|>M.三者關(guān)系圖如下：

也就是說(shuō)：

（1）若{xn}無(wú)界，則{xn}必發(fā)散；反之不必成立；

（2）若{xn}為無(wú)窮大數(shù)列，則{xn}必?zé)o界； 反之不必成立；

若{xn}為無(wú)窮大數(shù)列，則{xn}必為發(fā)散數(shù)列；反之不一定成立

定理 數(shù)列無(wú)界存在一個(gè)無(wú)窮大的子列.

證顯然.

若{xn}無(wú)界，則根據(jù)數(shù)列無(wú)界的定義（注意：無(wú)界數(shù)列刪去前有限項(xiàng)仍為無(wú)界數(shù)列）

三、歸并原理

1. 數(shù)列極限的歸并原理

數(shù)列{an}收斂于a它的每個(gè)子列都收斂于a.

它建立了數(shù)列{an}（整體）與它的子列 ank （部分）收斂性之間的密切聯(lián)系，為判斷數(shù)列不收斂提供了一個(gè)簡(jiǎn)潔的方法.

雖然很難用該原理來(lái)判斷數(shù)列的收斂性，但在某些特殊情況下卻提供了用子列的收斂性來(lái)判斷整個(gè)數(shù)列收斂性的方法.例如下面的定理

定理 數(shù)列{an}收斂于a它的偶數(shù)項(xiàng)組成的子列 a2k 與奇數(shù)項(xiàng)組成的子列{a2k+1}都收斂于a（判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的準(zhǔn)則的證明中要用！）

推廣： 數(shù)列{an}收斂于a它的兩個(gè)子列 apk 與 aqk 都收斂于a，其中{pk}∪{qk}=N.

2. 函數(shù)極限的歸并原理（Heine定理）

設(shè)f：U 0 （x0）R→R，則lim x→x0 f（x）=a{xn}U 0 （x0），當(dāng)xn→x0（n→∞）

時(shí)，函數(shù)值數(shù)列{f（xn）}都收斂于a.

它建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限之間的聯(lián)系，可以將函數(shù)極限的有關(guān)問(wèn)題（性質(zhì)，重要定理）轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的相應(yīng)問(wèn)題來(lái)研究.

例1 證明Dirichlet函數(shù)

【參考文獻(xiàn)】

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[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.