【摘要】 在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，踐行陶行知思想，用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與多媒體相結(jié)合的教育方式來實(shí)施雙曲線的定義的創(chuàng)新教學(xué)，演示雙曲線生成，揭示雙曲線的定義，了解雙曲線主要參數(shù)的幾何意義，掌握有關(guān)雙曲線參數(shù)的計(jì)算.

【關(guān)鍵詞】 雙曲線；數(shù)學(xué)；陶行知

陶行知先生曾說過：“教師的責(zé)任不在于教，而在于教學(xué)生學(xué)”.在常州市名師交流研討會(huì)上，本人開設(shè)了一堂研究觀摩課《雙曲線的定義及主要參數(shù)》，受到同行的高度評(píng)價(jià).根據(jù)“生活即教育”和“教學(xué)做合一”的理論，在教學(xué)中我以“做”為中心進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐.現(xiàn)將這堂課的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)錄整理成文，供探討和參考.

教學(xué)簡(jiǎn)錄

一、情境引入，生活感知

師：課前我為大家播放了Flash影片叫什么？

生：《悲傷雙曲線》.

師：很好！這是一首校園歌曲.簡(jiǎn)單的歌詞、細(xì)細(xì)品味，突然發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)其實(shí)是很浪漫的一門學(xué)科.“雖然我們有緣，能夠生在同一個(gè)平面；然而我們又無緣，漫漫長(zhǎng)路無交點(diǎn)”這句話跟雙曲線有沒有關(guān)系呢？到底雙曲線是怎樣的一種曲線？它是如何生成的，又是怎樣來定義的？它具有什么樣的特征呢？讓我們帶著這些問題進(jìn)入我們今天所要學(xué)習(xí)的主題：雙曲線的定義及主要參數(shù).

（根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的“最近發(fā)展區(qū)”為學(xué)生提供豐富的背景材料，通過播放網(wǎng)絡(luò)歌曲《悲傷雙曲線》進(jìn)行組織教學(xué)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)雙曲線的興趣.）

師：我們生活中有沒有雙曲線的身影呢？生：有.

師：請(qǐng)小組代表上來展示課前布置的任務(wù)（展示圖片）

生：雙曲線冷卻塔、太陽能散熱板、雙曲線矯直輥、交通圖

（通過讓學(xué)生列舉雙曲線在生活中的應(yīng)用，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在我們身邊，生活中處處有數(shù)學(xué).從而對(duì)雙曲線有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生產(chǎn)生探究雙曲線的強(qiáng)烈欲望.）

師：可見雙曲線在我們生活中的用途非常之多，我們對(duì)雙曲線也有了一個(gè)初步的認(rèn)識(shí).這樣一種優(yōu)美的曲線還可以通過折紙折出來，大家想試試嗎？

生：（齊聲回答）想.

二、嘗試探究，得到新知

（一）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

師：請(qǐng)同學(xué)們拿出課前讓大家準(zhǔn)備的印有圓心的紅紙，按如下步驟操作：在圓外部任意標(biāo)出一點(diǎn) F2，然后把紙片折疊起來，不過要使翻轉(zhuǎn)過來的圓弧上的點(diǎn)與 F2點(diǎn)重合，當(dāng)折疊的次數(shù)夠多時(shí)，這些折痕就會(huì)“包”出一個(gè)很美的圖形，大家想欣賞它嗎？請(qǐng)大家趕緊動(dòng)手折紙，看誰折得又快又好.

師：為了讓大家更清楚地觀察圖形，我用幾何畫板來模擬一下實(shí)驗(yàn)過程.

師：雙曲線的圖像美嗎？生：美.

（利用折紙實(shí)驗(yàn)的形式，讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線的生成過程，既可加深學(xué)生對(duì)雙曲線的印象又可培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力，增強(qiáng)合作意識(shí).通過“做”達(dá)到喚起“興趣”，并用全副的精神去做事情的目的.）

師：那么它的圖像有什么特征呢？讓我們?cè)俅未蜷_幾何畫板一起來研究一下.

師：雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)M有什么幾何特征呢？

生： MF1 - MF2 =定值（R）.

師：很好，這個(gè)結(jié)論很關(guān)鍵！大家還記得橢圓的幾何定義嗎？

生： MF1 + MF2 =常數(shù)（2a）.

師：非常好，我們類比橢圓也可得出結(jié)論： MF1 - MF2 =常數(shù)（2a）

師：根據(jù)以上討論，你能類比橢圓的定義，試著給雙曲線下定義嗎？

（二）雙曲線的定義

生：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值是個(gè)常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡叫雙曲線.

（讓學(xué)生自己生成雙曲線的同時(shí)自己概括得出雙曲線的定義.）

師：其中兩定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距.另外我們要注意常數(shù)2a小于|F1F2|=2c，請(qǐng)同學(xué)們思考一下為什么？

生：因?yàn)槿切蝺蛇呏钚∮诘谌?

（三）雙曲線的主要參數(shù)

師：2a與2c到底有什么幾何特征呢？讓我們結(jié)合圖像來研究一下雙曲線的主要參數(shù)：

師：觀察圖形：兩個(gè)定點(diǎn)間連線F1F2與雙曲線的交點(diǎn)為A1，A2，線段F1F2的中點(diǎn)為O.F1F2所在直線與雙曲線的交點(diǎn)稱為頂點(diǎn).觀察一下雙曲線有幾個(gè)頂點(diǎn)？生：兩個(gè).

師：我們把A1，A2稱為雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)；定點(diǎn)F1，F(xiàn)2稱為焦點(diǎn).

師：類比橢圓的參數(shù)我們稱：

1.A1A2所在直線叫實(shí)軸，2a叫實(shí)軸長(zhǎng)即 A1A2 ，a叫實(shí)半軸長(zhǎng)；2.2c叫焦距即|F1F2|，c叫半焦距.

師：橢圓里我們講到了離心率，它是怎樣來定義的？用什么來表示的呢？

生：橢圓的離心率是指焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比，用e來表示.

師：類比橢圓我們得到雙曲線的離心率是指焦距與實(shí)軸長(zhǎng)之比：比值e= c a （e>1）.

師：還記得橢圓的離心率是反映橢圓的什么程度？

生：扁圓的程度.

師：正確.而雙曲線的離心率能表征它開口的“大”“小”程度.讓我們通過幾何畫板來演示一下，大家發(fā)現(xiàn)了什么？

生：e越大，雙曲線越開闊；e越小，雙曲線越狹窄.

師：橢圓里除了a，c，e還有別的參數(shù)嗎？生：b.

師：對(duì)了，我們類比橢圓引入雙曲線的參數(shù)b：b2=c2-a2，即b= c2-a2 或c2=a2+b2或 c= a2+b2

師：我們稱F1F2的中垂線叫虛軸，2b叫虛軸長(zhǎng)，b叫虛半軸長(zhǎng).

師：我們要注意：①熟記四個(gè)參數(shù)a，c，e，b的含義；

②掌握兩個(gè)關(guān)系式e= c a （e>1）和b2=c2-a2.

（整個(gè)過程巧妙地從舊知識(shí)引向新知識(shí)，通過類比和Flash動(dòng)畫，讓學(xué)生對(duì)參數(shù)的幾何意義留下深刻的印象.）

三、運(yùn)用知識(shí)，解決問題

師：俗話說“學(xué)以致用”，讓我們“小試牛刀”，來看看以下幾個(gè)例題.

例 求下列雙曲線的離心率e，焦距2c，并說明哪一支雙曲線的張口較“大”.

（1）到相距為10的兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為6的點(diǎn)的軌跡；

（2）到相距為10的兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差為8的點(diǎn)的軌跡.

四、歸納知識(shí)，布置作業(yè)

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

（以學(xué)生自主歸納完成本專題的小結(jié)，幫助學(xué)生形成知識(shí)模塊，提煉思想方法，培養(yǎng)歸納總結(jié)的良好習(xí)慣.）

作 業(yè)

（1）用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系

（通過表格讓學(xué)生類比橢圓的定義和主要參數(shù)完成雙曲線的內(nèi)容，加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課重點(diǎn)的理解和掌握.）

（2）完成學(xué)案

（3）請(qǐng)同學(xué)們思考能否類比橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來呢？

（一則使本節(jié)課具有完整性，連續(xù)性；二則激發(fā)學(xué)生自己去探索新知，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力.）

教學(xué)反思

通過本節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐，讓我認(rèn)識(shí)到現(xiàn)今的教學(xué)目標(biāo)不單單是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)書本知識(shí)，更重要的是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí).

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳邵兵，張金魁，李友君.對(duì)創(chuàng)設(shè)生活實(shí)踐情境簡(jiǎn)單現(xiàn)象的思考.數(shù)學(xué)通報(bào).2008（10）.

[2]胡曉風(fēng)等主編.陶行知教育文集.四川教育出版社.

[3]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)（上旬）.2010.5.