最近發(fā)展區(qū) 理論在現(xiàn)在的教學(xué)過程中應(yīng)用得越來越多，這一理論要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)以學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)為契機(jī)和平臺(tái)，激發(fā)學(xué)生的思維操作，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平和能力.在教學(xué)過程中，把數(shù)學(xué)教學(xué)的側(cè)重點(diǎn)從學(xué)生已經(jīng)完成的發(fā)展過程轉(zhuǎn)移到正在形成或成熟的發(fā)展過程，了解學(xué)生某一知識(shí)和能力形成的最佳期限，抓住數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵期，并在該知識(shí)和能力形成時(shí)對(duì)學(xué)生施以最大影響，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升.現(xiàn)以橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例，談?wù)勎以诮虒W(xué)過程中對(duì)這一理論的實(shí)踐.

一、創(chuàng)設(shè)情境 引入新課

問題1：將一根沒有彈性的細(xì)繩對(duì)折，把重合的兩個(gè)端點(diǎn)固定在黑板上的一點(diǎn)，用筆尖套入另一端將繩拉緊，使筆尖在黑板上移動(dòng)一周會(huì)生成怎樣的軌跡呢？

學(xué)生：軌跡是圓.

問題2：把剛才重合的兩個(gè)端點(diǎn)分開固定在黑板上的F1，F(xiàn)2 兩點(diǎn)上，當(dāng)繩長大于F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離時(shí)，用筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上移動(dòng)一周，又會(huì)生成怎樣的軌跡呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生，通過動(dòng)手實(shí)驗(yàn)畫圖，得出結(jié)論：當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)常數(shù)<|F1F2|時(shí)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡不存在.

二、深入探索 推導(dǎo)方程

問題3：求曲線方程的基本步驟是什么？

學(xué)生回顧：建（系）—設(shè)（點(diǎn)）—限（約束條件）—代（入）—化（簡(jiǎn)）.

問題4：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡(jiǎn)單？如何求橢圓的方程？

教師引導(dǎo)學(xué)生增設(shè)臺(tái)階：

（1）利用對(duì)稱性建立坐標(biāo)系；

（2）設(shè)置常數(shù)2a，2c；

（3）化簡(jiǎn)方程，兩次平方；

（4）引出b2.

師生共同活動(dòng)：利用橢圓的對(duì)稱性特征

①以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

②設(shè)焦距為2c（c>0），則F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）.設(shè)P（x，y）為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為2a（2a>2c）.

③動(dòng)點(diǎn)P滿足的幾何約束條件： PF1 + PF2 =2a.

④坐標(biāo)化： （x+c）2+y2 + （x-c）2+y2 =2a.

⑤化簡(jiǎn)：引導(dǎo)學(xué)生思考如何去根號(hào)（移項(xiàng)后兩次平方法）先移項(xiàng) （x+c）2+y2 =2a- （x-c）2+y2 .

再方程兩邊平方 （x+c）2+y2=4a2-4a （x-c）2+y2 +（x-c）2+y2.

整理得a2-cx=a （x-c）2+y2 再兩邊平方a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.

化簡(jiǎn)，得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2），

兩邊同除a2（a2-c2），得 x2 a2 + y2 a2-c2 =1，

由定義2a>2c，∴a2-c2>0，橢圓具有對(duì)稱性，表示它的方程也該有對(duì)稱性，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓圖形和推導(dǎo)出的橢圓方程的系數(shù)，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)三個(gè)基本量a，c， a2-c2 都表示橢圓中的特殊線段，不妨令a2-c2=b2，得到焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）.這樣表示的橢圓方程體現(xiàn)了對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美.

問題5：如何求焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

學(xué)生：按上述方法，可求出方程為 y2 a2 + x2 b2 =1（a>b>0）.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的現(xiàn)實(shí)發(fā)展水平是：掌握橢圓的定義，會(huì)求曲線方程的一般步驟，會(huì)化簡(jiǎn)含一個(gè)根式的方程.需要跨越的發(fā)展區(qū)是：根據(jù)橢圓定義推導(dǎo)橢圓方程；根據(jù)求曲線方程的一般步驟，結(jié)合橢圓特點(diǎn)，將橢圓放在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)化簡(jiǎn)根式的一般方法化簡(jiǎn)兩個(gè)根式.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)是教學(xué)的難點(diǎn)，直接講授學(xué)生可能難以理解和掌握.教師應(yīng)在現(xiàn)有水平和目標(biāo)水平之間增設(shè)“臺(tái)階”，即構(gòu)建若干個(gè)最近發(fā)展區(qū)，不斷把學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)化成現(xiàn)有水平，逐層遞進(jìn)，把學(xué)生的能力提高到目標(biāo)水平.每一步的跨越學(xué)生既可及又使力的新知生成方式是運(yùn)用最近發(fā)展區(qū)理論的較好策略.

（1）利用對(duì)稱性建立坐標(biāo)系；

（2）設(shè)置常數(shù)2a，2c；

（3）化簡(jiǎn)方程，兩次平方；

（4）引出b2.

三、知識(shí)運(yùn)用，深化理解

1.運(yùn)用新知，解決例題

例1 寫出適合下列條件的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-4，0），（4，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離和等于10.

（2）a+b=10，c=2 5

例2 若方程 x2 k-5 + y2 3-k =-1表示橢圓，求k的取值范圍.

變式1：方程 x2 a2 + y2 a+2 =1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，求k的取值范圍.

變式2：“m>n>0”是方程mx2+ny2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的 條件.

變式3：方程Ax2+By2=1什么時(shí)候表示橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓？什么時(shí)候表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓？

2.知識(shí)小結(jié)，提煉升華

橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，處處體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對(duì)照和相互轉(zhuǎn)化，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，說說你在知識(shí)與方法上分別有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生學(xué)習(xí)完例1會(huì)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程之后，“最近發(fā)展區(qū)”應(yīng)該有所突破，通過設(shè)計(jì)例2及其變式，給學(xué)生造成新的困難，向著下一個(gè)“最近發(fā)展區(qū)”發(fā)展.從而達(dá)到學(xué)生對(duì)概念的深層理解.

總之，我們?cè)诶米罱l(fā)展區(qū)理論來設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，應(yīng)盡量利用學(xué)生已有的知識(shí)，在原有的知識(shí)框架的基礎(chǔ)上，設(shè)定合適的難度傳授新知識(shí).筆者在教學(xué)的過程中，牢牢把握住學(xué)生的潛在水平，取得了良好的效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]祝要輝.比較、發(fā)現(xiàn)、領(lǐng)悟、教“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程后” 想到的.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2014，12

[2]何建東.圓錐曲線引課之眾“設(shè) ”紛紜.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，9.