【摘要】 高等數(shù)學(xué)的核心“機(jī)密”在于在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上引入了極限概念，使對數(shù)的認(rèn)識從有限發(fā)展到無限，從而數(shù)學(xué)模式也從初等數(shù)學(xué)的靜態(tài)躍升到了高等數(shù)學(xué)的動(dòng)態(tài).

【關(guān)鍵詞】 初等函數(shù)；極限；微積分

高等學(xué)校的理工科專業(yè)都普遍開設(shè)一門基礎(chǔ)課——高等數(shù)學(xué)，這是相對于中小學(xué)所學(xué)的初等數(shù)學(xué)而言的.如果對學(xué)過高等數(shù)學(xué)的學(xué)生提一個(gè)問題：高等數(shù)學(xué)究竟高等在哪里？恐怕很多人都難于給出言簡意賅的回答.

其實(shí)，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)研究的對象都是初等函數(shù).初等函數(shù)是這樣定義的：對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)這五類基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù)（且有具體表達(dá)式）稱為初等函數(shù).既然研究對象相同，那么差異究竟在哪里呢？根本的差異在于高等數(shù)學(xué)中引入了極限的研究工具，從而初等數(shù)學(xué)是一種靜態(tài)的數(shù)學(xué)，而高等數(shù)學(xué)則成了一種動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué).

回顧從小學(xué)到中學(xué)是如何研究數(shù)學(xué)的呢？無非是循序漸進(jìn)地引入了加、減、乘、除四則運(yùn)算，因?yàn)樗膭t運(yùn)算的需要，數(shù)的范圍也從正整數(shù)逐步擴(kuò)充到負(fù)數(shù)、有理數(shù)；后來又引入了乘方、開方運(yùn)算，數(shù)的范圍也進(jìn)一步擴(kuò)充到無理數(shù)；再后來又引入了指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算及三角、反三角運(yùn)算，應(yīng)運(yùn)而生出現(xiàn)了復(fù)數(shù)；將數(shù)的這些運(yùn)算一環(huán)套一環(huán)，便是復(fù)合運(yùn)算的概念.但這一切的運(yùn)算都是靜態(tài)進(jìn)行的，我們稱之為初等數(shù)學(xué).

高等數(shù)學(xué)的核心“機(jī)密”是在初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上引入了極限概念，從而對數(shù)的認(rèn)識從有限發(fā)展到了無限，但就是這種認(rèn)識，使數(shù)學(xué)運(yùn)算從量變飛躍到了質(zhì)變，從靜態(tài)飛躍到了動(dòng)態(tài).

舉個(gè)例子.一根筆直的木頭旗桿，每天從頂部鋸掉留下高度的十分之一，10天后剩下多少？這個(gè)數(shù)學(xué)題小學(xué)生都會(huì)做，答案為：

（0.9）10=0.3486784401；

若將10換成100，算法照舊，即（0.99）100；若將10換成自然數(shù)N，只要，N是確定的具體數(shù)，仍然能算出 N-1 N N的具體數(shù)值，這種計(jì)算還是靜態(tài)的.但當(dāng)讓N越來越大且趨于無窮大（比任何確定的自然數(shù)都大）時(shí)，這根旗桿能剩下多少？即使是對每秒億次的超級計(jì)算機(jī)都變得英雄末路了，因?yàn)檫@種計(jì)算模式已經(jīng)從靜態(tài)躍升為動(dòng)態(tài)，必須引入極限的概念才能解決.

極限中最簡單直觀的極限是數(shù)列極限，即考察一列數(shù)從有限發(fā)展到無限時(shí)是否在越來越無限靠攏某個(gè)目標(biāo)，是否出現(xiàn)了質(zhì)變.當(dāng)然數(shù)學(xué)的術(shù)語是需要嚴(yán)格定量的，而不能只是模糊的定性.但抓住了極限的牛鼻子，對極限命題的量化就容易理解.對數(shù)列極限理解透了，理解函數(shù)的極限就游刃有余了.

函數(shù)的連續(xù)性本質(zhì)上是一個(gè)極限概念：當(dāng)函數(shù)f（x）在某點(diǎn)a的極限存在且正好等于函數(shù)值，即lim x→a f（x）=f（a），即定義為f（x）在x=a點(diǎn)連續(xù).

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算是什么？導(dǎo)數(shù)只是一種特殊類型的極限，即應(yīng)變量增量與自變量增量比的極限.定積分運(yùn)算是什么？又是一種特殊的極限，即由在某個(gè)區(qū)間上定義的函數(shù)構(gòu)造的一個(gè)特殊的和式極限.如果說，微分、積分與極限的關(guān)系還有點(diǎn)霧里看花，那么無窮級數(shù)的求和與斂散性判斷則是與極限直接掛鉤了.可以說整個(gè)微積分學(xué)都是建立在極限這個(gè)平臺上.

至于導(dǎo)數(shù)（或微分）計(jì)算公式都由兩個(gè)重要的極限：

lim x→0 sinx x =1及l(fā)im x→∞ 1+ 1 x x=e.

推導(dǎo)演化而來.而不定積分則是微分運(yùn)算的反運(yùn)算而已.如果你初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)扎實(shí)，那么可以說學(xué)習(xí)微積分就贏在起跑線上了，只要掌握好極限概念及計(jì)算技巧，微積分的公式是很容易自己推導(dǎo)從而熟記它.

總之，只要把極限這個(gè)平臺夯實(shí)夯牢，那么高等數(shù)學(xué)的教學(xué)便是在這個(gè)平臺上長袖善舞的事了.