楊 權，蔡 勇

（西南科技大學 制造科學與工程學院，四川 綿陽 621010）

0 引言

在路徑跟蹤中，有時需要跟蹤一條與時間無關的幾何路徑（不帶時間參數(shù)的二維幾何路徑），比如地上的電纜、有色亮帶等等，這些都屬于信標路徑，需要人為事先進行實物的鋪設。針對這種基于路標信息的路徑跟蹤［1］，可以把該幾何路徑劃分成若干個路標節(jié)點，而各路標節(jié)點就構成了此路徑的全部情況，即小車從初始位姿出發(fā)，跟蹤的不是一條幾何路徑，而是一個一個路標節(jié)點，直至最后到達終點，完成路徑跟蹤的目的。

本文以3輪式智能小車為例，建立極坐標方式的位姿誤差模型，利用李雅普諾夫（Lyapunov）直接法設計跟蹤控制律，通過MATLAB平臺仿真，驗證此方法的有效性。

1 路徑跟蹤問題描述

首先建立笛卡爾直角坐標系XOY，為方便描述智能小車的位姿，建立極坐標系，如圖1所示。圖1（a）中是簡化的3輪式智能小車，ρ表示小車當前位姿與目標位姿之間的距離，α表示小車初始位姿方向與ρ之間的角度，其中以初始點到目標點的方向為極軸方向，定義逆時針方向轉(zhuǎn)動為α正值。圖1（b）中，φ表示小車初始位姿方向角與目標點方向角的角度差，極軸方向為小車在目標點時的朝向，定義逆時針方向轉(zhuǎn)動φ為正值，即φ∈［－π，π］。

在直角坐標系下給定任意一個目標位姿qr＝［xryrθr］T，其中，xr，yr，θr均是常數(shù)。設小車的當前位姿為q＝［xyθ］T，在全局坐標系XOY下描述全局位姿誤差qe，可得：

對式（2）中第一個方程求導：

對式（2）中第二個方程求導：

其中：v為小車的線速度；ω為小車的角速度。

對式（2）中第三個方程求導：

因此，由式（2）所求得的位姿誤差微分方程為：

圖1 用極坐標表示的智能小車位姿誤差分析示意圖

2 路徑跟蹤控制器設計

根據(jù)本文所述設計的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的方框圖如圖2所示。

圖2 姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)方框圖

利用李雅普諾夫直接法設計跟蹤控制律，取極坐標變量ρ和α為設計對象，構造李雅普諾夫函數(shù)：

從式（4）中明顯看出，V≥0，當且僅當［ρα］T＝0時，V＝0。對式（4）求導來確定系統(tǒng)的控制律：

根據(jù)式（5）取系統(tǒng)的控制律：

其中：k1，k2均為大于零的常數(shù)。下面根據(jù)取得的系統(tǒng)控制律來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，把控制律（6）代入構造的李雅普諾夫函數(shù)得：

由于k1，k2是大于0的常數(shù)，所以可得≤0，因此V（t）滿足全局一致漸近穩(wěn)定的條件。由此可以得到V為連續(xù)可微正定函數(shù)且有界，為負半定且一致連續(xù)的函數(shù)，根據(jù)Barbalat引理［4］可以得到，當t→＋∞，時，間接可以得到ρ→0且α→0，滿足設計要求。

3 MATLAB的仿真與分析

為了驗證此方法的有效性和收斂性，在MATLAB 7.0軟件平臺上利用所設計的跟蹤控制律，編寫仿真程序進行仿真實驗。

本節(jié)仿真所考慮的路徑跟蹤是一個一個的節(jié)點，所以在進行仿真時，針對一個目標點，從最開始的位置出發(fā)進行跟蹤仿真實驗，從得出的跟蹤效果圖來分析此控制律的有效性，從極坐標變量的變化曲線來分析坐標變量是否收斂。

為了跟蹤給定的目標點，小車有可能產(chǎn)生過大的速度，其帶來的過大加速度會破壞小車的非完整約束，容易造成小車橫向的移動或者縱向的滑動。為了避免上述問題，必須對小車的速度進行一個速度限制策略，取vmax＝1.5m/s，ωmax＝15rad/s。經(jīng)過多次實驗之后，取控制器參數(shù)k1＝0.2，k2＝1.2，下面針對控制律式（6）進行目標點的跟蹤仿真實驗。

圖3 目標點跟蹤效果圖

圖4 速度變化曲線

從圖3中可以看出：小車有效地跟蹤到了目標點。從圖4中可以看出：小車的線速度和角速度最大值都在限制范圍之內(nèi)；小車的角速度在3s內(nèi)便快速地收斂到零。從圖5中可以看出：坐標變量ρ和α最終都會收斂于0；而φ并沒有收斂于0，而是收斂于一個常數(shù)。分析其原因在于，φ表示小車目標位姿的方向角與小車當前位姿的方向角的差值，當小車跟蹤目標點時，由ρ和α決定跟蹤狀態(tài)，φ并不能決定小車是否鎮(zhèn)定于目標點，它只代表跟蹤到目標點時一個數(shù)學意義上的差值，當進入到下一個跟蹤狀態(tài)時，會重新賦予一個ρ和α的數(shù)值，所以構造函數(shù)時以坐標變量ρ和α為設計對象是正確的。由此可以看出，在控制律式（6）作用下，小車能夠很好地實現(xiàn)目標點的跟蹤，證明了此控制律是有效的。

圖5 極坐標下坐標變量變化曲線

［1］樊鑫峰.基于無線傳感器網(wǎng)絡的機器人路徑跟蹤的研究［D］.合肥：安徽大學，2011：17-18.

［2］Kanayama Y，Kimura Y，Miyazaki F，et al.A stable tracking control method for an autonomous mobile robot［C］//Proceedings of the IEEE International Conference on Robotics and Automation.Cincinnati：IEEE，1990：384-389.

［3］Brockett R W.Asymptotic stability and feedback stabilization in differential geometric control theory［M］.Boston：Birkhauser，1983：181-191.

［4］閔穎穎，劉允剛.Barbalat引理及其在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應用［J］.山東大學學報，2007，37（1）：51-55.