劉超峰，張 贏，楊智春

（1.上海機(jī)電工程研究所，上海 201109；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，陜西 西安 710072）

0 引言

間隙非線性是飛行器中一種最常見的集中式結(jié)構(gòu)非線性，它對(duì)飛行器的氣動(dòng)彈性特性，包括顫振特性和動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，都會(huì)產(chǎn)生重要的影響。對(duì)間隙非線性顫振系統(tǒng)，其顫振邊界遠(yuǎn)小于線性顫振系統(tǒng)，且系統(tǒng)常在低于或高于線性顫振臨界速度下均表現(xiàn)為極限環(huán)運(yùn)動(dòng)，甚至出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)，這是非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)區(qū)別與線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的最主要特征。因此，研究間隙的集中非線性環(huán)節(jié)的機(jī)翼顫振對(duì)分析非線性顫振特性和揭示非線性顫振機(jī)理有重要的理論和實(shí)際意義。近幾十年來，非線性顫振分析逐漸被重視而發(fā)展。一方面是因?yàn)閭鹘y(tǒng)線性顫振理論越來越不能適應(yīng)有非線性環(huán)節(jié)的顫振問題，另一方面得益于非線性動(dòng)力學(xué)理論的不斷發(fā)展，為非線性顫振研究提供了強(qiáng)有力的分析工具［1］。當(dāng)氣流速度增至高亞聲速范圍或結(jié)構(gòu)存在非線性尤其是強(qiáng)非線性時(shí)，線性理論不能得到足夠精確的分析結(jié)果，有時(shí)甚至給出完全錯(cuò)誤的結(jié)論。非線性顫振系統(tǒng)可表現(xiàn)出豐富的動(dòng)力學(xué)行為，常出現(xiàn)極限環(huán)、分岔、混沌等復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象［2］。文獻(xiàn)［1］綜述了非線性氣動(dòng)彈性問題，介紹了亞聲速條件下二元機(jī)翼非線性顫振問題研究的分析方法，這些方法也是非線性振動(dòng)分析中常用的，對(duì)非線性顫振分析有很大的借鑒意義。

對(duì)機(jī)翼顫振系統(tǒng)，尤其是大展弦比機(jī)翼的非線性顫振研究主要有兩種［3］。第一種是基于二元機(jī)翼模型的研究，在翼展方向上將機(jī)翼近似視作等截面，假設(shè)該截面弦向不變形，其運(yùn)動(dòng)被看成剛體運(yùn)動(dòng)。按系統(tǒng)的自由度分成二自由度二元機(jī)翼和三自由度二元機(jī)翼兩類，二自由度系統(tǒng)只考慮俯仰和沉浮兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)，三自由度系統(tǒng)包括機(jī)翼＋操縱面和機(jī)翼＋外掛兩種。第二種則是將機(jī)翼視作一個(gè)整體，通過計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)（CSD）和計(jì)算流體力學(xué)（CFD）耦合計(jì)算得到機(jī)翼的氣動(dòng)彈性特性。前者發(fā)展較早，可看成經(jīng)典的顫振分析方法，后者在近二十年內(nèi)迅速發(fā)展。二元機(jī)翼模型雖然與原型相差較大，但研究相對(duì)簡單，也有利于探討各種顫振機(jī)理，因而在非線性顫振分析中仍占有重要地位，且研究二元機(jī)翼模型的非線性顫振特性也能獲得關(guān)于三元機(jī)翼非線性顫振系統(tǒng)的很多信息。基于CSD／CFD耦合計(jì)算的機(jī)翼顫振特性分析顯然更符合實(shí)際，但研究難度非常大。近年來得益于計(jì)算機(jī)技術(shù)的更新和先進(jìn)計(jì)算方法研究的發(fā)展，基于CSD／CFD耦合的顫振分析方法得到了長足發(fā)展。

本文綜述了間隙結(jié)構(gòu)非線性氣動(dòng)彈性相關(guān)研究進(jìn)展。

1 集中式結(jié)構(gòu)非線性特性

典型的非線性剛度特性有立方非線性、中心間隙型、雙線型，以及帶預(yù)載偏移間隙型的非線性環(huán)節(jié)［4－7］。由于機(jī)翼的加工工藝和機(jī)翼運(yùn)動(dòng)部件的磨損，間隙集中非線性普遍存在，常存在于接觸機(jī)構(gòu)中，如控制面的鉸鏈和折疊式導(dǎo)彈翼面連接處等。本文對(duì)中心間隙型、預(yù)載間隙非線性和遲滯非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行論述。

中心間隙型非線性剛度特性如圖1所示。多數(shù)非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)采用了中心間隙型非線性環(huán)節(jié)，其俯仰剛度的力學(xué)模型為

式中：α為翼面或舵面的角位移；Kα為俯仰剛度；Mα為俯仰扭矩；Es為中心間隙角。

圖1 中心間隙型非線性Fig.1 Nonlinear of center clearances

預(yù)載型間隙非線性剛度特性如圖2所示。其俯仰剛度的力學(xué)模型為

式中：Ep，Et分別為前后間隙角。

圖2 帶預(yù)載間隙非線性Fig.2 Nonlinear of preloaded clearances

遲滯非線性剛度特性如圖3所示。遲滯非線性的出現(xiàn)，是由于工藝和使用磨損等原因，使機(jī)翼俯仰或操縱面偏轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)自由度上，不可避免地會(huì)同時(shí)存在間隙和摩擦機(jī)制。因此，對(duì)這種間隙非線性和摩擦環(huán)節(jié)同時(shí)存在而形成遲滯非線性環(huán)節(jié)的情形，研究其對(duì)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的響應(yīng)特性和穩(wěn)定性特性的影響十分必要，也更具實(shí)際意義。以二元機(jī)翼為研究對(duì)象，考慮在其俯仰自由度（或操縱面偏轉(zhuǎn)自由度）上同時(shí)帶有中心間隙和摩擦非線性環(huán)節(jié)，其遲滯環(huán)節(jié)的俯仰剛度力學(xué)模型為

a）隨著x1增加，Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ，

b）隨著x1減小，Ⅲ→Ⅳ→Ⅱ，

式中：x1為所考察的翼面或舵面的某個(gè)自由度；M為隨該自由度而變的扭矩；αf，δ分別為遲滯前后自由度度量。

圖3 遲滯非線性Fig.3 Nonlinear of lag clearances

2 間隙非線性氣動(dòng)彈性行為規(guī)律

當(dāng)達(dá)到一定飛行速度時(shí)，間隙非線性顫會(huì)給飛行器帶來災(zāi)難性后果，為此國內(nèi)外對(duì)其進(jìn)行了大量研究。如研究顫振系統(tǒng)的極限環(huán)振蕩（LCO）特性、分岔特性、混沌運(yùn)動(dòng)特性，并對(duì)混沌非線性顫振行為進(jìn)行控制等［8］。

2.1 極限環(huán)振蕩（LCO）特性

在帶集中環(huán)節(jié)非線性的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中，通常非線性因素會(huì)誘發(fā)系統(tǒng)的極限環(huán)振蕩，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的疲勞損傷、飛行品質(zhì)惡化等出現(xiàn)。間隙是集中非線性中最常見的因素，美軍用飛機(jī)設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)及民用適航條例均規(guī)定，全動(dòng)操縱面的偏轉(zhuǎn)間隙應(yīng)控制小于0.034°。這個(gè)嚴(yán)格要求對(duì)全動(dòng)操縱面的制造、安裝與維護(hù)帶來技術(shù)挑戰(zhàn)，所需成本相應(yīng)增加。同時(shí)，有研究發(fā)現(xiàn)間隙誘發(fā)極限環(huán)的程度也受操縱面受載和初始迎角等因素的影響［9－10］。

由于存在非線性因素，非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)在顫振臨界點(diǎn)處發(fā)生Hopf分岔，當(dāng)飛行速度大于線性系統(tǒng)顫振速度時(shí)，非線性顫振系統(tǒng)將會(huì)出現(xiàn)LCO，而不是線性系統(tǒng)的發(fā)散振動(dòng)。顫振失穩(wěn)和大幅值的LCO都將導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)失效，因此預(yù)測(cè)和分析非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的顫振臨界點(diǎn)與LCO幅值對(duì)飛行器的結(jié)構(gòu)安全十分重要。

分析系統(tǒng)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)時(shí)，間隙非線性環(huán)節(jié)是導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)運(yùn)動(dòng)的根本原因，而初始條件對(duì)非線性顫振系統(tǒng)LCO特性的影響又非常重要，初始條件改變可能導(dǎo)致LCO類型和穩(wěn)定性發(fā)生質(zhì)變。在初始條件對(duì)LCO特性影響的研究中，頻率比、初始攻角、預(yù)加載荷、突風(fēng)載荷等初始條件，以及間隙非線性參數(shù)對(duì)非線性系統(tǒng)極限環(huán)特性的影響，都會(huì)對(duì)系統(tǒng)的非線性顫振特性產(chǎn)生重要作用。在非線性顫振系統(tǒng)的極限環(huán)特性研究中，通過觀察系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)響應(yīng)的時(shí)間歷程和相圖，對(duì)LCO運(yùn)動(dòng)進(jìn)行時(shí)域和相軌跡分析，能更直觀得到系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的類型等信息。

2.2 分岔特性與穩(wěn)定性分析

非線性顫振系統(tǒng)出現(xiàn)平衡點(diǎn)分岔、Hopf分岔和極限環(huán)分岔等復(fù)雜動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。即使對(duì)不可壓縮流下的二元機(jī)翼顫振系統(tǒng)，由于存在非線性因素，系統(tǒng)也會(huì)出現(xiàn)多種非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。文獻(xiàn)［11-12］對(duì)多種非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)和理論研究，認(rèn)為非線性顫振系統(tǒng)大致可出現(xiàn)兩種分岔特性：一種當(dāng)飛行速度超過顫振速度時(shí)，機(jī)翼振幅不會(huì)馬上出現(xiàn)發(fā)散，而是趨于一種等幅振動(dòng)，即極限環(huán)運(yùn)動(dòng)；另一種是飛行速度在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，存在兩個(gè)或兩個(gè)以上平衡解，但其中的極限環(huán)不全是穩(wěn)定的，如此系統(tǒng)的平衡位置將嚴(yán)重依賴于初始條件，給系統(tǒng)帶來巨大隱患，這對(duì)飛行器而言是不允許的。非線性氣動(dòng)彈性研究的目的是利用有益的系統(tǒng)非線性特性，避免產(chǎn)生有害的非線性現(xiàn)象。因此，有必要對(duì)非線性顫振系統(tǒng)的平衡點(diǎn)和極限環(huán)的穩(wěn)定性，以及分岔特性進(jìn)行研究。

2.3 混沌運(yùn)動(dòng)分析

非線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中，另外一種復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象是混沌運(yùn)動(dòng)?；煦缡侵赴l(fā)生在確定性系統(tǒng)中貌似隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，一個(gè)確定性理論描述的系統(tǒng)，其行為卻表現(xiàn)為不確定性，即不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)。其外在表現(xiàn)與純粹的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)相似，均為不可預(yù)測(cè)，但與隨機(jī)運(yùn)動(dòng)不同，混沌系統(tǒng)在動(dòng)力學(xué)上是確定的，其不可預(yù)測(cè)性源于運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定性，或者說混沌系統(tǒng)對(duì)無限小的初值變動(dòng)和微擾也具有敏感性，小擾動(dòng)在長時(shí)間后，也會(huì)使系統(tǒng)徹底偏離原演化方向。

混沌運(yùn)動(dòng)的往復(fù)非周期特性可用相平面圖的幾何方法表示，而當(dāng)周期運(yùn)動(dòng)的周期很長時(shí)，僅由相平面圖難以區(qū)分周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)。龐加萊映射能更好地刻畫混沌的往復(fù)非周期特性。除靜態(tài)觀察混沌的幾何特征，還須動(dòng)態(tài)討論系統(tǒng)隨參數(shù)變化而呈現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)的過程，即產(chǎn)生混沌運(yùn)動(dòng)的途徑。一般，倍周期分岔、陣發(fā)性、準(zhǔn)周期環(huán)面破裂都是典型的混沌產(chǎn)生途徑。

目前，在機(jī)翼非線性顫振問題研究中，針對(duì)混沌現(xiàn)象，多從現(xiàn)象觀察，采用數(shù)值仿真，常根據(jù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為判斷其是否為混沌運(yùn)動(dòng)。實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的若干數(shù)值特征可用于識(shí)別混沌運(yùn)動(dòng)，主要有李雅普諾夫指數(shù)、分形維數(shù)、功率譜和熵等方法［8］。

2.4 非線性顫振控制

非線性顫振是重要也是最難預(yù)測(cè)的氣動(dòng)彈性現(xiàn)象，因此，從認(rèn)識(shí)顫振現(xiàn)象開始，就一直研究減緩和控制顫振的各種方法。迄今為止，主要通過被動(dòng)控制和主動(dòng)控制兩種途徑實(shí)現(xiàn)機(jī)翼顫振抑制。在20世紀(jì)20年代，采用質(zhì)量平衡法消除機(jī)翼操縱面顫振問題，該方法為最早的被動(dòng)控制技術(shù)，目前仍用于某些飛行器的設(shè)計(jì)。另外，改變結(jié)構(gòu)剛度也可實(shí)現(xiàn)顫振抑制。被動(dòng)顫振抑制技術(shù)雖安全可靠，但缺點(diǎn)也非常明顯，由于改變了整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，需對(duì)飛行器進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，從而增加設(shè)計(jì)和制造成本。

對(duì)機(jī)翼顫振控制，更有前途的技術(shù)是半主動(dòng)控制和主動(dòng)控制。半主動(dòng)控制是一種振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)控制技術(shù)，它根據(jù)系統(tǒng)輸入的變化和對(duì)系統(tǒng)輸出的要求實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)系統(tǒng)中某些環(huán)節(jié)的剛度、慣性和阻尼特性，從而使系統(tǒng)獲得優(yōu)良的顫振特性。半主動(dòng)控制所需的作動(dòng)器具有價(jià)格低、能耗小等特點(diǎn)，一般其體積和重量也易于接受。半主動(dòng)控制涉及的關(guān)鍵技術(shù)是設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)參數(shù)可控環(huán)節(jié)和控制策略。主動(dòng)控制是在振動(dòng)控制過程中，根據(jù)檢測(cè)到的結(jié)構(gòu)振動(dòng)，經(jīng)實(shí)時(shí)計(jì)算產(chǎn)生一定的控制策略，從而驅(qū)動(dòng)作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)施加一定的作用（如控制力、力矩）實(shí)現(xiàn)抑制或消除結(jié)構(gòu)顫振。主動(dòng)顫振控制因其良好的控制效果，以及對(duì)不同結(jié)構(gòu)的適應(yīng)能力獲得了氣動(dòng)彈性研究者的關(guān)注。50年代中期，提出了主動(dòng)顫振抑制技術(shù)，其基本思想是通過閉環(huán)控制，利用系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出反饋，產(chǎn)生一定的控制力作用于機(jī)翼，主動(dòng)改變機(jī)翼顫振系統(tǒng)的零、極點(diǎn)配置，使原來的不穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)化為穩(wěn)定狀態(tài)。常用的實(shí)施方法是在飛行器升力面的適當(dāng)部位，安置若干個(gè)傳感器測(cè)試飛行器升力面的振動(dòng)信號(hào)，將測(cè)試信號(hào)經(jīng)放大和轉(zhuǎn)換或按預(yù)先確定的控制律反饋到主動(dòng)控制系統(tǒng)的舵機(jī)上，由舵機(jī)驅(qū)動(dòng)操縱面，產(chǎn)生所需控制力，從而使結(jié)構(gòu)振動(dòng)趨于穩(wěn)定。

顫振主動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要包括機(jī)翼氣動(dòng)彈性系統(tǒng)建模、控制器設(shè)計(jì)和系統(tǒng)實(shí)施，其中控制器設(shè)計(jì)是主動(dòng)控制系統(tǒng)的核心，目前主要有獨(dú)立狀態(tài)空間控制法、直接速度反饋法、前饋控制法、自適應(yīng)控制、最優(yōu)控制和魯棒控制等［13－18］。

3 間隙非線性氣動(dòng)彈性研究基本方法

二元機(jī)翼模型的非線性氣動(dòng)彈性研究可分為定性和定量分析兩類。定性研究的主要對(duì)象是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、局部分岔和分岔類型等，定量研究則關(guān)注計(jì)算顫振的振幅、頻率和相位等要素。定性研究是進(jìn)行定量研究前常用的步驟，其結(jié)果對(duì)定量研究有指導(dǎo)作用。定量研究一方面可驗(yàn)證某些定性結(jié)果，另一方面豐富了定性研究的對(duì)象。在很多情形下，兩者間并不存在明顯的界限，在同一問題中可能既有定性分析又有定量計(jì)算［1］。

對(duì)三元機(jī)翼非線性氣動(dòng)彈性問題的研究，因系統(tǒng)自由度較多，通常會(huì)用有限元法建立結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)力模型，獲取多自由度系統(tǒng)的質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣和氣動(dòng)力矩陣，這樣就可用氣動(dòng)彈性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程表示三維非線性顫振系統(tǒng)，將二元機(jī)翼非線性顫振的研究方法用于三元機(jī)翼系統(tǒng)。

3.1 定性研究

機(jī)翼非線性顫振定性分析是近年非線性顫振研究的熱點(diǎn)，其中常用的分析方法有幾何法、Hopf分岔定理、中心流形理論和規(guī)范型方法。

幾何法由POINCARé于1885年首先提出，通過相平面方法描述系統(tǒng)變量及其導(dǎo)數(shù)隨時(shí)間的變化，用相平面法可分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)定精度，以及初始條件和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響，如根據(jù)相平面的奇點(diǎn)和極限環(huán)可判斷系統(tǒng)的平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性。

Hopf分岔是非線性顫振系統(tǒng)中，當(dāng)分岔參數(shù)經(jīng)過分岔值時(shí)由平衡狀態(tài)產(chǎn)生孤立的周期運(yùn)動(dòng)，伴隨Hopf分岔產(chǎn)生的周期運(yùn)動(dòng)的孤立閉軌即為極限環(huán)。1782年，在瓦特發(fā)明的蒸汽機(jī)離心調(diào)速器上就觀察到了Hopf分岔現(xiàn)象。此后，POINCARé研究了平面系統(tǒng)中的Hopf分岔現(xiàn)象；ANDRONOV等建立起了平面Hopf分岔理論；HOPF通過嚴(yán)格證明，建立了高維系統(tǒng)中的Hopf分岔數(shù)學(xué)理論。因此，Hopf分岔也稱為Andronov-Hopf分岔或Poincaré－Andronov-Hopf分岔。

中心流形方法是非線性顫振系統(tǒng)理論研究的重要內(nèi)容，是線性系統(tǒng)的中心子空間概念在非線性顫振系統(tǒng)中的推廣。在高維非線性顫振系統(tǒng)非雙曲平衡點(diǎn)的鄰域內(nèi)，存在一類維數(shù)較低的局部不變流形，當(dāng)系統(tǒng)的相軌跡在此流形上時(shí)可能存在分岔，而在該流形之外，動(dòng)力學(xué)行為非常簡單，如以指數(shù)方式被吸引到該流形。這類流形成為中心流形。1964年，PLISS證明了中心流形定理的一個(gè)特例，1967年KELLEY證明了一般有限維系統(tǒng)的情形。該定理還可推廣到若干無窮維系統(tǒng)。

傳統(tǒng)上，規(guī)范型方法先采用中心流形理論對(duì)高維方程進(jìn)行降維，再用一系列近恒等變換進(jìn)行簡化，之后對(duì)簡化方程進(jìn)行非線性分析。該過程中有大量的矩陣計(jì)算顯得較復(fù)雜。

上述定性研究的基本思路都是采用中心流形降維＋規(guī)范型方法，此類方法的缺點(diǎn)是不能用于研究間隙非線性和遲滯非線性顫振系統(tǒng)。目前，大量研究成果已證明初值對(duì)間隙非線性顫振系統(tǒng)和遲滯非線性顫振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為影響很大，而規(guī)范形理論和中心流形理論中未考慮初值的任何信息。因此，規(guī)范形理論和中心流形理論不能很好地研究間隙非線性或遲滯非線性顫振系統(tǒng)。

3.2 定量方法

非線性顫振定量方法大致可分為解析法、半解析半數(shù)值法和數(shù)值法。文獻(xiàn)［19］從分析的角度提出了一種求解非線性顫振方程的解析方法。得益于現(xiàn)代計(jì)算方法的發(fā)展，數(shù)值積分方法（如Runge-Kutta法和有限差分法）成為非線性顫振分析中常用的數(shù)值方法。一方面，解析方法僅在某些特定的情況下有效，方法推導(dǎo)也較復(fù)雜，要求有很高的數(shù)學(xué)技巧，其應(yīng)用受到了較大的限制；另一方面，只從數(shù)值計(jì)算分析非線性顫振系統(tǒng)，也不利于探討各參數(shù)對(duì)顫振特性的影響規(guī)律。因此，合適的解析方法也是分析非線性顫振系統(tǒng)的技術(shù)途徑，目前非線性顫振的定量方法多屬于半數(shù)值半解析的范疇。以下介紹等效線性化法、描述函數(shù)法、諧波平衡法、高維諧波平衡法、增量諧波平衡法、點(diǎn)映射和胞映射方法、中心流形理論、攝動(dòng)增量法、數(shù)值積分法及其他方法。

等效線性化法是非線性顫振分析常用的方法，主要通過平均法或其他方法獲得非線性顫振系統(tǒng)的等效線性剛度，從而獲得原非線性顫振系統(tǒng)的等效線性顫振系統(tǒng)，并用線性顫振分析方法求解。在非線性振動(dòng)力學(xué)中，等效線性化法是建立在平均法基礎(chǔ)上的，由平均法的近似解出發(fā)，用狀態(tài)變量消去第一階諧波項(xiàng)，推導(dǎo)出原系統(tǒng)近似的線性微分方程（即等效線性振動(dòng)方程）。陳立群等闡明了該方法的物理意義是等效線性力與非線性力的功率及無功功率均相等，證明了在系統(tǒng)簡諧振動(dòng)的一個(gè)周期中，非線性力和等效線性力差值的累積平方取最小值。

描述函數(shù)法是目前非線性顫振求解使用最多的求解方法。該法的目的是獲得等效線性系統(tǒng)，以便應(yīng)用傳統(tǒng)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的求解方法。1940年，由DARNEL首先提出，當(dāng)非線性方程的假設(shè)解只取基波分量時(shí)，諧波平衡法即為描述函數(shù)法。通常描述函數(shù)法主要用于分析無外力作用時(shí)非線性顫振系統(tǒng)的穩(wěn)定性、自振蕩及周期解的存在性等。因描述函數(shù)法不受系統(tǒng)階次限制，且能給出滿意的結(jié)果，故獲得了廣泛應(yīng)用。傳統(tǒng)描述函數(shù)法的基本思想是，當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，用一次諧波分量近似系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出，從而得到非線性環(huán)節(jié)的近似線性特性，因此描述函數(shù)法亦稱為等效線性化法。當(dāng)非線性顫振系統(tǒng)的輸入信號(hào)為常數(shù)（直流分量）或其他高斯分布信號(hào)時(shí)，經(jīng)擬線性化計(jì)算也可實(shí)現(xiàn)非線性環(huán)節(jié)的線性化描述。

諧波平衡法的本質(zhì)是時(shí)域Galerkin法，其基本概念是將解假設(shè)為關(guān)于時(shí)間的截?cái)郌ourier級(jí)數(shù)，通過諧波平衡過程獲得關(guān)于Fourier系數(shù)的代數(shù)方程組（諧波平衡方程）。根據(jù)所用諧波數(shù)的多少，該法又分為一階和高階諧波平衡法。對(duì)某些低維非線性振動(dòng)方程，能解析求出一階或低階諧波平衡解，因此在某些場(chǎng)合中低階諧波平衡法可視為解析方法。但對(duì)大多數(shù)振動(dòng)方程，諧波平衡方程含非常復(fù)雜的非線性項(xiàng)，其解析解很難求得，甚至無法確定，因而只能求數(shù)值解。另外，諧波平衡解顯含時(shí)間，且諧波平衡法可獲得數(shù)值方法不能求得的不穩(wěn)定極限環(huán)（或周期）解。因此，諧波平衡法本質(zhì)上屬于半解析半數(shù)值方法，且對(duì)一般的周期振動(dòng)問題，通常使用前數(shù)次諧波便可獲得精度很高的解，因此在各種非線性動(dòng)力學(xué)工程問題的求解中獲得了廣泛應(yīng)用。但隨著諧波個(gè)數(shù)增多，各次諧波分量對(duì)非線性項(xiàng)的Fourier級(jí)數(shù)展開所需的推導(dǎo)過程會(huì)越來越復(fù)雜，故諧波平衡法一般只能使用較少的諧波數(shù)。

高維諧波平衡法由杜克大學(xué)的HALL等提出［20］。由于高階諧波平衡方程常含非常復(fù)雜的非線性項(xiàng)，諧波平衡法解的獲得隨所考慮諧波數(shù)的增加而急劇變難，這極大地限制了該方法的進(jìn)一步應(yīng)用和推廣。高維諧波平衡法能避免諧波平衡法中的復(fù)雜公式推導(dǎo)，其核心是將諧波平衡法的頻域變量（Fourier系數(shù)）通過離散傅里葉變換與時(shí)域變量建立等式關(guān)系，這樣就避免了非線性項(xiàng)的Fourier展開。但研究表明高維諧波平衡法會(huì)產(chǎn)生多余的非物理解，而對(duì)非物理解的鑒別和剔除的處理過程很復(fù)雜。2014年，DAI等提出時(shí)域配點(diǎn)法研究俯仰立方非線性二元機(jī)翼的復(fù)雜響應(yīng)行為，并證明了高維諧波平衡法是配點(diǎn)法而不是諧波平衡法的變種，用該法消除了高維諧波平衡法中出現(xiàn)的非物理解［21］。

增量諧波平衡法同樣也是為避免直接求解復(fù)雜的諧波平衡方程而提出的一種半解析半數(shù)值方法，它綜合了數(shù)值計(jì)算中的增量方法和諧波平衡法。該法的實(shí)質(zhì)是在諧波平衡法前，先用增量方法獲得關(guān)于增量的線性方程組。增量諧波平衡法的第一步就是Newton-Raphson的增量過程；第二步就是諧波平衡過程；第三步中，給定初始擾動(dòng)幅值、初始頻率和振幅，通過不斷迭代誤差修正求得方程組的其他未知數(shù)。需說明的是，增量諧波平衡法本質(zhì)是時(shí)域的增量Galerkin法，在數(shù)學(xué)上兩者等價(jià)，不同的是前者用于時(shí)域內(nèi)的諧波平衡，后者用于離散空間坐標(biāo)。用該法，不僅可容易獲得高階諧波平衡解，而且能通過主動(dòng)增量過程獲得一系列連續(xù)變化的解，便于分析參數(shù)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

點(diǎn)映射法和胞映射法主要用于研究具有間隙非線性或遲滯非線性顫振系統(tǒng)，間隙非線性和遲滯非線性最主要的特點(diǎn)是存在“映射點(diǎn)”，“映射點(diǎn)”對(duì)非線性顫振系統(tǒng)有十分重要的影響。如將間隙非線性或遲滯非線性對(duì)應(yīng)的無“映射點(diǎn)”分段光滑函數(shù)用近似的光滑函數(shù)代替，就會(huì)造成分岔點(diǎn)的位置不準(zhǔn)確。該方法是利用切換點(diǎn)將整個(gè)狀態(tài)空間劃分為多個(gè)子空間，在每個(gè)子空間內(nèi)用數(shù)值積分法得到微分方程的解析解，系統(tǒng)解的軌跡是由各子空間內(nèi)解的軌跡組成。此方法可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)極限環(huán)振動(dòng)的幅值和頻率，也能分析初始條件對(duì)系統(tǒng)的影響，以及用于研究間隙非線性或遲滯非線性顫振系統(tǒng)的分岔和混沌現(xiàn)象。該方法暫時(shí)只在分段線性顫振系統(tǒng)中用成功應(yīng)用，其缺點(diǎn)主要有兩個(gè)：每個(gè)子空間內(nèi)氣動(dòng)彈性方程不能表示為線性微分方程；不能得到不穩(wěn)定的周期解，也不適于研究參數(shù)變化的情況。

中心流形定理是研究非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，適于分析光滑的常微分方程系統(tǒng)。該定理是為分析定性性質(zhì)而提出的，本質(zhì)上屬于局部理論，但也有研究者嘗試用該法獲得機(jī)翼強(qiáng)非線性顫振系統(tǒng)的某些定量性質(zhì)。由于非定常氣動(dòng)力作用下機(jī)翼氣動(dòng)彈性系統(tǒng)中存在積分項(xiàng)，中心流形理論難以直接應(yīng)用。

攝動(dòng)增量法由CHUNG等提出，分別用于分析含雙線性和遲滯非線性的顫振系統(tǒng)，可成功預(yù)測(cè)系統(tǒng)的周期解、倍周期解、鞍結(jié)分岔和Neimark-Sacker分岔等［22－23］。文獻(xiàn)［22］用攝動(dòng)－增量法得到某一速度下的對(duì)稱LCO和某一速度下的非對(duì)稱LCO、倍周期LCO。用攝動(dòng)－增量法可獲得線性子域轉(zhuǎn)化點(diǎn)的精確預(yù)測(cè)（相對(duì)諧波平衡法），可捕捉到不穩(wěn)定的LCO（相對(duì)點(diǎn)映射法）；攝動(dòng)增量法的結(jié)果與點(diǎn)映射法和數(shù)值積分法一致，且可用于多自由度非線性和遲滯非線性顫振系統(tǒng)的分析。

數(shù)值積分法的本質(zhì)是對(duì)非線性顫振系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值積分，在時(shí)域內(nèi)將時(shí)間響應(yīng)歷程離散化，每個(gè)時(shí)間步長用線性方法計(jì)算，并對(duì)每個(gè)步長結(jié)果進(jìn)行修正。應(yīng)用數(shù)值積分法時(shí)，需注意初始條件選擇。數(shù)值積分法的優(yōu)點(diǎn)有：使用方便，無需像解析法的大量公式推導(dǎo)；能對(duì)復(fù)雜響應(yīng)進(jìn)行仿真；初值選取時(shí)物理意義明確；計(jì)算精度高。數(shù)值積分解可作為驗(yàn)證版解析法的標(biāo)準(zhǔn)解。數(shù)值積分法的缺點(diǎn)有：計(jì)算時(shí)間長，算法穩(wěn)定性和收斂性要求積分時(shí)間步長取足夠小，且須對(duì)初始階段的瞬態(tài)過程進(jìn)行仿真，在足夠長時(shí)間歷程后才能得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)；數(shù)值計(jì)算結(jié)果不能直接反映系統(tǒng)的某些物理特性。

3.3 研究方法比較

首先，定性研究方面，非線性顫振系統(tǒng)分岔點(diǎn)定性研究的規(guī)范型方法是根據(jù)微分方程定性理論推導(dǎo)而得的。該方法的特點(diǎn)之一是能得到分岔方程的局部解析式，故可同時(shí)判別分岔點(diǎn)的類型和極限環(huán)振動(dòng)的穩(wěn)定性。與分岔點(diǎn)類型判別的其他方法（如后繼函數(shù)法和形式級(jí)數(shù)法）相同，規(guī)范型方法先用中心流形理論將高維系統(tǒng)降維，不同的是，規(guī)范型判別法可分析分岔參數(shù)附近的局部穩(wěn)定性，即系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近極限環(huán)的穩(wěn)定性。另外，該法未考慮顫振系統(tǒng)的特殊性，因此可用于分析更一般的非線性振動(dòng)。向量場(chǎng)定性理論經(jīng)過了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，其非線性顫振的定性分析結(jié)果可信，可用于驗(yàn)證某些新方法。但這類方法的最大缺陷是局部性假設(shè)，只在小參數(shù)范圍內(nèi)有效［1］。

其次，定量研究方面，等效線性化法是一種簡便高效的解析方法，其特點(diǎn)是能獲得解析的分岔方程。由于其解析的特點(diǎn)，等效線性化法可揭示系統(tǒng)的分岔點(diǎn)，并能直觀地判別極限環(huán)的穩(wěn)定性。改進(jìn)的等效線性化法繼承了這些優(yōu)點(diǎn)，而且可給出更精確的解，其計(jì)算精度不隨風(fēng)速增大而顯著降低。但對(duì)含二次非線性環(huán)節(jié)的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)和高階非線性顫振系統(tǒng)，等效線性化法都會(huì)失效。為消除該缺陷，推廣的等效線性化法可同時(shí)處理含偶次和奇次非線性的振動(dòng)系統(tǒng)?？傮w而言，改進(jìn)或推廣的等效線性化法既能得到較精確的定量結(jié)果，還繼承了可判斷極限環(huán)穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)。雖然用優(yōu)化的方法可將等效線性化法推廣至多自由度含非線性環(huán)節(jié)的顫振系統(tǒng)，但也增加了誤差來源，結(jié)果的精度也需進(jìn)一步驗(yàn)證。因此，該類方法的缺點(diǎn)是原則上只能處理一個(gè)自由度含非線性環(huán)節(jié)的顫振系統(tǒng)，且精度也不及高階諧波平衡解和同倫分析解。

諧波平衡法、橢圓函數(shù)諧波平衡法非常適于求解強(qiáng)非線性顫振系統(tǒng)。諧波平衡法在求解非線性顫振系統(tǒng)時(shí)具有原理清晰、步驟簡單的優(yōu)點(diǎn)，受到了青睞，但隨所考慮諧波數(shù)的增加諧波平衡方程會(huì)使該方法非常難以求解。考慮此點(diǎn)，可推廣橢圓函數(shù)諧波平衡法，使其能用于求解二自由度的強(qiáng)非線性顫振系統(tǒng)。該法雖然原理簡單，但推導(dǎo)和計(jì)算過程較復(fù)雜，且只適于求解含單個(gè)非線性環(huán)節(jié)的顫振系統(tǒng)。隨后提出的高維諧波平衡法，能避免諧波平衡法中存在的復(fù)雜公式推導(dǎo)，將諧波平衡法的頻域變量通過離散傅里葉變換與時(shí)域變量建立等式關(guān)系，這樣就避免了非線性項(xiàng)的Fourier展開。

增量諧波平衡法為非線性顫振分析提供了強(qiáng)力工具，其潛力還需進(jìn)一步挖掘，優(yōu)點(diǎn)將會(huì)更明顯。另外，基于諧波平衡法和極小值求解技術(shù)提出的該法有效避免了直接求解復(fù)雜的諧波平衡方程，若引入增量過程，可望提供一種可控制迭代收斂的新的增量方法。

同倫分析法在非線性顫振分析中的應(yīng)用和推廣表現(xiàn)出了精度高的優(yōu)點(diǎn)。事實(shí)上，只需增加循環(huán)次數(shù)，極限環(huán)顫振的同倫分析解可計(jì)算至任意精度。這與諧波平衡法截然不同，同時(shí)也使該方法特別適于計(jì)算機(jī)求解。但與增量諧波平衡法相比，同倫分析解暫時(shí)只能求單一情況下的解，不具有后者能求一系列解的優(yōu)點(diǎn)，因而不利于探討參數(shù)對(duì)顫振特性的影響規(guī)律。將增量過程和同倫分析法結(jié)合，以提出更高效的顫振數(shù)值求解工具也是值得研究的方法。

與增量諧波平衡法類似，攝動(dòng)增量法也有增量過程，因此可提出另外一種適于分析參數(shù)影響規(guī)律的方法。但與多數(shù)攝動(dòng)法一樣，它受到了小參數(shù)的限制，不利于在強(qiáng)非線性顫振系統(tǒng)中求解。另外，點(diǎn)映射和胞映射法、定量分析的中心流形理論等其他方法也是對(duì)非線性顫振問題定量分析方法的嘗試和補(bǔ)充。

求解非線性顫振問題并無統(tǒng)一的處理方法，需要具體問題具體處理。更確切地說，對(duì)不同的非線性現(xiàn)象，需有不同的研究思路和處理技巧。因此，發(fā)展更多更強(qiáng)大的定性和定量分析方法十分必要。本文中各種方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)，以及不同的適應(yīng)范圍和限制條件，不能相互替代和包含，只有聯(lián)合應(yīng)用、取長補(bǔ)短才能在非線性，尤其是強(qiáng)非線性顫振問題的分析中發(fā)揮更重要的作用，才能較好地處理更多的非線性顫振問題，提供更精確更科學(xué)的結(jié)果。

4 結(jié)束語

本文對(duì)非線性顫振、集中非線性特性、非線性結(jié)構(gòu)氣動(dòng)彈性行為和基本分析方法進(jìn)行了綜述。實(shí)際機(jī)翼系統(tǒng)中存在大量的非線性因素，剛度和阻尼耦合性很強(qiáng)，因此需進(jìn)一步考慮不同形式的結(jié)構(gòu)非線性、氣動(dòng)非線性，以及控制非線性等非線性因素對(duì)氣動(dòng)彈性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響規(guī)律。同時(shí)由于存在非線性因素，系統(tǒng)表現(xiàn)出的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)通常非常復(fù)雜，除間隙非線性外，對(duì)其他不同種類的非線性引起的氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的力學(xué)行為還有待深入研究。

針對(duì)非線性顫振問題，對(duì)不同的非線性現(xiàn)象應(yīng)有不同的研究思路和處理技巧，可結(jié)合各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)以及不同的適應(yīng)范圍和限制條件，聯(lián)合應(yīng)用、取長補(bǔ)短。分析非線性顫振系統(tǒng)的方法，一般可采用時(shí)域積分法求解非線性顫振方程，通常認(rèn)為時(shí)域積分方法所得結(jié)果是精確的，但計(jì)算時(shí)間較長，而頻域方法可較好地解決這個(gè)問題。因此，需對(duì)現(xiàn)有頻域方法進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展，以解決目前存在的問題。如用高階諧波平衡法求解非線性顫振問題，求解高維的代數(shù)非線性方程組很困難，限制了該法的進(jìn)一步應(yīng)用和推廣，可通過改進(jìn)方法，避免直接求解諧波平衡方程。用改進(jìn)的方法解決已存在的問題，與之前求解的方法進(jìn)行比較，證明其改進(jìn)方法的可行性和準(zhǔn)確性，也是非線性顫振問題的研究之一。另外，也可將非線性振動(dòng)方面的新方法推廣并用于非線性顫振研究。

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