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        一類二階四元數(shù)方陣保左譜的線性映射表示*

        2015-12-30 05:42:01
        菏澤學(xué)院學(xué)報(bào) 2015年2期

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        一類二階四元數(shù)方陣保左譜的線性映射表示*

        袁庚

        (青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院,山東青島266061)

        摘要:設(shè)Q表示四元數(shù)集合,Mn(Q)表示n×n四元數(shù)矩陣的集合.對(duì)于四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU-1或Φ(A)=UATU-1: M2(Q)→M2(Q),若σl[ Φ (A) ] =σl(A),則四元數(shù)酉陣U是實(shí)數(shù)矩陣.

        關(guān)鍵詞:四元數(shù)方陣;保左譜;線性映射

        引言

        設(shè)R,C分別表示實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域,Q表示具有形式q=q0+ q1i + q2j + q3k∈Q的所有四元數(shù)集合,其中i2= j2= k2=-1,ij =-ji=k,jk =-kj=i,ki =-ik=j.對(duì)任意的q=q0+ q1i + q2j + q3k,=q0-q1i-q2j-q3k稱為q的共軛,記為.

        設(shè)K=R,C或Q,元素屬于K的n×n階矩陣的全體記為Mn(K).對(duì)于A∈Mn(Q),用、AT、A*分別表示四元數(shù)矩陣A的共軛矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣、共軛轉(zhuǎn)置矩陣.若A*= A則稱A為四元數(shù)自共軛矩陣;若AA*= A*A=I,則稱A為四元數(shù)酉矩陣.用Un(Q)表示n階四元數(shù)酉陣的全體,SCn(Q)表示n階四元數(shù)自共軛矩陣的全體,GLn(Q)表示n階四元數(shù)可逆矩陣的全體,CM2(C)為所有元素為復(fù)數(shù)的2×2階矩陣.

        對(duì)于A∈Mn(Q),若存在μ∈Q與n維非零列矢量X使得AX=Xμ,稱μ為A的左特征值.稱A的左特征值的集合為A的左譜,記為σl(A).

        Wood[1]利用代數(shù)拓?fù)涞姆椒ㄗC明四元數(shù)矩陣A∈Mn(Q)時(shí),σl(A)是非空的,并且指出可以通過解二次方程來計(jì)算2×2階四元數(shù)矩陣的左特征值.Huang和So[2]利用四元數(shù)二次方程給出了2×2階四元數(shù)矩陣左特征值的計(jì)算過程,同時(shí)刻畫了2×2階四元數(shù)矩陣的左譜.Zhang[3]給出下面例子說明四元數(shù)矩陣的左譜不是相似不變的.

        A∈Mn(Q),α1,α2∈Q,ζ1,ζ2∈Qn,

        A(α1ζ1+α2ζ2)=Aα1ζ1+ Aα2ζ2

        一般不再成立.但是

        A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2,ζ1,ζ2∈Qn; A(ζq)=(Aζ) q,ζ∈Qn,q∈Q

        總是成立的,滿足

        A(ζ1+ζ2)=Aζ1+ Aζ2,ζ1,ζ2∈Qn與A(ζq)=(Aζ) q,ζ∈Qn,q∈Q

        的矩陣A稱為四元數(shù)的右線性映射.

        在過去的30年里,很多作者討論了線性保的問題以及線性保有關(guān)的問題,關(guān)于這方面的內(nèi)容請(qǐng)參考文獻(xiàn)[4~7].注意到四元數(shù)矩陣A的左譜不是酉不變的,而四元數(shù)矩陣作為線性變換的運(yùn)算也不同于實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上矩陣的運(yùn)算,本文主要討論了一類四元數(shù)線性變換保左譜的具體形式.下面定理是本文的主要結(jié)果.

        定理1設(shè)A∈M2(Q),U∈U2(Q),若四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU*或Φ(A)=UATU*: M2(Q) →M2(Q)滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A),則四元數(shù)酉陣U是實(shí)矩陣.

        1 定理1的證明

        1.1輔助引理

        引理1[2 ]設(shè),如果bc=0則σl(A) ={ a,d } ;如果bc≠0,則:

        σl(A) ={ a + bλ:λ2+ b-1(a-d)λ-b-1b =0}

        引理2[2 ]設(shè),則σl(A)是無限的當(dāng)且僅當(dāng)bc≠0,b-1(a-d)∈R,b-1c∈R,且.特別的,如果σl(A)是無限的.

        定義1 Φ: M2(Q)→M2(Q)稱為四元數(shù)右線性映射,如果它滿足:

        引理3對(duì)于任意的A∈CM2(C),U∈U2(Q),若四元數(shù)右線性映射Φ(A)=UAU*滿足σl[ Φ (A) ] =σl(A),則U具有以下形式:

        證明當(dāng)滿足命題條件且Φ(A)=UAU*時(shí),確定U的表示.

        因?yàn)閁∈U2(Q),設(shè),由酉陣性質(zhì)可得:

        因?yàn)棣?A)=UAU*,取,則:

        顯然,σl(A)中的元素是無限的,由σl[ Φ(A)] =σl(A),若方程有無限解,由引理2,則:

        由a-112a21∈R且a21=-a12,a-112=∈R可以得到,即,從而a12∈R.又由,a12∈R,得到a11-a22∈R.

        由酉陣性質(zhì)可得:

        若假設(shè)s3= 0,則由s1+ s23s2= 0可以得到s1= 0,從而有,這與U是酉陣矛盾,假設(shè)不成立,舍去.

        當(dāng)s3≠0時(shí),由s3(1 + s1s2)=0,得到1 + s1s2= 0;由s1+ s23s2= 0,得到s2s3=±1.

        當(dāng)s2s3= 1時(shí),由s1+ s23s2= 0,得到s1=-s3,繼而得到:

        由U是酉陣,得到u211+ s21u211= 1,由1 + s21>0得到u211>0,即u11∈R,可以得到U的形式為:

        當(dāng)s2s3=-1時(shí),由s1+ s23s2= 0得到s1= s3,繼而得到:

        由U是酉陣,得到-u211-s21u211= 1,由1 + s21>0,得u211<0,繼而得到U的形式為:

        1.2定理1的證明

        令A(yù)=A1+ A2j,A1,A2j∈C,由定義1可以得到:

        Φ(A1+ A2j) =Φ(A1) +Φ(A2j) =Φ(A1) +Φ(A2) j

        若σl[ Φ (A) ] =σl(A),由引理3,則:

        Φ(A1)=UA1U*;Φ(A2)=UA2U*

        顯然Φ(A2) j≠Φ(A2j),舍去.

        類似可證明Φ(A)=UATU*的情況.

        2 結(jié)語

        本文在M2(Q)→M2(Q)的條件下刻畫了右線性映射Φ保左譜的具體形式,這個(gè)結(jié)果,有利于提高復(fù)雜四元數(shù)矩陣左譜的計(jì)算效率,同時(shí)也有益于更一般四元數(shù)矩陣左譜問題的研究.

        參考文獻(xiàn):

        [1]Wood R M W.Quaternionic eigenvalues[J].Bull,London Math.Soc.,1985,17:137-138.

        [2]Huang Liping,Wasin S.On Left Eigenvalues of a Quaternionic Matrix[J].Linear Algebra and Its Application,2001,323:105-116.

        [3]Zhang Fuzhen.Quaternions and Matrices of Quaternions[J].Linear Algebra and its Applications,1997,251:21-57.

        [4]Li C K,Tsing N K.Linear preserver problems: a brief introduction and some special techniques[J].Lin.Alg.,1994,162-164: 217-235.

        [5]Dokovic D Z,Li C.K,Overgroups of some classical linear groups with applications to linear preserver problems[J].Lin,Alg.,1994,197-198:31-61.

        [6]Guterman A,Li C K,Seml P.Some general techniques on linear preserver[J].Lin.Alg.,2003,315:61-81.

        [7]Li C K,Pierce S.Linear preserver problems[J].Amer.Math.2001,108:591-605.

        Linear Maps Preserving Left Spectrum of 2×2Quaternion Matrices

        YUAN Geng

        (Department of Mathematics,Qingdao University of Science and Technology,Qingdao 266042,China)

        Abstract:Let Q be the set of quaternion numbers and Mn(Q) the set of n×n quaternion matrices.If quaternion right linear Maps Φ(A)=UAU-1or Φ(A)=UATU-1: M2(Q)→M2(Q) preserving Left Spectrum,then quaternion unitary matrix is real.

        Key words:quaternion matrices; left spectrum; linear maps

        作者簡(jiǎn)介:袁庚(1985-),男,山東曹縣人,在讀碩士研究生,研究方向:代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用.

        *收稿日期:2015-03-02

        文章編號(hào):1673-2103(2015) 02-0006-04

        中圖分類號(hào):O151.24

        文獻(xiàn)標(biāo)志碼:A

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