基于RCSA的深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)

李孝茹朱堅(jiān)民張統(tǒng)超王健

上海理工大學(xué)，上海，200093

摘要：基于響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法預(yù)測(cè)了深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)。首先對(duì)磨床主軸進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分，計(jì)算各子結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)下的頻響函數(shù)矩陣，然后順序剛性耦合各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣，對(duì)軸承支撐點(diǎn)使用結(jié)構(gòu)修改法修改軸承約束下的已耦合子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣，直至耦合到最后一個(gè)子結(jié)構(gòu)，得到主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)。以某深孔內(nèi)圓磨床為研究對(duì)象，分別基于該方法和有限元法，對(duì)其主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并對(duì)其進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試。實(shí)驗(yàn)及分析結(jié)果表明：該方法預(yù)測(cè)精度高于有限元分析方法預(yù)測(cè)精度、計(jì)算速度快，便于深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：深孔內(nèi)圓磨床；主軸端點(diǎn)；頻響函數(shù)預(yù)測(cè)；響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析；結(jié)構(gòu)修改法

中圖分類(lèi)號(hào)：TH113；TG581.2

收稿日期：2015-04-28

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50975179)；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目(11ZZ136)；上海市科委科研計(jì)劃資助項(xiàng)目(13160502500)；滬江基金資助項(xiàng)目(D14005)

作者簡(jiǎn)介：李孝茹，女，1980年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院博士研究生。主要研究方向?yàn)榫軝z測(cè)、機(jī)床動(dòng)力學(xué)等。朱堅(jiān)民(通信作者)，男，1968年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。張統(tǒng)超，男，1990年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。王健，男，1989年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。

Frequency Response Prediction of Deep Hole Internal Grinder Spindle

Endpoint Based on Receptance Coupling Substructure Analysis

Li XiaoruZhu JianminZhang TongchaoWang Jian

University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai，200093

Abstract：Based on RCSA, this paper predicted the frequency response function of the endpoint of a deep hole internal grinder spindle. At first, the method separated the model of grinder spindle into several subsections to calculate their free-state frequency response function (FRF) matrices, then rigidly coupled the FRF matrices of each substructure sequentially, revised the FRF matrices of the coupled substructure with structural modification method at the support points of bearings, coupled till to the last substructure, then the FRF of the endpoint of grinder spindle was calculated．With a deep hole internal grinder spindle system as the research object, the paper predicted the FRF of the spindle endpoint through proposed method and finite element method, meanwhile a group of FRF data were collected by experiments．Experimental results indicate that this method, with higher prediction precision and faster calculation speed, is better in the structure optimization of the deep hole internal grinder spindle system.

Key words：deep hole internal grinder; spindle endpoint; frequency response characteristic prediction; receptance coupling substructure analysis(RCSA); structural modification method

0引言

深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是磨床整機(jī)動(dòng)態(tài)性能的重要組成部分，主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)是主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的直接反映，對(duì)磨床的磨削穩(wěn)定性、極限磨削速度、加工精度、可靠性和壽命等有顯著影響[1-2]。深孔內(nèi)圓磨床主軸由于長(zhǎng)徑比大、支撐剛性差等原因，其端點(diǎn)的動(dòng)態(tài)性能往往低于其他類(lèi)型磨床并容易產(chǎn)生磨削顫振。因此在深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的設(shè)計(jì)階段，準(zhǔn)確、快速地預(yù)測(cè)其端點(diǎn)的頻響函數(shù)，對(duì)于主軸結(jié)構(gòu)及其參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

目前，有限元法是預(yù)測(cè)磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)的主要方法。文獻(xiàn)[3]運(yùn)用ANSYS對(duì)超高速磨床主軸系統(tǒng)進(jìn)行了建模和動(dòng)力學(xué)分析，對(duì)其固有頻率、振型和臨界轉(zhuǎn)速進(jìn)行了預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[4]考慮軸承剛度參數(shù)和螺栓聯(lián)結(jié)結(jié)合面參數(shù)，建立了某高速外圓磨床電主軸系統(tǒng)的有限元模型，通過(guò)理論模態(tài)分析了主軸系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)振型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試驗(yàn)證了有限元分析結(jié)果的正確性；文獻(xiàn)[5]在ANSYS中建立了某軋輥數(shù)控磨床主軸系統(tǒng)的有限元模型，通過(guò)模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析得到了主軸系統(tǒng)的頻響函數(shù)。以上研究使用有限元法預(yù)測(cè)磨床主軸系統(tǒng)的頻響函數(shù)時(shí)，有限元法建模過(guò)程復(fù)雜、計(jì)算效率低，且模型一旦建立則不便在其結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化中動(dòng)態(tài)修改，故難以用于深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析(receptance coupling substructure analysis，RCSA)是銑刀刀尖點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)的最有效方法，它將銑床主軸系統(tǒng)劃分為若干子結(jié)構(gòu)(各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣可通過(guò)梁模型簡(jiǎn)化理論計(jì)算、有限元模型計(jì)算或?qū)嶒?yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試等方法獲得)，再通過(guò)響應(yīng)耦合各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣預(yù)測(cè)出刀尖點(diǎn)的頻響函數(shù)[6-8]。由于該方法預(yù)測(cè)精度高、計(jì)算簡(jiǎn)單，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了大量研究[9-11]。深孔內(nèi)圓磨床主軸長(zhǎng)徑比大，其幾何結(jié)構(gòu)和銑床主軸-刀柄-銑刀系統(tǒng)類(lèi)似，都可視為多段梁結(jié)構(gòu)耦合而成，因此可基于RCSA預(yù)測(cè)其端點(diǎn)的頻響函數(shù)。本文據(jù)此提出了基于RCSA的深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)新方法，以某深孔內(nèi)圓磨床為研究對(duì)象，基于本文方法和有限元法分別對(duì)其主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)和實(shí)驗(yàn)測(cè)試，得到了預(yù)期的結(jié)果。

1深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)原理

1.1主軸系統(tǒng)各子結(jié)構(gòu)自由狀態(tài)下的響應(yīng)耦合分析

深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示，細(xì)長(zhǎng)的主軸安裝在殼體中，主軸左端、右端分別由一組面對(duì)面安裝的角接觸軸承支撐。砂輪安裝在主軸的左端點(diǎn)O1(O1為砂輪安裝點(diǎn)，O2為皮帶輪安裝點(diǎn))處，主軸在該點(diǎn)的頻響函數(shù)反映了整個(gè)主軸系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，與機(jī)床的磨削精度、速度和穩(wěn)定性直接關(guān)聯(lián)，本文研究此端點(diǎn)處頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)方法。

圖1　深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

圖1中，深孔內(nèi)圓磨床主軸由多段均勻圓柱梁和兩段梯形圓柱梁結(jié)構(gòu)組成，可將其按照?qǐng)A柱梁的段數(shù)劃分為相同數(shù)目的子結(jié)構(gòu)，即子結(jié)構(gòu)A～子結(jié)構(gòu)K，如圖2所示。

圖2　深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分

圓柱梁子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣直接由梁模型計(jì)算得到。為了計(jì)算梯形圓柱梁子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣，可根據(jù)等質(zhì)量法將其簡(jiǎn)化為等直徑圓柱梁。圖2中，假設(shè)梯形圓柱梁B兩端圓截面的直徑分別為d1和d2，則其等效的等直徑圓柱梁直徑為

(1)

通過(guò)這種簡(jiǎn)化后，主軸的每個(gè)子結(jié)構(gòu)均為等直徑圓柱梁。下面以圖2中兩圓柱梁A和B為例，說(shuō)明主軸系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)之間的耦合過(guò)程。

如圖3所示，子結(jié)構(gòu)A和子結(jié)構(gòu)B響應(yīng)耦合構(gòu)成子結(jié)構(gòu)A-B?？紤]平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)自由度，子結(jié)構(gòu)A的頻響函數(shù)矩陣表示為

(2)

式中，Hij、Lij、Nij和Pij分別為位移/力、位移/力矩、轉(zhuǎn)角/力以及轉(zhuǎn)角/力矩的頻響函數(shù)，i，j=A1，A2；xi、θi分別為子結(jié)構(gòu)A在i點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角響應(yīng)；fj、mj分別為施加在子結(jié)構(gòu)A在j點(diǎn)的作用力和作用力矩。

圖3　響應(yīng)耦合子結(jié)構(gòu)分析法原理圖

子結(jié)構(gòu)A的頻響函數(shù)矩陣Aij(i=j時(shí)為原點(diǎn)頻響函數(shù)，i≠j時(shí)為跨點(diǎn)頻響函數(shù))可統(tǒng)一表示為

(3)

式(3)中，每個(gè)子矩陣Aij包含對(duì)應(yīng)點(diǎn)的頻響函數(shù)，例如梁A的A1點(diǎn)頻響函數(shù)矩陣為

(4)

同理，子結(jié)構(gòu)B的頻響函數(shù)矩陣可表示為

(5)

對(duì)于由子結(jié)構(gòu)A和B剛性耦合而成的子結(jié)構(gòu)A-B，設(shè)其頻響函數(shù)矩陣為

(6)

則子結(jié)構(gòu)A-B的頻響函數(shù)矩陣與子結(jié)構(gòu)A、B的頻響函數(shù)矩陣之間的關(guān)系為[12]

C11=A11-A12(A22+B11)-1A21

(7)

C12=A12(A22+B11)-1B12

(8)

C21=B21(A22+B11)-1A21

(9)

C22=B22-B21(A22+B11)-1B12

(10)

由式(7)～式(10)可知，耦合后子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣可通過(guò)各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣的數(shù)學(xué)運(yùn)算得到。將圖2中的子結(jié)構(gòu)A～子結(jié)構(gòu)K按順序剛性耦合，即子結(jié)構(gòu)A與子結(jié)構(gòu)B耦合構(gòu)成的結(jié)構(gòu)AB，再與子結(jié)構(gòu)C耦合，構(gòu)成ABC，…，直至耦合到子結(jié)構(gòu)K，可得到主軸在自由狀態(tài)下其端點(diǎn)的頻響函數(shù)。

1.2主軸系統(tǒng)各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)計(jì)算

子結(jié)構(gòu)A～子結(jié)構(gòu)K在自由狀態(tài)下各自的頻響函數(shù)矩陣可通過(guò)EB梁模型或Timoshenko梁模型計(jì)算得到[13-14]。EB梁模型計(jì)算簡(jiǎn)單、可靠，適用于細(xì)長(zhǎng)梁的頻響函數(shù)計(jì)算，但文獻(xiàn)[15-16]的研究表明：EB梁模型假設(shè)梁只產(chǎn)生彎曲變形，忽略了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形，當(dāng)梁的長(zhǎng)徑比較小時(shí)，EB梁的計(jì)算頻響函數(shù)誤差較大。Timoshenko梁模型考慮橫向剪切變形的影響，對(duì)于長(zhǎng)徑比較小的梁，Timoshenko梁的計(jì)算頻響函數(shù)具有較高的計(jì)算精度。盡管深孔內(nèi)圓磨床主軸的整體結(jié)構(gòu)長(zhǎng)徑比較大，但劃分子結(jié)構(gòu)后各子結(jié)構(gòu)長(zhǎng)徑比較小，因此本文基于Timoshenko梁模型計(jì)算主軸各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)[17]。兩端自由的Timoshenko梁的特征方程為

(11)

D11=(α-λ)(cosα-coshβ)

(12)

(13)

(14)

D22=λα(coshβ-coshα)

(15)

(16)

(17)

(18)

式中，ρ、E、G分別為梁材料的密度、彈性模量和剪切模量；A、I、L分別為梁的截面積、截面慣性矩和長(zhǎng)度；k′為梁的剪切系數(shù)，k′=6(1+υ)/(7+6υ)；υ為梁材料的泊松比。

根據(jù)特征方程(式(11))，可以獲得梁的r階彈性模態(tài)以及相應(yīng)模態(tài)的量綱一頻率參數(shù)αr、βr，并由此確定梁的平動(dòng)振型函數(shù)：

(19)

同理可得梁的轉(zhuǎn)動(dòng)振型函數(shù):

(20)

(21)

(22)

根據(jù)振型函數(shù)的正交性可得

(23)

令r=s=1, 2, …,n，可求出常數(shù)Ar。

(24)

(25)

以圓柱梁的左截面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁軸線方向?yàn)閤軸，建立圖4所示的坐標(biāo)系。

圖4　兩端自由的Timoshenko梁坐標(biāo)定義

圖4中，兩端自由的Timoshenko梁模型的頻響函數(shù)為

(26)

(27)

(28)

(29)

j,k=1,2

將式(19)、式(24)和式(25)代入式(26)～式(29)，j=k=1，可得圖4中端點(diǎn)1的原點(diǎn)頻響函數(shù)：

(30)

(31)

(32)

(33)

同理，當(dāng)j=1，k=2時(shí)，可得端點(diǎn)1的跨點(diǎn)頻響函數(shù)；當(dāng)j=k=2時(shí)，可得端點(diǎn)2的原點(diǎn)頻響函數(shù)；當(dāng)j=2，k=1時(shí)可得端點(diǎn)2的跨點(diǎn)頻響函數(shù)。

1.3主軸在軸承支撐下各子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣的耦合

以上通過(guò)RCSA得到深孔內(nèi)圓磨床主軸自由狀態(tài)下其端點(diǎn)的頻響函數(shù)。實(shí)際的磨床主軸由前后4個(gè)軸承支撐(如圖1所示)，并且軸承的支撐剛度對(duì)主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)有較大的影響，因此必須考慮軸承的支撐約束，建立軸承支撐下的主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)。

本文考慮軸承的剛度和阻尼對(duì)主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響，使用結(jié)構(gòu)修改法[18]建立軸承支撐下的主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)模型。將軸承對(duì)主軸的支撐簡(jiǎn)化為若干個(gè)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧-阻尼單元，根據(jù)結(jié)構(gòu)修改法對(duì)主軸階梯梁重新進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分，如圖5所示，圖中，U為轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧-阻尼單元，V為平動(dòng)彈簧-阻尼單元。

圖5　具有軸承支撐的主軸系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)劃分

圖6所示為圖5中子結(jié)構(gòu)A～D耦合成子結(jié)構(gòu)R后，再引入軸承約束U、V，通過(guò)修改子結(jié)構(gòu)R的頻響函數(shù)矩陣確定新的子結(jié)構(gòu)R′頻響函數(shù)矩陣的原理。

圖6　結(jié)構(gòu)修改法耦合原理

圖6中，假設(shè)子結(jié)構(gòu)R的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣及阻尼矩陣分別為M、K和C，在簡(jiǎn)諧力F的作用下子結(jié)構(gòu)R的位移和轉(zhuǎn)角響應(yīng)為

x=(K-ω2M+iωC)-1F

(34)

子結(jié)構(gòu)R的頻響函數(shù)矩陣可以表示為

α=(K-ω2M+iωC)-1

(35)

假設(shè)子結(jié)構(gòu)R′的頻響函數(shù)矩陣為

ξ=[(K+ΔK)-ω2(M+ΔM)+iω(C+ΔC)]-1

(36)

式中，ΔM、ΔK、ΔC分別為子結(jié)構(gòu)R的質(zhì)量、剛度和阻尼的變化量。

式(35)、式(36)兩邊求逆得

ξ-1=α-1+D

(37)

D=ΔK-ω2ΔM+iωΔC

(38)

式中，D為動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)修改矩陣。

式(37)的兩邊左乘α、右乘ξ可得

α=ξ+αDξ

(39)

由式(39)解得修改后的頻響函數(shù)矩陣：

ξ=(I+αD)-1α

(40)

(41)

(42)

式中，ky、kθ、cy、cθ分別為軸承的徑向剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度、徑向阻尼和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)修改參數(shù)。

根據(jù)式(7)～式(10)，依次將子結(jié)構(gòu)A～D偶合成子結(jié)構(gòu)R，將子結(jié)構(gòu)R的頻響函數(shù)矩陣記為

(43)

修改頻響函數(shù)矩陣P中的元素排列順序?yàn)閇18]

(44)

則子結(jié)構(gòu)R′的頻響函數(shù)矩陣為

αP′=(I+αPD)-1αP

(45)

式中，I為單位矩陣。

對(duì)圖5所示的磨床主軸系統(tǒng)，首先對(duì)主軸進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分，按照式(26)～式(29)確定各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣；根據(jù)式(7)～式(10)將各子結(jié)構(gòu)順序剛性耦合，耦合過(guò)程中，遇到軸承支撐時(shí)，把對(duì)應(yīng)軸承參數(shù)Ky和Kθ代入式(41)，將式(41)、子結(jié)構(gòu)R頻響函數(shù)矩陣元素重排后的新矩陣(式(44))及單位矩陣I代入式(45)，可得到軸承約束下的耦合子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣，然后按照同樣方法，繼續(xù)根據(jù)式(7)～式(10)與其余各子結(jié)構(gòu)順序剛性耦合，最后得到整個(gè)主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)矩陣，確定主軸砂輪安裝點(diǎn)的位移/力頻響函數(shù)H11。

2主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)實(shí)例

2.1本文方法預(yù)測(cè)

圖7　磨床主軸測(cè)試實(shí)物圖

以圖7所示的某深孔內(nèi)圓磨床為研究對(duì)象，應(yīng)用本文方法對(duì)其主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

首先對(duì)該磨床主軸進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分，根據(jù)主軸系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征劃分成子結(jié)構(gòu)A～子結(jié)構(gòu)L，如圖5所示。子結(jié)構(gòu)B和子結(jié)構(gòu)K是梯形圓柱梁，其梯度比較小，分別為0.1°和0.144°，可以根據(jù)式(1)將其簡(jiǎn)化為等直徑圓柱梁，簡(jiǎn)化后各子結(jié)構(gòu)的幾何尺寸如表1所示。

表1　主軸各子結(jié)構(gòu)的幾何尺寸

主軸的材料為鋼，其密度ρ=7800kg/m3，彈性模量E=200GPa，泊松比υ=0.3，阻尼因子γ=0.003。主軸固定端支撐軸承的徑向剛度為880MN/m，浮動(dòng)端支撐軸承的徑向剛度為520MN/m，角接觸軸承具有自動(dòng)調(diào)節(jié)功能，其轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和阻尼均為0。

根據(jù)本文方法得到磨床主軸砂輪安裝點(diǎn)的頻響函數(shù)矩陣，其中位移/力頻響函數(shù)的實(shí)部和虛部如圖8所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖8　本文方法預(yù)測(cè)的主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)曲線

2.2有限元法預(yù)測(cè)

2.2.1主軸系統(tǒng)有限元模型的建立

為了與本文方法預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，使用有限元法對(duì)磨床主軸左端點(diǎn)處的頻響函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。在SolidWorks軟件中建立主軸系統(tǒng)的實(shí)體模型，導(dǎo)入HyperMesh軟件中建立主軸系統(tǒng)的有限元模型。

(1)實(shí)體模型簡(jiǎn)化。為了使有限元網(wǎng)格劃分生成的單元形狀合理，提高計(jì)算分析的精度和效率，在建立有限元模型前，對(duì)實(shí)體模型作以下簡(jiǎn)化：對(duì)模型中的倒角、倒圓均作直線化處理；忽略主軸兩端的聯(lián)結(jié)螺紋，以等直徑圓柱梁代替；忽略有限元計(jì)算結(jié)果影響小的殼體、套筒、端蓋等零件。

(2)網(wǎng)格化分。整個(gè)模型的單元類(lèi)型均選擇ANSYS中的Solid95實(shí)體單元(20節(jié)點(diǎn)六面體單元，具有較高的計(jì)算精度)。在HyperMesh軟件中通過(guò)體分割進(jìn)行網(wǎng)格劃分，共劃分約35.5萬(wàn)個(gè)Solid95單元。

(3)軸承結(jié)合部建模。軸承結(jié)合部的剛度是影響主軸系統(tǒng)有限元計(jì)算結(jié)果正確性的關(guān)鍵因素。采用ANSYS軟件提供的自定義MATRIX27剛度單元，忽略軸承阻尼對(duì)固有頻率的微小影響，根據(jù)軸承剛度模擬結(jié)合部的接觸特性。將軸承內(nèi)圈固定在主軸上，使用MPC184單元將軸承內(nèi)外圈分別剛性耦合到2個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)上，再使用2個(gè)剛度單元將2個(gè)節(jié)點(diǎn)在軸向、徑向分別聯(lián)結(jié)，建立的軸承結(jié)合部模型如圖9所示，主軸系統(tǒng)軸承的固定端徑向剛度為880MN/m，浮動(dòng)端徑向剛度為520MN/m。

圖9　軸承結(jié)合部的建模

(4)邊界條件。根據(jù)主軸系統(tǒng)的實(shí)際約束情況，對(duì)所有軸承外圈表面的節(jié)點(diǎn)施加了全約束。

2.2.2主軸系統(tǒng)理論模態(tài)分析

考慮材料阻尼因子，在ANSYS中使用QRDamped法進(jìn)行模態(tài)求解，獲得主軸系統(tǒng)前6階模態(tài)振型和固有頻率，分別如圖10和表2所示。

(a)第1階模態(tài)振型

(b)第2階模態(tài)振型

(c)第3階模態(tài)振型

(d)第4階模態(tài)振型

(e)第5階模態(tài)振型

(f)第6階模態(tài)振型 圖10　主軸系統(tǒng)前6階模態(tài)振型

本文方法(Hz)有限元法(Hz)實(shí)測(cè)(Hz)本文方法誤差(%)有限元法誤差(%)1115108.3113.11.74.22206181.2197.64.38.33299-293.71.8-4347325342.61.35.15--561.9--66416456341.11.77-947.9926-2.4

由圖10可知，主軸系統(tǒng)第1階模態(tài)振型為1階彎曲振動(dòng)，第2階模態(tài)振型為扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，第3階模態(tài)振型為2階彎曲振動(dòng)，第4階模態(tài)振型為3階彎曲振動(dòng)，第5階模態(tài)振型為主軸右端彎曲振動(dòng)，第6階模態(tài)振型為4階彎曲振動(dòng)。

2.2.3主軸系統(tǒng)諧響應(yīng)分析

為了獲得主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)，對(duì)主軸系統(tǒng)進(jìn)行諧響應(yīng)分析。在主軸端點(diǎn)沿Z向(豎直向下)施加作用力Fz=1N，在ANSYS中使用Modalsuperposition法進(jìn)行諧響應(yīng)分析，并提取主軸端點(diǎn)Z方向的位移Dz，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線，如圖11所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖11　有限元法預(yù)測(cè)的主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)曲線

3實(shí)驗(yàn)研究

3.1實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試

為了驗(yàn)證本文方法和有限元法預(yù)測(cè)結(jié)果的正確性，使用錘擊法對(duì)磨床主軸砂輪安裝點(diǎn)進(jìn)行模態(tài)測(cè)試，獲得其實(shí)測(cè)頻響函數(shù)。實(shí)驗(yàn)中使用Kistler9724A型激振力錘對(duì)主軸砂輪安裝點(diǎn)施加激勵(lì)力，使用BK4525B型三向加速度傳感器拾取主軸端點(diǎn)振動(dòng)信號(hào)，通過(guò)搭載NI-9234動(dòng)態(tài)信號(hào)采集模塊的NIcDAQ-9172數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)力以及主軸端點(diǎn)的加速度信號(hào)進(jìn)行同步采集，使用ModalVIEW模態(tài)分析軟件進(jìn)行模態(tài)分析，模態(tài)測(cè)試原理如圖12所示。

圖12　實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試原理圖

在ModalVIEW軟件中通過(guò)最小二乘復(fù)頻率法對(duì)實(shí)測(cè)加速度頻響函數(shù)進(jìn)行曲線擬合和模態(tài)參數(shù)識(shí)別。為了便于與前述預(yù)測(cè)頻響函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，根據(jù)HD(ω)=-HA(ωw)/ω2將實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試得到的加速度頻響函數(shù)轉(zhuǎn)換為位移頻響函數(shù)，其中，HA(ω)、HD(ω)分別為磨床主軸砂輪安裝點(diǎn)處的加速度頻響函數(shù)、位移頻響函數(shù)。最終得到的主軸端點(diǎn)實(shí)測(cè)位移頻響函數(shù)曲線，如圖13所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖13　實(shí)測(cè)的主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)曲線

3.2結(jié)果分析

將本文方法得到的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)曲線、有限元法得到的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)曲線與實(shí)測(cè)的頻響函數(shù)曲線放在同一個(gè)圖中進(jìn)行對(duì)比，如圖14所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖14　主軸端點(diǎn)的預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)頻響函數(shù)對(duì)比

從圖14a可以看出，本文方法、有限元法和實(shí)測(cè)得到的實(shí)頻特性曲線整體上一致。在第1階固有頻率處，本文方法獲得的頻響函數(shù)比有限元法獲得的頻響函數(shù)更加接近實(shí)測(cè)結(jié)果。在其余幾階固有頻率處，有限元法得到的頻響函數(shù)比本文方法得到的頻響函數(shù)更接近實(shí)測(cè)頻響函數(shù)。實(shí)際磨削加工過(guò)程中，主軸系統(tǒng)的第1階固有頻率對(duì)加工性能的影響最大，而其余幾階固有頻率對(duì)加工性能的影響相對(duì)較小。從圖14b可以看出，本文方法和有限元法得到的虛頻特性曲線也比較接近，但是均與實(shí)測(cè)虛頻特性曲線有一定的差異，引起這種差異的主要原因是本文實(shí)測(cè)得到的是加速度頻響曲線，為了與有限元法和本文方法預(yù)測(cè)的位移頻響曲線進(jìn)行對(duì)比，需要對(duì)加速度頻響函數(shù)進(jìn)行兩次積分，正是兩次積分中的積分誤差導(dǎo)致了實(shí)測(cè)結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差。

為了進(jìn)一步分析本文方法預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)的準(zhǔn)確性，比較本文方法、有限元法和實(shí)測(cè)頻響函數(shù)的前7階固有頻率。從表2可知，本文方法和有限元法得到的頻響函數(shù)均存在模態(tài)丟失，如本文方法得到的固有頻率丟失了第五、第七階模態(tài)。由于實(shí)際磨削加工往往重點(diǎn)關(guān)注前三階固有頻率，故可忽略本文方法中的模態(tài)丟失。有限元法得到的頻響函數(shù)丟失了第三、第五階模態(tài)。本文方法確定的固有頻率和實(shí)測(cè)固有頻率最大相對(duì)誤差為4.3%，有限元法和實(shí)測(cè)得到的固有頻率最大相對(duì)誤差為8.3%。

綜上所述，可認(rèn)為本文方法確定的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)比有限元法更接近實(shí)測(cè)頻響函數(shù)。

此外，本文使用ANSYS13.0對(duì)磨床主軸左端點(diǎn)處的頻響函數(shù)(0～1000Hz，頻率間隔0.5Hz)進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算工作站使用Intel(R)Xeon(R)CPU，2個(gè)處理器(每個(gè)處理器具有6核)的主頻都是2.93GHz，內(nèi)存48GB，計(jì)算所用時(shí)間大約為4min。在相同的計(jì)算條件下，運(yùn)用本文方法計(jì)算磨床主軸左端點(diǎn)處的頻響函數(shù)耗時(shí)不到30s?？梢钥闯?，本文方法的計(jì)算效率較高。

另外，有限元法采用的是數(shù)值計(jì)算方法，為非解析方法，只能利用數(shù)值計(jì)算得到預(yù)測(cè)結(jié)果。本文方法推導(dǎo)了頻響函數(shù)的解析解，可在任意結(jié)構(gòu)參數(shù)下直接利用相關(guān)公式計(jì)算頻響函數(shù)，且計(jì)算簡(jiǎn)單，結(jié)構(gòu)參數(shù)易于修改，便于深孔內(nèi)圓磨床主軸的改進(jìn)設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)性能優(yōu)化。

4軸承剛度對(duì)主軸端點(diǎn)動(dòng)態(tài)特性的影響

軸承支撐作為主軸的重要邊界條件，其徑向剛度是影響磨床主軸端點(diǎn)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)鍵因素之一。基于本文方法建立的深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)模型可以方便地分析出軸承剛度對(duì)主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)的影響。由于軸承阻尼很小且不影響固有頻率，故本文只研究軸承剛度的變化對(duì)主軸端點(diǎn)動(dòng)態(tài)特性的影響。

4.1固定端軸承徑向剛度的影響

根據(jù)上文可知，深孔內(nèi)圓磨床主軸系統(tǒng)主要由固定端和浮動(dòng)端兩處軸承支撐，首先研究固定端軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)動(dòng)態(tài)特性的影響。保持浮動(dòng)端軸承的徑向剛度kyr=5.2×108N/m不變，固定端軸承徑向剛度分別在原剛度kyf=1.76×109N/m基礎(chǔ)上增加50%和減小50%，即取2.64×109N/m和8.8×108N/m，軸承徑向剛度變化前后預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)曲線如圖15所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖15　固定端軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)頻響影響

由圖15可知，在軸承徑向剛度增大50%時(shí)，系統(tǒng)前三階固有頻率分別增加了0、0.5%和0.7%。隨著模態(tài)階次的增加，軸承徑向剛度對(duì)固有頻率的影響逐漸增大；前三階固有頻率處的實(shí)部幅值分別減小10%、增加7%、增加7%，且隨著模態(tài)階次的增加，其實(shí)部幅值先減小后增大。第1階固有頻率處的實(shí)部幅值隨軸承徑向剛度的增加而明顯減小，因此提高固定端軸承的徑向剛度有利于提高機(jī)床的磨削穩(wěn)定性。當(dāng)軸承徑向剛度減小到原軸承徑向剛度的50%時(shí)，固有頻率及其實(shí)部幅值與剛度增大時(shí)的變化趨勢(shì)相反。

4.2浮動(dòng)端軸承徑向剛度的影響

保持固定端軸承徑向剛度kyf=1.76×109N/m不變，浮動(dòng)端軸承徑向剛度在原剛度kyr=5.2×108N/m基礎(chǔ)上分別增加50%和減小50%，即取7.8×108N/m和2.6×108N/m，軸承徑向剛度變化前后預(yù)測(cè)的頻響函數(shù)對(duì)比如圖16所示。

(a)實(shí)頻特性曲線

(b)虛頻特性曲線 圖16　浮動(dòng)端軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)頻響影響

由圖16可知，隨著主軸浮動(dòng)端軸承徑向剛度的增大，系統(tǒng)前三階固有頻率分別減小3%、3.5%和3%。相對(duì)固定端軸承，浮動(dòng)端軸承剛度對(duì)固有頻率的影響較大。第一階固有頻率處實(shí)部幅值減小5%，第二、第三階固有頻率處幅值基本沒(méi)有變化。因此，浮動(dòng)端軸承徑向剛度的增加會(huì)減小系統(tǒng)第一階固有頻率，不利于機(jī)床磨削穩(wěn)定性的提高。

5結(jié)論

(1)提出了一種基于RCSA的深孔內(nèi)圓磨床主軸端點(diǎn)頻響函數(shù)的預(yù)測(cè)新方法。該方法首先根據(jù)磨床主軸的結(jié)構(gòu)進(jìn)行子結(jié)構(gòu)劃分，并基于Timoshenko梁模型計(jì)算各子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)矩陣；然后使用結(jié)構(gòu)修改法引入軸承的剛度；最后將各子結(jié)構(gòu)進(jìn)行剛性耦合，得出主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)。

(2)以某深孔內(nèi)圓磨床為研究對(duì)象，基于本文方法、有限元法分別對(duì)主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果表明：本文方法得到的預(yù)測(cè)頻響函數(shù)曲線與實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線總體趨勢(shì)一致，與有限元法相比，本文方法更加接近實(shí)測(cè)頻響函數(shù)曲線，且可在任意結(jié)構(gòu)參數(shù)下直接利用公式得到頻響函數(shù)，計(jì)算更加簡(jiǎn)單快速。

(3)基于本文方法預(yù)測(cè)模型分析了軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)頻響特性的影響，分析結(jié)果表明：固定端軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)的固有頻率影響較小，對(duì)頻響函數(shù)的幅值影響較大；浮動(dòng)端軸承徑向剛度對(duì)主軸端點(diǎn)的固有頻率影響較大，對(duì)頻響函數(shù)的幅值影響較小。

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(編輯張洋)