基于卡爾曼濾波器的智能車(chē)過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化控制算法

孫濤1,2徐正進(jìn)1,2尤霖1,2黃序1鄭松林1,2張振東1,2孫躍東1

1.上海理工大學(xué)，上海，2000932.機(jī)械工業(yè)汽車(chē)底盤(pán)機(jī)械零部件強(qiáng)度與可靠性評(píng)價(jià)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海，200093

摘要：對(duì)最小過(guò)彎時(shí)間算法的研究是賽車(chē)單圈行駛時(shí)間優(yōu)化的關(guān)鍵問(wèn)題之一。在最優(yōu)控制理論的框架下，設(shè)計(jì)了一種基于Kalman濾波器的過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化控制算法。運(yùn)用Kalman濾波算法估計(jì)了車(chē)輛行駛狀態(tài)，通過(guò)控制算法調(diào)節(jié)輪胎轉(zhuǎn)角實(shí)現(xiàn)了過(guò)彎軌跡的優(yōu)化。最后，根據(jù)相似理論Buckingham Pi定理，運(yùn)用飛思卡爾智能模型車(chē)進(jìn)行試驗(yàn)。結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的優(yōu)化控制算法可有效縮短車(chē)輛過(guò)彎時(shí)間，驗(yàn)證了優(yōu)化算法的有效性。

關(guān)鍵詞：過(guò)彎時(shí)間；卡爾曼濾波；動(dòng)態(tài)相似；最優(yōu)控制

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391.9

收稿日期：2015-02-11

基金項(xiàng)目：上海市科研創(chuàng)新項(xiàng)目(12ZZ145)

作者簡(jiǎn)介：孫濤，男，1974年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院副教授。主要研究方向?yàn)槠?chē)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制。發(fā)表論文20余篇。徐正進(jìn)，男，1990年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。尤霖，男，1990年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院碩士研究生。黃序，男，1993年生。上海理工大學(xué)光電學(xué)院本科生。鄭松林，男，1958年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。張振東，男，1968年生。上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院教授。孫躍東，男，1965年生。上海理工大學(xué)副校長(zhǎng)、教授。

Cornering-time Optimal Algorithm for Intelligent Scaled Vehicle Based on Kalman Filter

Sun Tao1,2Xu Zhengjin1,2You Lin1,2Huang Xu1

Zheng Songlin1,2Zhang Zhendong1,2Sun Yuedong1

1.University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai，200093

2.Machinery Industry Key Laboratory for Mechanical Strength & Reliability

Evaluation of Auto Chassis Components，Shanghai，200093

Abstract:Vehicle optimal cornering-time is one of the most significant aspects in the field of lap time optimization. An optimal cornering-time algorithm was proposed herein based on the Kalman filter and optimal control theory. The Kalman algorithm was used to estimate the motion state of the vehicle，and the optimal trajectories were computed by the optimal control algorithm. A scaled vehicle with Freescale controller was developed subsequently according to the Buckingham Pi theorem based on dynamics similarity to validate the effectiveness of the control algorithm. The experimental results indicate that the scaled vehicle reduces the vehicle cornering-time effectively without sacrificing the vehicle stability.

Key words: cornering time；Kalman filtering；dynamic similarity；optimal control

0引言

當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)單圈時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題的研究主要集中在準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法和瞬態(tài)最優(yōu)方法。準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)法將車(chē)輛軌跡近似為平衡段的連接[1-3]，并假定汽車(chē)在每段上以恒定的車(chē)速和側(cè)向加速度行駛，結(jié)合輪胎模型，用剩余的輪胎力計(jì)算出縱向加速度。盡管這種方法比較有效，但是卻存在兩個(gè)明顯的不足：①對(duì)于給定的賽道需要計(jì)算出最大速度；②直接丟失瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)的重要信息，特別是在汽車(chē)的極限工況下。瞬態(tài)響應(yīng)法基于最優(yōu)控制技術(shù)，通過(guò)最大化或最小化目標(biāo)函數(shù)來(lái)解決單圈時(shí)間最優(yōu)化問(wèn)題，如固定時(shí)間下行駛距離最遠(yuǎn)[4]，在操作的過(guò)程中找到最高車(chē)速的時(shí)刻[5]和最小單圈時(shí)間[6-7]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)單圈時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題提出了幾種不同的優(yōu)化方法。文獻(xiàn)[6]以偏離軌跡中心線(xiàn)的距離為獨(dú)立變量，采用二次規(guī)劃方法求解非線(xiàn)性車(chē)輛路徑最優(yōu)曲線(xiàn)。文獻(xiàn)[7]把車(chē)輛時(shí)變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為空間系統(tǒng)，提出了最短單圈時(shí)間策略。文獻(xiàn)[8]應(yīng)用貝爾曼最優(yōu)化原理，提出了一種半解析方法來(lái)解決路徑優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[9]在半解析方法的基礎(chǔ)上搭建了半車(chē)模型，在車(chē)輛行駛中，根據(jù)前后輪胎力的變化，實(shí)時(shí)計(jì)算最優(yōu)控制輸入轉(zhuǎn)角，在保證路徑跟蹤的同時(shí)確保車(chē)輛行駛穩(wěn)定性。上述研究存在的共同問(wèn)題是，設(shè)計(jì)時(shí)偏重于理論上的分析，缺乏相應(yīng)的實(shí)車(chē)驗(yàn)證手段。

筆者提出一種固定時(shí)間內(nèi)最大化彎道內(nèi)行駛距離的過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化控制算法，通過(guò)建立被控車(chē)輛模型、非線(xiàn)性輪胎模型和單點(diǎn)預(yù)瞄駕駛員模型，利用最優(yōu)控制理論與Kalman濾波實(shí)現(xiàn)過(guò)彎時(shí)間的最小化，同時(shí)，保證了車(chē)輛過(guò)彎行駛的穩(wěn)定性。最后，通過(guò)飛思卡爾智能車(chē)模型對(duì)所設(shè)計(jì)的控制算法進(jìn)行驗(yàn)證。

1車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型建立

1.1非線(xiàn)性車(chē)輛模型

本文采用二自由度單軌車(chē)輛操縱動(dòng)力學(xué)模型，如圖1所示，該非線(xiàn)性模型的2個(gè)自由度分別為沿y軸的側(cè)向運(yùn)動(dòng)，繞z軸的橫擺運(yùn)動(dòng)。

圖1　車(chē)輛動(dòng)力學(xué)模型

車(chē)輛在道路上行駛的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

前后輪側(cè)偏角αf、αr分別為

(2)

式中，δ為前輪轉(zhuǎn)角。

1.2輪胎模型

為了表述輪胎特性，本文采用著名的“魔術(shù)公式”輪胎模型：

Fy=Dsin(Carctan(Bα-E(Bα-arctan(Bα))))

(3)

其中，F(xiàn)y為側(cè)向力；α為側(cè)偏角；D為輪胎側(cè)向力附著極限；C為曲線(xiàn)形狀系數(shù)；B為剛度系數(shù)；E為曲線(xiàn)峰值曲率。為了簡(jiǎn)化非線(xiàn)性輪胎力，這里把它近似為線(xiàn)性時(shí)變(lineartimevarying，LTV)模型。用泰勒公式在當(dāng)前時(shí)刻展開(kāi)，保留一階分量，舍去高階分量，則輪胎力可簡(jiǎn)化為

Fy=C(t)α+D(t)

(4)

式中，C(t)為隨時(shí)間變化的輪胎側(cè)偏剛度；D(t)為滑移率為零時(shí)的輪胎力。

1.3駕駛員模型

采用“預(yù)瞄—跟隨”駕駛員模型[10]，假設(shè)駕駛員的前視距離為d，對(duì)應(yīng)的前視時(shí)間T=d/vx，該處期望軌跡的橫向坐標(biāo)f(t+T)與車(chē)輛的橫向坐標(biāo)y(t+T)相一致。最優(yōu)側(cè)向加速度為

(5)

最優(yōu)曲率的公式為

(6)

駕駛員轉(zhuǎn)向盤(pán)角輸入為

(7)

式中，Kh為轉(zhuǎn)向角增益；τr為駕駛員反映延時(shí)；τh為駕駛員操作延時(shí)。

考慮反應(yīng)與執(zhí)行延時(shí)，駕駛員轉(zhuǎn)向盤(pán)轉(zhuǎn)角輸入整理為

(8)

其中，i為轉(zhuǎn)向系傳動(dòng)比；L為軸距。

2路徑優(yōu)化控制器

2.1路徑優(yōu)化

彎道中，車(chē)輛在一定的時(shí)間內(nèi)沿著參考路線(xiàn)行駛的距離越遠(yuǎn)，則可認(rèn)為在相同距離下的行駛時(shí)間越短。如圖2所示，以賽道中心線(xiàn)為參考線(xiàn)，在T時(shí)間內(nèi)，沿參考線(xiàn)行駛的距離為dsr，而這段時(shí)間內(nèi)汽車(chē)前進(jìn)距離為ds。

圖2　車(chē)輛在賽道上的幾何關(guān)系

根據(jù)圖2所示的幾何關(guān)系，通過(guò)車(chē)輛側(cè)向位移誤差Δy、方向角度誤差Δψ及轉(zhuǎn)角變化率dψr計(jì)算距離的增量：

Δs=dsr-ds=Δytan(dψr)-(1-cosΔψ)·

(9)

這里需要把Δy和Δψ線(xiàn)性化。根據(jù)對(duì)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的估計(jì)，可以得到賽道中心線(xiàn)和邊界的信息。

軌跡切線(xiàn)方向與X軸正向夾角：

γ=arctanΔy

(10)

則方向角度誤差Δψ定義為

Δψ=γ-ψ=arctanΔy-ψ≈vxψ+vy-ψ

(11)

側(cè)向位移誤差Δy定義為

Δy=vycosΔψ+vxsinΔψ

(12)

為了保持車(chē)輛在賽道內(nèi)，把邊界約束條件定義為

-(wr/2-w)≤Δy≤wr/2-w

(13)

式中，wr為賽道寬度；w為輪距的一半。

2.2控制器設(shè)計(jì)

(14)

控制目標(biāo)函數(shù)：

(15)

在條件Δy?rr下，可得

(16)

則可以得到

R=1，N=0

求解具有二次型目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)反饋，可以解黎卡提方程：

ATP+PA-(PB+N)R-1(BTP+NT)+Q=0

(17)

其中，A、B為狀態(tài)矩陣；Q、R、N為權(quán)矩陣；P為黎卡提方程的解，可以利用MATLAB工具中的“LQR”函數(shù)來(lái)求解。

求解式(17)，可以得到反饋增益矩陣KLQG，控制器輸出控制量為

δLQG=-KLQGΔx=-KLQG(x-x0)

(18)

式中，x0為理想行駛狀態(tài)，x0=[0 0ψ*Y*]T；Y*為車(chē)道與全局坐標(biāo)系X軸的側(cè)向距離；ψ*為車(chē)道切線(xiàn)方向與X軸正向的夾角。

3Kalman濾波器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)估計(jì)

Kalman濾波器基于車(chē)輛傳感器對(duì)當(dāng)前時(shí)刻測(cè)量的偏差實(shí)現(xiàn)對(duì)下一時(shí)刻狀態(tài)的準(zhǔn)確估計(jì)，計(jì)算過(guò)程包括時(shí)間更新和測(cè)量更新兩部分。時(shí)間更新方程推算當(dāng)前狀態(tài)變量和誤差協(xié)方差估計(jì)的值，測(cè)量更新方程負(fù)責(zé)反饋狀態(tài)變量。具體車(chē)輛狀態(tài)Kalman濾波估計(jì)器設(shè)計(jì)步驟如下：

(2)設(shè)定Kalman濾波估計(jì)器系數(shù)，測(cè)量噪聲協(xié)方差R=1；過(guò)程激勵(lì)噪聲協(xié)方差Q=1000I4；

(3)濾波估計(jì)器時(shí)間更新部分為

(4)濾波估計(jì)器測(cè)量更新部分為

駕駛員通過(guò)對(duì)環(huán)境與車(chē)輛行駛狀態(tài)的感知，給車(chē)輛一個(gè)控制轉(zhuǎn)角δLM。同時(shí)車(chē)上的傳感器對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行測(cè)量，基于測(cè)量值和駕駛員控制信號(hào)，利用Kalman濾波算法估計(jì)車(chē)輛狀態(tài)x，根據(jù)車(chē)輛行駛狀態(tài)估計(jì)值，應(yīng)用最優(yōu)控制理論得到一個(gè)附加控制轉(zhuǎn)角δLQG，最終得到的控制轉(zhuǎn)角即過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化轉(zhuǎn)角δ=δLM+δLQG。過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化系統(tǒng)如圖3所示。

圖3　路徑控制框圖

4比例模型車(chē)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制算法的有效性，根據(jù)相似理論Buckingham Pi原理，用飛思卡爾智能模型車(chē)進(jìn)行試驗(yàn)。

4.1動(dòng)力學(xué)等效性

根據(jù)量綱分析法，對(duì)于某一物理現(xiàn)象，如果兩個(gè)由微分方程描述的物理系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的量綱一項(xiàng)Π相等，那么兩個(gè)物理系統(tǒng)的微分方程具有相同的解。由測(cè)量得飛思卡爾智能模型車(chē)參數(shù)與實(shí)車(chē)的基本參數(shù)如表1所示，尺寸比例約為1∶10。

表1　未調(diào)整時(shí)模型車(chē)與某實(shí)車(chē)基本參數(shù)

將上述物理量組成量綱一項(xiàng)，可得

Π1Scale=a/L=0.39Π1Real=0.410

Π2Scale=b/L=0.61Π2Real=0.590

Π3Scale=Iz/(mL2)=0.248Π3Real=0.254

式中，ΠiScale、ΠiReal分別為智能模型車(chē)和實(shí)車(chē)的量綱一項(xiàng)，i=1，2，3。

根據(jù)表1中參數(shù)生成表2的量綱對(duì)照表。

表2　車(chē)輛基本參數(shù)量綱

在表2中以速度v為例，其量綱為m/s，所以長(zhǎng)度為1，時(shí)間為-1。由于模型車(chē)與實(shí)車(chē)的量綱一項(xiàng)存在一些偏差，故在模型車(chē)后方加一配重，調(diào)節(jié)質(zhì)心位置。調(diào)整后的參數(shù)如表3所示。

表3　調(diào)整后模型車(chē)與某實(shí)車(chē)基本參數(shù)

此時(shí)，模型車(chē)與實(shí)車(chē)量綱一項(xiàng)偏差較小，所以可認(rèn)為智能車(chē)模型與實(shí)車(chē)動(dòng)力學(xué)等效。

4.2試驗(yàn)結(jié)果

在開(kāi)闊平坦的地面上，鋪置賽道。記錄安裝在智能車(chē)模上的傳感器數(shù)據(jù)以及耗費(fèi)時(shí)間。圖4、圖5所示為智能模型車(chē)及其在賽道上的行駛情況。

圖4　智能模型車(chē)圖5　模型車(chē)行駛在賽道中

賽道由兩個(gè)相切的1/4圓弧組成的S彎和兩段直線(xiàn)賽道構(gòu)成。根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，在模型車(chē)車(chē)速為2m/s時(shí)，每隔1s記錄模型車(chē)模的位置，結(jié)果如圖6所示。

圖6　模型車(chē)2m/s過(guò)彎路徑

初始時(shí)刻，車(chē)輛在平直賽道上行駛，后進(jìn)入彎道，最后駛出彎道進(jìn)入平直賽道。結(jié)果顯示，智能模型車(chē)以2m/s進(jìn)入和離開(kāi)彎道時(shí)，都沿著賽道內(nèi)側(cè)行駛；S彎道中，以近似直線(xiàn)的軌跡通過(guò)，整個(gè)過(guò)程耗時(shí)20s；沒(méi)有優(yōu)化控制算法時(shí)，整個(gè)過(guò)程需要21.1s。

將模型車(chē)車(chē)速增加到3m/s，記錄其在賽道中的軌跡。這種情況下，控制器需要在賽道寬度范圍內(nèi)保證車(chē)輛順利通過(guò)彎道，如圖7所示，智能模型車(chē)在探測(cè)到前方即將到來(lái)的彎道時(shí)，控制器提前輸出轉(zhuǎn)向信號(hào)，控制車(chē)輛先向外側(cè)車(chē)道行駛，在兩個(gè)彎道的連接段，幾乎以一條直線(xiàn)軌跡通過(guò)，最后貼著彎道外側(cè)離開(kāi)S彎。

圖7　模型車(chē)3m/s過(guò)彎路徑

從圖8、圖9可以看出，在有控制的車(chē)輛中，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的超調(diào)量比沒(méi)有控制器時(shí)的小，整個(gè)過(guò)程耗時(shí)約13.3s，無(wú)控制器的車(chē)輛需要14.2s。

(a)橫擺角速度

(b)側(cè)向速度 圖8　高速過(guò)彎時(shí)的橫擺角速度和側(cè)向速度

(a)前輪轉(zhuǎn)角

(b)質(zhì)心側(cè)偏角 圖9　高速過(guò)彎時(shí)前輪轉(zhuǎn)角和質(zhì)心側(cè)偏角

5結(jié)論

(1)試驗(yàn)中，駕駛員模型的加入可為控制算法的有效性提供參照作用。

(2)根據(jù)相似理論設(shè)計(jì)的模型車(chē)對(duì)控制算法進(jìn)行了驗(yàn)證，可認(rèn)為在實(shí)車(chē)上控制算法的效果是等效的。

(3)所設(shè)計(jì)的過(guò)彎時(shí)間優(yōu)化控制算法，可在不同車(chē)速下分別做出相應(yīng)的優(yōu)化轉(zhuǎn)向動(dòng)作，提高了橫擺角速度和質(zhì)心側(cè)偏角的跟蹤精度，在保證車(chē)輛行駛穩(wěn)定性的前提下，有效縮短了車(chē)輛過(guò)彎的時(shí)間。

參考文獻(xiàn)：

[1]MillikenWF,MillikenDL.RaceCarVehicleDynamics[M].Warrendale：SocietyofAutomotiveEngineers, 1995.

[2]BrayshawDL,HarrisonMF.AQuasiSteadyStateApproachtoRaceCarLapSimulationinOrdertoUnderstandtheEffectsofRacingLineandCentreofGravityLocation[J].ProceedingsoftheInstitutionofMechanicalEngineers,PartD:JournalofAutomobileEngineering, 2005, 219(6): 725-739.

[3]V?lklT,MuehlmeierM,WinnerH.ExtendedSteadyStateLapTimeSimulationforAnalyzingTransientVehicleBehavior[J].Int.J.Passeng.Cars-Mech.Syst.,2013,6(1):283-292.

[4]KellyDP.LapTimeSimulationwithTransientVehicleandTyreDynamics[D].Cranfield：CranfieldUniversity, 2008.

[5]VelenisE,TsiotrasP.MinimumTimevsMaximumExitVelocityPathOptimizationduringCornering[C]//2005IEEEInternationalSymposiumonIndustrialElectronics.Dubrovnik,Croatia:IEEE, 2005: 355-360.

[6]TimingsJP,ColeDJ.MinimumManoeuvreTimeofaNonlinearVehicleatConstantForwardSpeedUsingConvexOptimization[C]//Proceedingsofthe10thInternationalSymposiumonAdvancedVehicleControl.Loughborough,UK, 2010:21-26.

[7]RuccoA,NotarstefanoG,HauserJ.ComputingMinimumLap-timeTrajectoriesforaSingle-trackCarwithLoadTransfer[C]//2012IEEE51stAnnualConferenceonDecisionandControl.Maui,Hawaii,USA:IEEE, 2012: 6321-6326.

[8]VelenisE,TsiotrasP.OptimalVelocityProfileGenerationforGivenAccelerationLimits:TheoreticalAnalysis[C]//AmericanControlConference.Portland,OR,USA, 2005:1478-1483.

[9]VelenisE,TsiotrasP.OptimalVelocityProfileGenerationforGivenAccelerationLimits;theHalf-carModelCase[C]//2005IEEEInternationalSymposiumonIndustrialElectronics.Dubrovnik,Croatia:IEEE, 2005: 361-366.

[10]丁海濤, 郭孔輝, 李飛, 等. 基于加速度反饋的任意道路和車(chē)速跟隨控制駕駛員模型[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào), 2010, 46(10): 116-120.

DingHaitao,GuoKonghui,LiFei,etal.ArbitraryPathandSpeedFollowingDriverModelBasedonVehicleAccelerationFeedback[J].JournalofMechanicalEngineering, 2010, 46(10):116-120.

(編輯張洋)