一種具有可拓展性解空間的平面桿組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方法

朱立紅張良趙韓趙萍

合肥工業(yè)大學(xué)，合肥，230009

摘要：基于克利福德代數(shù)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)映射理論，提出了一種新的具有可拓展性解空間的平面桿組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方法。針對(duì)無(wú)精確解或數(shù)學(xué)意義上的最優(yōu)近似解不能滿(mǎn)足實(shí)際需求的情況，該方法可以根據(jù)需要來(lái)擴(kuò)大擬合誤差容許范圍，進(jìn)一步拓展解空間，從而獲得更多近似解。之后，從中選取最優(yōu)的二桿組來(lái)組成四桿機(jī)構(gòu)或并聯(lián)機(jī)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)給定的運(yùn)動(dòng)位姿。

關(guān)鍵詞：機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合；可拓展誤差空間；平面桿組；運(yùn)動(dòng)學(xué)映射

中圖分類(lèi)號(hào)：TG156

收稿日期：2014-12-19

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405128)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2014HGCH0015)

作者簡(jiǎn)介：朱立紅，女，1974年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院講師。主要研究方向?yàn)閿?shù)字化設(shè)計(jì)技術(shù)、人機(jī)工程學(xué)。發(fā)表論文10余篇。張良，男，1973年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院講師。趙韓，男，1957年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。趙萍(通信作者)，女，1987年生。合肥工業(yè)大學(xué)機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院副研究員。

A Novel Motion Synthesis Approach with Enlargeable Error Space Allowance for Planar Linkages

Zhu LihongZhang LiangZhao HanZhao Ping

Hefei University of Technology，Hefei，230009

Abstract：Using kinematic mapping theory in Clifford algebra, a new motion synthesis approach with enlargeable error space for planar linkages was proposed herein. This paper mainly focused on the situation when the given task yielded no exact solutions or the practical requirements that could not be realized by the mathematical optimal approximated solutions. By increasing error tolerance, the error space could be enlarged according to the requirements, thus more choices of approximated solutions could be introduced. After that, the optimal dyads may be selected to form a four-bar linkage or planar parallel linkages so as to realize the given task motion.

Key words：mechanism motion synthesis; enlargeable error space; planar linkage; kinematic mapping

0引言

平面桿件機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合是根據(jù)給定位置、軌跡或函數(shù)來(lái)確定平面桿件機(jī)構(gòu)的類(lèi)型和尺寸。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在連桿機(jī)構(gòu)的分析與綜合理論研究方面已經(jīng)取得了不少成果。Mruthyunjaya[1]對(duì)機(jī)構(gòu)型綜合方法進(jìn)行了總結(jié)，給出了二副桿件的空間變換形式和三副桿件的不同幾何構(gòu)型，提出了用簡(jiǎn)單構(gòu)件替代現(xiàn)有構(gòu)件來(lái)降低機(jī)構(gòu)復(fù)雜度的方法。Freudenstein等[2]采用圖論研究平面機(jī)構(gòu)的拓?fù)渚C合問(wèn)題。Erdman等[3]針對(duì)平面四桿機(jī)構(gòu)的閉環(huán)向量方程組的求解，給出了系統(tǒng)的方法。Bottema等[4]用運(yùn)動(dòng)學(xué)映射的方法來(lái)解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。Su等[5]提出了基于曲線/曲面公式的方法，將機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式系統(tǒng)的求解問(wèn)題，并利用homotopy算法獲取了最優(yōu)解。黃茂林等[6]將機(jī)構(gòu)分析過(guò)程與機(jī)構(gòu)綜合過(guò)程有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，建立了四邊形和五邊形環(huán)路方程，給出了對(duì)應(yīng)的求解方法，解決了平面高級(jí)機(jī)構(gòu)函數(shù)發(fā)生器的綜合問(wèn)題。藍(lán)兆輝等[7]提出了基于軌跡局部特性的機(jī)構(gòu)軌跡精確實(shí)現(xiàn)方法，提高了軌跡機(jī)構(gòu)求解精度和設(shè)計(jì)速度。王知行等[8]提出了基于計(jì)算機(jī)技術(shù)的平面四桿機(jī)構(gòu)綜合的數(shù)值比較法，提出了四桿機(jī)構(gòu)的函數(shù)綜合、軌跡綜合和引導(dǎo)綜合的轉(zhuǎn)化方法，據(jù)此得到機(jī)構(gòu)綜合的基礎(chǔ)解和優(yōu)化后的滿(mǎn)意解。周洪等[9]將機(jī)架方向結(jié)構(gòu)誤差的概念引入到曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化綜合模型之中，解決了在生成曲線和理想曲線之間選擇對(duì)應(yīng)比較點(diǎn)的困難。褚金奎等[10]主要利用傅里葉變換的方法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡與姿態(tài)的綜合。黃真等[11]致力于研究基于螺旋理論的末端瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)約束法，利用運(yùn)動(dòng)螺旋、約束螺旋、螺旋系統(tǒng)線性相關(guān)等概念來(lái)研究并聯(lián)機(jī)構(gòu)與空間機(jī)構(gòu)的構(gòu)型與尺度綜合。文獻(xiàn)[12-13]提出了平面曲線擬合的自適應(yīng)方法，把機(jī)構(gòu)綜合問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線自適應(yīng)擬合問(wèn)題，給出了平面近似圓點(diǎn)，建立了平面機(jī)構(gòu)綜合的模型和自適應(yīng)方法，在理論上闡明了平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合問(wèn)題存在最優(yōu)近似解。Gao等[14]利用集合論方法，提出并聯(lián)機(jī)器人末端特征的GF(generalized function) 集的概念和定義，創(chuàng)立了并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的拓?fù)湓O(shè)計(jì)系統(tǒng)理論體系。戴建生等[15]將矩陣演算應(yīng)用于變胞機(jī)構(gòu)中描述其機(jī)構(gòu)變化，預(yù)測(cè)機(jī)構(gòu)的新構(gòu)態(tài)。

根據(jù)經(jīng)典Burmester理論，對(duì)于平面桿件機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合，當(dāng)給定連桿運(yùn)動(dòng)平面的2～5個(gè)位置時(shí)，可以精確求解；當(dāng)給定連桿運(yùn)動(dòng)平面5個(gè)以上的位置，或要求連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)符合某種連續(xù)平面運(yùn)動(dòng)函數(shù)，或要求運(yùn)動(dòng)平面中的點(diǎn)按某運(yùn)動(dòng)軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，只能得到近似解。在當(dāng)前的各種運(yùn)動(dòng)綜合數(shù)學(xué)理論方法體系里，建立數(shù)學(xué)模型后，一般均可以得到數(shù)學(xué)意義上的最優(yōu)解或精確解。但是很多情況下，這個(gè)數(shù)學(xué)意義上的最優(yōu)解(具有最小的數(shù)學(xué)誤差)不能滿(mǎn)足實(shí)際要求，如鉸鏈的位置不合適、某些桿件過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短等。針對(duì)上述問(wèn)題，設(shè)計(jì)者需要拓展實(shí)際機(jī)構(gòu)允許的誤差空間，在更大誤差的范圍內(nèi)尋找合適的拓展解來(lái)近似實(shí)現(xiàn)給定的運(yùn)動(dòng)。本文運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)映射的方法來(lái)解決這一機(jī)構(gòu)綜合難題。

1數(shù)學(xué)模型的建立

在基于運(yùn)動(dòng)學(xué)映射的平面剛體運(yùn)動(dòng)分析法中[4，16]，平面的剛體運(yùn)動(dòng)可以看成由剛體上的一個(gè)點(diǎn)(d1，d2)的平動(dòng)和繞該點(diǎn)作旋轉(zhuǎn)角度為φ的轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分組成。用M表示剛體上的某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)所確定運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Mxy，F(xiàn)表示剛體所在的固定坐標(biāo)系OXY，如圖1所示。則動(dòng)坐標(biāo)系與固定坐標(biāo)系之間的關(guān)系為

[XY1]T=H[xy1]T

(1)

圖1　平面剛體運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系

用Z=(Z1,Z2,Z3,Z4)來(lái)定義一個(gè)在四維空間中的點(diǎn)坐標(biāo)，該四維空間被稱(chēng)為平面運(yùn)動(dòng)的映射空間。令

(2)

該映射將運(yùn)動(dòng)平面中的位姿轉(zhuǎn)換為四維空間中的點(diǎn)。相應(yīng)的，映射空間中的曲線可以表示單自由度運(yùn)動(dòng)，而曲面可以表示二自由度運(yùn)動(dòng)[17]。

2映射空間中的曲面擬合

我們?cè)谇捌诠ぷ髦邪l(fā)現(xiàn)，一個(gè)平面位姿如果可以由RR二桿組、PR二桿組或RP二桿組實(shí)現(xiàn)[17-18]，則該位姿轉(zhuǎn)換成的映射空間點(diǎn)Z必然滿(mǎn)足下列二次方程：

p3(Z2Z3+Z1Z4)+p4(Z1Z3+Z2Z4)+

p5(Z2Z3-Z1Z4)+p6Z3Z4+

(3)

該方程的參數(shù)pi(i=1，2，…，8)必須滿(mǎn)足以下2個(gè)附加條件：

(4)

因此針對(duì)二桿組的運(yùn)動(dòng)綜合問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為二次曲面的代數(shù)擬合問(wèn)題，可以由一個(gè)過(guò)約束的線性方程組Ap=0來(lái)表示，即

(5)

(6)

該線性擬合問(wèn)題包含2個(gè)二次約束條件，求解分為2個(gè)步驟：

步驟1：在最小二乘法意義上，針對(duì)N個(gè)線性方程擬合問(wèn)題求取最優(yōu)一般解空間，得到p，然后從一般解空間中尋找滿(mǎn)足2個(gè)二次附加約束條件(式(4))的最優(yōu)特定解。利用奇異值分解算法可以容易解決線性方程組的最小二乘法最優(yōu)擬合問(wèn)題。線性方程組Ap=0等價(jià)于pATAp=0，其過(guò)約束問(wèn)題等價(jià)于求矩陣ATA的特征向量V。求出的8個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值可以反映各特征向量對(duì)應(yīng)的最小二乘法擬合誤差。設(shè)矩陣ATA相應(yīng)排列的特征向量為v1，v2，…，也就是構(gòu)成一般解空間的基向量。設(shè)α、β、γ、δ等為若干待定實(shí)系數(shù)，則一般解空間為

p=αv1+βv2+γv3+δv4+…

(7)

將8個(gè)特征值按照從小到大順序排列，從小到大取出i(i=1,2,…,8)個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的i個(gè)特征向量，從而構(gòu)成i維度的最優(yōu)一般解空間。

步驟2：在最優(yōu)解空間p中尋找能夠滿(mǎn)足式(4)的特定最優(yōu)解。若要使齊次方程(式(4))有解，則p至少要包含3個(gè)待定系數(shù)，故所組成的最優(yōu)一般解空間的維度至少為3，即

p=αv1+βv2+γv3

(8)

為了從該三維最優(yōu)一般解空間中找到能滿(mǎn)足式(4)的最優(yōu)特定解，將p代入式(4)，得到關(guān)于(α，β，γ)的2個(gè)齊次方程：

(9)

其中，Kij由特征值分解算法得到的3個(gè)特征向量中的元素決定。這2個(gè)齊次三元二次方程可以整理為1個(gè)一元四次方程，繼而直接根據(jù)求根公式求得解析解。因?yàn)樵撘辉拇畏匠炭赡艽嬖?個(gè)實(shí)根、2個(gè)實(shí)根或沒(méi)有實(shí)根的情況，則系數(shù)向量p對(duì)應(yīng)的可能有4個(gè)解、2個(gè)解或沒(méi)有最優(yōu)特定解。

此外，通過(guò)觀察最優(yōu)特定解p的情況，可以確定二桿組的運(yùn)動(dòng)副類(lèi)型：①如果p1=p2=…=p5=0，系數(shù)向量p就代表PP型二桿組；②如果p1=p2=p3=0，系數(shù)向量p代表PR型二桿組；③如果p1=p4=p5=0，系數(shù)向量p代表RP型二桿組；④否則，系數(shù)向量p代表RR型二桿組。

針對(duì)最常見(jiàn)的RR、PR、RP平面二桿組，通過(guò)以上步驟確定了運(yùn)動(dòng)副類(lèi)型之后，可以利用系數(shù)向量解p的8個(gè)元素(p1～p8)的具體數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)一步確定二桿組的具體參數(shù)：

2.1RR型二桿組

RR型二桿組(圖2a)表示的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束為動(dòng)坐標(biāo)系中一個(gè)特定點(diǎn)(x，y)始終落在固定坐標(biāo)系中的一個(gè)圓上，該圓的方程為

a0(X2+Y2)+2a1X+2a2Y+a3=0

(10)

利用所求得的系數(shù)向量p來(lái)確定該圓的方程，該圓的方程的系數(shù)關(guān)系可以表示為

a0∶a1∶a2∶a3=

(11)

動(dòng)坐標(biāo)系上這個(gè)特定點(diǎn)(x，y)也可以通過(guò)p求得：

(12)

2.2PR型二桿組

PR型二桿組(圖2b)代表的約束是動(dòng)坐標(biāo)系中特定點(diǎn)(x，y)始終落在固定坐標(biāo)系中一條直線上。由于直線與圓的耦合性，當(dāng)p1=p2=p3=0即a0=0時(shí)，RR型二桿組的圓方程將降階為直線方程：

2a1X+2a2Y+a3=0

(13)

因此PR型二桿組實(shí)際上是RR型二桿組的一種特殊形式。

2.3RP型二桿組

RP型二桿組(圖2c)代表的約束為動(dòng)坐標(biāo)系中一條特定直線l1x+l2y+l3=0始終與固定坐標(biāo)系中一個(gè)特定圓相切(等價(jià)于始終穿過(guò)固定坐標(biāo)系中的一個(gè)特定點(diǎn))，(l1，l2，l3)為動(dòng)坐標(biāo)系M上直線的齊次線坐標(biāo)，該直線總是通過(guò)固定坐標(biāo)系F上的特定點(diǎn)(-a1，-a2，a3)。

(a)RR二桿組　　　(b)PR二桿組(c)RP二桿組 圖2　平面二桿組的類(lèi)型

同樣地，利用系數(shù)向量p來(lái)確定該動(dòng)直線方程的系數(shù)(l1，l2，l3)與其穿過(guò)的點(diǎn)坐標(biāo)(-a1，-a2，a3) 的系數(shù)之間的比值關(guān)系：

(14)

3平面桿組機(jī)構(gòu)解空間的拓展

根據(jù)經(jīng)典Burmester理論，求解通過(guò)某5個(gè)位姿的二桿組，理論上可以找到最多4個(gè)二桿組符合條件，即求出的二桿組都可以精確地通過(guò)該5個(gè)位姿，這些二桿組為精確解；當(dāng)位姿數(shù)目超過(guò)5時(shí)，一般不存在精確解，只存在近似解。設(shè)計(jì)者可以通過(guò)數(shù)值方法找到若干個(gè)最優(yōu)二桿組，使給定的位姿獲得近似實(shí)現(xiàn)，這也是大多數(shù)現(xiàn)有的桿組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合理論的求解思路。但是這種求解思路可能存在許多問(wèn)題：①在很多情況下，即使給定的位姿數(shù)目為5時(shí)也無(wú)法求出精確解，即不存在任何能夠精確實(shí)現(xiàn)給定的5個(gè)位姿的二桿組；②在給定數(shù)學(xué)誤差范圍內(nèi)(例如要求擬合誤差小于0.005)，很多情況下設(shè)計(jì)者無(wú)法得到任何實(shí)數(shù)解；③在很多實(shí)際機(jī)構(gòu)綜合應(yīng)用實(shí)例中，利用數(shù)學(xué)方法求得的具有“最小數(shù)學(xué)誤差”的解其實(shí)并不能滿(mǎn)足實(shí)際要求，如鉸鏈的位置不合適、某些桿件過(guò)長(zhǎng)或過(guò)短等。

以上這些機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合過(guò)程中存在的問(wèn)題都可能要求設(shè)計(jì)者在數(shù)學(xué)意義上“退而求其次”，降低對(duì)誤差的數(shù)學(xué)要求，在更大誤差的范圍內(nèi)尋找合適的“拓展解”，從而使得給定的位姿得到較好的實(shí)現(xiàn)。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)解空間的拓展，本文對(duì)線性方程組Ap=0的擬合問(wèn)題進(jìn)行了研究。由于矩陣ATA的8個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)的特征值可以反映各特征向量對(duì)應(yīng)的擬合誤差大小，所以若我們將特征值從大到小排列，并取最小的3個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的3個(gè)特征向量來(lái)構(gòu)建“最優(yōu)一般解空間”。之后，若將該特征向量代入式(4)無(wú)法求出實(shí)數(shù)解或所求的最優(yōu)特定解不能滿(mǎn)足實(shí)際要求時(shí)，設(shè)計(jì)者可以擴(kuò)大誤差容許范圍，將第4個(gè)最小的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量也引入一般解空間，構(gòu)建四維最優(yōu)一般解空間，進(jìn)一步求取能夠滿(mǎn)足條件的拓展解。

取方程的最小的4個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的4個(gè)特征向量vα、vβ、vγ和vδ構(gòu)成解空間的基向量。設(shè)α、β、γ、δ為4個(gè)實(shí)參數(shù)，則解空間中任意向量可以表示為

p=αvα+βvβ+γvγ+δvδ

(15)

由于p必須滿(mǎn)足2個(gè)附加條件(式(4))，將p代入式(4)，得到關(guān)于(α，β，γ，δ)的2個(gè)齊次二次方程：

(16)

其中，Kij由Zi(i=1，2，…，N)得到。因此，齊次參數(shù)(α，β，γ，δ)有無(wú)窮多個(gè)解可供選取。此時(shí)可以根據(jù)需要增加另外一個(gè)約束，例如給定RR型二桿組的固定鉸鏈中心的位置或中心圓圓心(動(dòng)鉸鏈中心)的位置等[18]，來(lái)進(jìn)一步確定有限數(shù)目的解。

4應(yīng)用實(shí)例

為了進(jìn)一步闡述本文提出的基于運(yùn)動(dòng)學(xué)映射的可拓展性運(yùn)動(dòng)綜合方法，本節(jié)將通過(guò)應(yīng)用實(shí)例來(lái)詳細(xì)說(shuō)明進(jìn)行運(yùn)動(dòng)綜合的過(guò)程與步驟。擬設(shè)計(jì)一個(gè)康復(fù)輔助機(jī)構(gòu)，用于幫助人體完成由坐姿到立姿的動(dòng)作，欲實(shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)為正常人從坐姿到立姿過(guò)程中腰部運(yùn)動(dòng)軌跡的5個(gè)采樣姿態(tài)，如圖3所示，A、B為人體腰部的2個(gè)標(biāo)記點(diǎn)。此 5個(gè)位姿在照片中測(cè)量的具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表1，縮放比例為1∶5。這些數(shù)據(jù)來(lái)自于我們對(duì)不同體型正常人從坐姿到站立過(guò)程的多次重復(fù)采樣建立的數(shù)據(jù)庫(kù)。從數(shù)據(jù)庫(kù)中選取與該病人體型最為接近的1組數(shù)據(jù)中的5個(gè)位姿，其中，(X，Y)為動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)位置，θ為動(dòng)坐標(biāo)系x軸與固定坐標(biāo)系之間夾角。

圖3　坐姿到站立過(guò)程中腰部運(yùn)動(dòng) 5個(gè)采樣姿態(tài)(比例1∶5)

位姿1位姿2位姿3位姿4位姿5X(cm)-6.41-2.85-0.410.9Y(cm)-9.8-9.5-6.36.38.6θ(°)-30-5000

根據(jù)第3節(jié)所述流程，首先根據(jù)式(6)構(gòu)建矩陣A，之后對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解變換。由前期工作[17-18]可知，對(duì)矩陣進(jìn)行奇異值分解變換的過(guò)程即為對(duì)Ap=0進(jìn)行最小二乘法擬合求解的過(guò)程。矩陣ATA有8個(gè)特征值，按照從大到小排序后，其中最小的3個(gè)特征值為0，如表2所示。

表2　矩陣A TA的8個(gè)特征值

由于至少需要3個(gè)特征向量才能保證式(3)有解，而特征值可以反映最小二乘法擬合誤差，故理論上應(yīng)取3個(gè)0特征值對(duì)應(yīng)的特征向量來(lái)求解齊次三元二次方程組(式(9))，此時(shí)該齊次三元二次方程組有精確解，即所求得的機(jī)構(gòu)可以精確實(shí)現(xiàn)要求的5個(gè)位姿，這與經(jīng)典的Burmester理論相吻合。但二元二次方程組在一些情況下將會(huì)無(wú)實(shí)數(shù)解，即在一些情況下不存在任何能夠精確實(shí)現(xiàn)給定5個(gè)位姿的二桿組。例如在上述康復(fù)輔助機(jī)構(gòu)的實(shí)例中，利用包括Burmester理論在內(nèi)的現(xiàn)有傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)綜合理論均無(wú)法找到精確通過(guò)5個(gè)采樣位姿(表1)的二桿組。在此，我們利用本文提出的可拓展性運(yùn)動(dòng)綜合理論，適度擴(kuò)大誤差空間，將最小的非零特征值0.0107所對(duì)應(yīng)的特征向量也包含進(jìn)來(lái)，在四維特征向量空間中求解能夠?qū)崿F(xiàn)給定位姿的二桿組。

4個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)特征值不全為0(最大的特征值為0.0107)，這說(shuō)明在無(wú)法精確實(shí)現(xiàn)給定位姿的前提下，我們將擬合誤差范圍擴(kuò)大至0.0107，在拓展后的誤差空間內(nèi)求取近似解。將此4個(gè)特征向量代入式(4)，得到1個(gè)三元二次方程組，該方程組存在無(wú)窮多解，利用文獻(xiàn)[18]的方法，根據(jù)實(shí)際工作情況(康復(fù)機(jī)構(gòu)所處的工作空間)添加一個(gè)額外約束條件：令固定鉸鏈的位置在X=-6豎直線上，該豎直線為工作空間現(xiàn)有的固定機(jī)架。如此將求得3個(gè)二桿組解，見(jiàn)表3。綜合考慮實(shí)際情況，我們選取第二組和第三組解，組成一個(gè)鉸鏈曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)的實(shí)際產(chǎn)生位姿軌跡與給定的5個(gè)位姿見(jiàn)圖4，可以看出，即使在擴(kuò)大擬合誤差范圍后，本方法求得的近似解依然可以較好地實(shí)現(xiàn)給定運(yùn)動(dòng)位姿。

表3擴(kuò)展誤差空間加入額外約束后的近似解

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5結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種新的平面桿組機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合方法，該方法可以根據(jù)實(shí)際需要對(duì)運(yùn)動(dòng)綜合的最優(yōu)一般解空間進(jìn)行拓展。針對(duì)精確解不存在或數(shù)學(xué)意義上的有限最優(yōu)解不能滿(mǎn)足實(shí)際需求的情況，該方法通過(guò)引入更多特征向量，擴(kuò)大擬合誤差容許范圍的方法來(lái)進(jìn)一步拓展最優(yōu)一般解空間，從而獲得更多近似解?？梢愿鶕?jù)實(shí)際需要從中選取最優(yōu)的二桿組來(lái)組成四桿機(jī)構(gòu)或并聯(lián)機(jī)構(gòu)，使給定的運(yùn)動(dòng)位姿得到實(shí)現(xiàn)。最后借助一個(gè)五位姿運(yùn)動(dòng)綜合的實(shí)例，闡述了當(dāng)無(wú)法利用Burmester理論得到誤差為0的精確解時(shí)，將數(shù)學(xué)誤差范圍擴(kuò)大到0.0107，從而拓展了解空間，在0.0107的誤差范圍內(nèi)求取到較為合適的二桿組解。本文所提方法可使機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)綜合理論在實(shí)際設(shè)計(jì)過(guò)程中得到更好的應(yīng)用。

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(編輯張洋)