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        靈活選用 簡(jiǎn)捷解題

        2015-12-28 16:11:04李君
        初中生世界·八年級(jí) 2015年12期
        關(guān)鍵詞:列方程直角勾股定理

        李君

        蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第97頁(yè)中有這樣一道題:

        在△ABC中,∠C=90°.

        (1) 已知AC=5,BC=12,求AB;

        (2) 已知AC=2,BC=3,求AB;

        (3) 已知AB=25,AC=24,求AC.

        本題是勾股定理的應(yīng)用,即可以直接應(yīng)用勾股定理的表達(dá)式a2+b2=c2來(lái)解決,但在上述解題過(guò)程中,我們應(yīng)用了它的變式:c= ,b= .很明顯,這樣的解題過(guò)程更簡(jiǎn)捷.因此,我們?cè)诮忸}時(shí),要注意根據(jù)題目的具體特點(diǎn)來(lái)選擇勾股定理的表達(dá)式及其變式,以優(yōu)化解題過(guò)程.下面舉例說(shuō)明.

        例1 ? 如圖1,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上,若以點(diǎn)A為圓心,對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于M,則點(diǎn)M表示的數(shù)是( ? ? ?).

        【點(diǎn)評(píng)】這是在數(shù)軸上尋找表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn),說(shuō)明數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

        例2 ? 在Rt△ABC中,已知兩邊長(zhǎng)分別是5和12,則其周長(zhǎng)為_(kāi)_______.

        【分析】5和12可以是直角邊,也可以是一條斜邊和一條直角邊,分兩種情況用勾股定理表達(dá)式的變式求解較簡(jiǎn)捷.

        解:當(dāng)5和12為直角邊時(shí),由勾股定理表達(dá)式的變式可知,斜邊為 =13,此時(shí)Rt△ABC的周長(zhǎng)為5+12+13=30;當(dāng)12為斜邊時(shí),5為直角邊,則由勾股定理表達(dá)式的變式可知,另一條直角邊為 ,此時(shí)Rt△ABC的周長(zhǎng)為5+12+ .綜上,周長(zhǎng)為30或17+ .

        【點(diǎn)評(píng)】已知直角三角形兩邊長(zhǎng)求第三邊,要注意分兩種情況思考:一是這兩邊為直角邊,二是這兩邊中較大邊為斜邊,較小邊為直角邊,要謹(jǐn)防漏解.

        例3 ? (2015·江蘇泰州)如圖2,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點(diǎn),將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點(diǎn)O,且OE=OD,則AP的長(zhǎng)為_(kāi)______.

        【分析】設(shè)BE交CD于點(diǎn)G,由折疊的性質(zhì)可知EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,由ASA可證明△ODP≌△OEG,得出OP=OG,PD=GE,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,求出CG、BG,再由勾股定理的表達(dá)式列方程求解較簡(jiǎn)捷.

        解:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8,根據(jù)題意得△ABP≌△EBP,∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,又△ODP≌△OEG(ASA),∴OP=OG,PD=GE,∴DG=EP,設(shè)AP=EP=x,則PD=GE=6-x,DG=x,∴CG=8-x,BG=8-(6-x)=2+x,根據(jù)勾股定理得:BC2+CG2=BG2,即62+(8-x)2=(x+2)2,解得:x=4.8,∴AP=4.8.

        【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握翻折變換和矩形(長(zhǎng)方形)的性質(zhì),借助AP=x,并用x表示出其他未知量,再利用勾股定理列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

        (作者單位:江蘇省興化市楚水初級(jí)中學(xué))

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