付亮，馬亞磊，蔡遠(yuǎn)利

(西安交通大學(xué) 控制工程研究所，陜西 西安710049)

0 引言

高超聲速飛行器飛行高度高、速度快和突防能力強(qiáng)的特點(diǎn)，使其具有巨大的軍事價(jià)值和經(jīng)濟(jì)價(jià)值，成為航空航天領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。高超聲速飛行器的氣動(dòng)特性和飛行動(dòng)力學(xué)特性變化劇烈，參數(shù)存在較強(qiáng)的不確定性，迎角和舵偏等受到嚴(yán)格的約束條件限制［1-2］，使其成為學(xué)術(shù)研究的難點(diǎn)。

近年來，一些先進(jìn)的控制算法被用于高超聲速飛行器的控制器設(shè)計(jì)中，如魯棒控制［3］、模型參考控制［4］和自適應(yīng)控制［5］等。這些算法無法顯式處理約束條件，只能通過調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)或者調(diào)節(jié)參考軌跡的變化速率來保證狀態(tài)和控制在給定約束條件內(nèi)，但是，這是以犧牲部分控制性能為代價(jià)的。針對(duì)上述問題，文獻(xiàn)［6-7］提出將預(yù)測控制方法應(yīng)用于高超聲速飛行器，該方法可以在設(shè)計(jì)控制器時(shí)即考慮控制和狀態(tài)的約束，是非常有效的處理多變量、受約束系統(tǒng)的控制方法。但是由于其需要在每一步進(jìn)行在線優(yōu)化計(jì)算，在線計(jì)算時(shí)間較長，無法滿足高超聲速飛行器控制的實(shí)時(shí)性要求。針對(duì)在線魯棒預(yù)測控制的計(jì)算時(shí)間問題，文獻(xiàn)［8］提出離線魯棒預(yù)測控制算法，把在線優(yōu)化轉(zhuǎn)化為離線優(yōu)化，極大地減少了計(jì)算時(shí)間;但是其在設(shè)計(jì)控制律時(shí)是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行整體設(shè)計(jì)的，忽略了各個(gè)因素對(duì)控制的影響程度，導(dǎo)致系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間較長。

本文考慮各個(gè)因素對(duì)控制的影響程度，提出了單因素融合預(yù)測控制方法，并將其應(yīng)用于高超聲速飛行器的控制器設(shè)計(jì)中。首先在平衡點(diǎn)將高超聲速飛行器的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行小擾動(dòng)線性化得到預(yù)測模型;然后，給定一系列離散的單因素狀態(tài)，離線設(shè)計(jì)單因素橢圓不變集序列和相應(yīng)的控制量序列，在線時(shí)將離線獲得的單因素控制量序列進(jìn)行融合獲得最終控制規(guī)則，作用到高超聲速飛行器(非線性模型)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了方法的有效性。

1 問題描述

高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)可以分解為縱向運(yùn)動(dòng)和側(cè)向運(yùn)動(dòng)。本文針對(duì)高超聲速飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究，其典型的非線性運(yùn)動(dòng)模型為:

式中:V，γ，H，α，q 分別為飛行速度、彈道傾角、飛行高度、飛行迎角和俯仰角速度?？紤]典型的高超聲速飛行器模型［9］，飛行器飛行參數(shù)為:

將式(1)寫成向量形式，離散化為:

式中:狀態(tài)變量 x=［V，γ，H，α，q］T;控制變量 u=［η，δz］T。本文控制目標(biāo)是通過控制舵偏和發(fā)動(dòng)機(jī)節(jié)流閥開度，使得飛行器高度和速度快速跟蹤參考指令信號(hào)。

2 單因素融合魯棒預(yù)測控制

2.1 魯棒預(yù)測控制基本原理

本文采用不確定性描述方式，考慮時(shí)變不確定系統(tǒng):

即存在 L 個(gè)非負(fù)系數(shù) λi(k)，i∈{1，…，L}，使得

控制及狀態(tài)約束為:

魯棒預(yù)測控制即:對(duì)于式(3)，最小化最壞情況的性能指標(biāo)［6］:

對(duì)于式(3)，在約束式(6)下，定義 Qt=γP－1及Yt=FQt，上式等價(jià)于最小化性能指標(biāo)上界 γ＞0，即:

式中:j=1，2，…，L。

求解式(8)～式(11)，若該優(yōu)化問題存在可行解，定義橢圓不變集為，則控制律為若優(yōu)化初始可行，則閉環(huán)系統(tǒng)為魯棒漸近穩(wěn)定的。

2.2 離線魯棒預(yù)測控制原理

2.2.1 離線設(shè)計(jì)橢圓不變集

在狀態(tài)可行域中設(shè)計(jì)一系列離散狀態(tài)點(diǎn)xi，i∈{1，2，…，N}，用 xi代替式(9)中的 x(k)，優(yōu)化式(8)～式(11)，得到相應(yīng)的控制增益和橢圓不變集}，將和 Fi存儲(chǔ)于可查詢表中。xi應(yīng)滿足條件，?i=2，…，N，即橢圓 εi－1包含橢圓 εi。

2.2.2 在線查找控制規(guī)律

對(duì)于k時(shí)刻系統(tǒng)狀態(tài)x(k)，在上述表中查找i，使得x(k)TQi－1x(k)≤1且(i=1，2，…，N －1);或者(i=N)，那么在線實(shí)時(shí)控制律為u(k)=Fix(k)。初始狀態(tài)x(0)滿足x(0)TQ1－1x(0)≤1 時(shí)，狀態(tài)x最終收斂于平衡原點(diǎn)，控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

2.3 單因素融合魯棒預(yù)測控制算法

傳統(tǒng)離線魯棒預(yù)測控制器在離線生成橢圓不變集序列的同時(shí)，考慮了狀態(tài)變量中所有子變量，生成了一組橢圓不變集序列，忽略了各子變量在橢圓集中的“權(quán)重”。因此，本文將狀態(tài)變量單獨(dú)研究，提出了單因素融合魯棒預(yù)測控制算法。

2.3.1 離線計(jì)算單因素橢圓集序列及其控制增益

對(duì)于系統(tǒng)式(3)，假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量為 x=［x1，x2，…，xn］，針對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)中需要跟蹤的 m 個(gè)狀態(tài)子變量xi單獨(dú)離散取點(diǎn)，得到系統(tǒng)變量m個(gè)一維子空間xi(i=1，2，…，m)，用xi代替式(8)中的x(k)，優(yōu)化式(8)～式(11)，生成m組單因素橢圓不變集序列εi，其中每組橢圓不變集序列包含N個(gè)橢圓，將m×N個(gè)離線控制律參數(shù)和橢圓不變集(i=1，2，…，m;j=1，2，…，N)存入可查詢表中。

2.3.2 在線插值融合計(jì)算

其中，α滿足如下條件:

根據(jù)單因素控制律權(quán)重系數(shù)，將上述所得單因素控制律進(jìn)行加權(quán)融合，可得系統(tǒng)控制律為:

3 高超聲速飛行器單因素融合魯棒預(yù)測控制器設(shè)計(jì)

3.1 預(yù)測模型

本文采用小擾動(dòng)線性化模型作為高超聲速預(yù)測模型。在平衡點(diǎn)(V=16 635 km/h，γ =0°，H=33.56 km，α =1.79°，q=0 rad/s)將式(2)進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，得到預(yù)測模型:

3.2 高超聲速飛行器控制規(guī)則設(shè)計(jì)

根據(jù)高超聲速飛行器飛行特點(diǎn)，為使高超聲速飛行器跟隨給定高度和速度參考指令信號(hào)，分別在速度和高度平衡點(diǎn)附近取離散狀態(tài)點(diǎn):

分別針對(duì)速度和高度離散狀態(tài)點(diǎn)，運(yùn)用單因素魯棒預(yù)測控制算法，可得速度和高度的單因素橢圓集序列與單因素控制量序列，并將單因素控制參數(shù)分別存儲(chǔ)于表V和表H。分別將基于速度和高度的單因素橢圓集映射到速度-高度平面，如圖1和圖2所示。

在線時(shí)，根據(jù)高超聲速飛行器當(dāng)前狀態(tài)，分別在表V和表H中查找包含當(dāng)前狀態(tài)的最小橢圓對(duì)，計(jì)算獲得高度和速度的單因素控制律，最后根據(jù)2.3.2節(jié)所述方法，將單因素控制律融合計(jì)算，最終獲得高超聲速飛行器控制律。由于上述控制律是針對(duì)偏量系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，在實(shí)施控制規(guī)則時(shí)，應(yīng)在控制量中加上相應(yīng)的平衡點(diǎn)才能施加到原來的非線性系統(tǒng)中。

圖1 速度離散單因素橢圓集Fig.1 Univariate ellipse set based on the discrete velocity

圖2 高度離散單因素橢圓集Fig.2 Univariate ellipse set based on the discrete altitude

4 仿真試驗(yàn)及結(jié)果分析

假設(shè)平衡點(diǎn)為高超聲速飛行器期望巡航狀態(tài)，給定初始狀態(tài)為(V0=16 525 km/h，γ0=0°，H0=33.528 km，α0=1.79°，q0=0 rad/s)?？刂谱兞亢蜖顟B(tài)變量的加權(quán)參數(shù)選取為合適維數(shù)的單位矩陣，考慮迎角約束－4°≤α≤8°，節(jié)流閥設(shè)定值與升降舵偏轉(zhuǎn)角的約束為0≤η≤4，－20°≤δz≤20°。仿真過程中質(zhì)量在±50%之間攝動(dòng)，攝動(dòng)規(guī)則為m(t)=m0(1+0.5 sinθ)，其中θ為［－π/2，π/2］之間的隨機(jī)值，m0為飛行器參考質(zhì)量。

分別采用在線魯棒預(yù)測控制算法［6］、離線魯棒預(yù)測控制算法［8］和單因素融合魯棒預(yù)測控制算法對(duì)高超聲速飛行器進(jìn)行控制。所有的仿真均在Intel(R)Core(TM)i3-2310M CPU 2.10 GHz，2.00 GB，Matlab2009a上進(jìn)行。仿真時(shí)間設(shè)置為20 s，在線魯棒預(yù)測控制算法仿真運(yùn)行時(shí)間為259.5 s，離線魯棒預(yù)測控制算法仿真運(yùn)行時(shí)間為2.5 s，單因素融合魯棒預(yù)測控制算法仿真運(yùn)行時(shí)間為3.6 s。仿真結(jié)果如圖3和圖4所示。

圖3 系統(tǒng)部分狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.3 Response curves of the state of the system

圖4 控制律變化曲線Fig.4 Varying curves of control law

由圖3和圖4可知，三種方法均可以實(shí)現(xiàn)對(duì)速度和高度參考指令信號(hào)的跟蹤，且系統(tǒng)狀態(tài)和控制變量滿足約束條件。在線魯棒預(yù)測控制算法在每一個(gè)采樣時(shí)間都需要求解關(guān)于線性矩陣不等式的優(yōu)化問題，獲得最優(yōu)控制律，因此，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間最短，振蕩較小，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差幾乎為0，但是需要的計(jì)算時(shí)間較長，不能滿足控制器實(shí)時(shí)性要求，以時(shí)間換取性能。離線魯棒預(yù)測控制算法與單因素融合魯棒預(yù)測控制算法將在線優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為搜索與融合問題，以次優(yōu)控制律代替最優(yōu)控制律，在仿真運(yùn)行時(shí)間驟減的同時(shí)系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間變長，以控制性能換取仿真運(yùn)行時(shí)間，滿足控制器實(shí)時(shí)性要求。由于單因素融合魯棒預(yù)測控制算法需要計(jì)算兩組橢圓集序列，因此，仿真運(yùn)算時(shí)間多于離線魯棒預(yù)測控制算法。相比于離線魯棒預(yù)測控制算法，單因素融合魯棒預(yù)測控制算法在線計(jì)算控制律時(shí)考慮各狀態(tài)子空間對(duì)控制律的影響，將單因素控制律融合，控制“目的”更加明確，在減小仿真時(shí)間的同時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差和系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間明顯減小，系統(tǒng)振蕩較小，控制效果大大改善。

5 結(jié)束語

針對(duì)傳統(tǒng)離線魯棒預(yù)測控制忽略各個(gè)因素對(duì)控制律的影響程度，本文提出了單因素融合魯棒預(yù)測控制方法，并將其應(yīng)用于高超聲速飛行器的控制器設(shè)計(jì)中。該方法將在線預(yù)測控制的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為離線計(jì)算，極大地減小了仿真運(yùn)行時(shí)間，并且由于在在線控制律計(jì)算中，充分考慮了各個(gè)因素對(duì)控制律的影響程度，從而改善了離線魯棒預(yù)測控制的控制性能。

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