陸春桃

(廣西電力職業(yè)技術學院，廣西南寧530007)

常微分方程教學非常嚴謹，對學生邏輯思維要求非常高。通過調查發(fā)現，部分學生認為常微分方程課程內容枯燥乏味，對這門課程存有畏懼的心理。教學實踐表明，常微分方程教學中的一些公式以及相關內容需要借助教學輔助軟件才能完成。因此有必要改變常微分方程課程原有的教學方式，盡量融入一些生動的教學元素，調動學生學習的興趣，提高常微分方程課程的教學質量。

為能夠切實地改進常微分方程課堂教學方式，提高教學效果，筆者結合具體實例，分析Maple、Matlab、Mathematica等數學圖像處理軟件在常微分方程教學中的應用。

1 Maple在常微分方程教學中的應用

Maple數學圖像處理軟件是目前世界上最為通用的數學和工程計算軟件之一，在數學科學領域享有盛譽，有“數學家的軟件”之稱。Maple不僅僅提供編程工具，更重要的是提供數學知識。Maple是科研人員和學生必備的科學計算工具，它可以幫助使用者快速、高效地解決從簡單的數字計算到高度復雜的非線性問題。通過Maple產品，我們可以在單一的環(huán)境中實現多領域物理系統(tǒng)建模和仿真、符號計算、數值計算、程序設計、技術文件、報告演示、算法開發(fā)、外部程序連接等功能，能夠滿足各個層次使用者的需要。

解 在Maple軟件中輸入微分方程eq:=D(y)(x)，具體步驟如下

第一，調用odeadvisor命令判別方程類型

＞ DEtools［odeadvisor］(eq);

［［－ homogeneous，classG］，－ rational，－ Riccati］

這表明此為Riccati方程，并具有齊次方程和有理屬性。第二，用dsolve命令求解方程的顯式解

＞dsolve(eq);

再給出它的隱式解

＞ dsolve(eq，implicit);

第三，給出方程的一個初值，做出它的解的圖像，如圖1所示。

圖1 例1圖示

根據以上求解的過程，我們可以很清楚地看出，利用Maple數學圖像處理軟件解決常微分方程問題是非常便捷的，能夠讓學生很直觀地觀察圖像的變化。

2 Matlab在常微分方程教學中的應用

許多實際問題都可以通過微分方程的形式進行表述，傳統(tǒng)的求解微分方程的方法有近似分析解法、表解法和圖解法，這些方法都需對方程進行大量的假設，會使數學模型有一定的失真。數值解法利用計算機運算，使求解更精確、效率更高。Matlab是一種數學軟件包，有高級編程格式，使計算結果更具有可信性，因此將Matlab運用在微分方程的求解過程中具有實際意義。本文對常微分方程數值解問題作進一步探討，并應用Matlab對其中的難解進行編程實現，程序簡潔、直觀，求解速度快，方法實用性較強。

例2 微分方程xy'+y－ex=0在初始條件y(1)=2e下的特解，并畫出解函數的圖形。

方法1 除常系數線性微分方程可用特征根法求解、少數特殊方程可用初等積分法求解以外，大部分微分方程求解主要依靠數值解法?？紤]一階常微分方程初值問題。

其中 y=(y1，y2，…，ym)'，f=(f1，f2，…，fm)'，y0=(y10，y20，…，ym0)'。運用數值解法，尋求 y(t)在一系列離散節(jié)點 t0＜t1＜… ＜tn≤tf上的近似值 yk，k=0，1，…，n，稱hk=tk+1－tk為步長，通常取為常量h。最簡單的數值解法是Euler法。

方法2 方程求解的Matlab程序為:

Syms x y; %定義x，y為符號變量

y=dsolve(’x*Dy+y－exp(x)=0’，’y(1)=2*exp(1)’，’x’);%求出的微分方程在初始條件下的特解

ezplot(y); %作出解函數的圖象

微分方程的特解為

y=1/x*exp(x)+1/x*exp(1)

圖1 例2圖示

由例2可以看出，通過Matlab工具求解，能夠更加形象地展示函數變化的情況，提高運算的準確性。

3 Mathematica在常微分方程教學中的應用

Mathematica擁有強大的數值計算和符號運算能力，是目前為止使用最廣泛的數學軟件之一。Mathematica程序設計語言以“條目重寫”為基礎，并支持函數式和過程式程序設計。它已經被廣泛地應用于物理、生物、社會學等多個領域。

采用Matlab語言只需設置簡單指令，就可以快速地得到我們所需要的圖像，并且可以進行便利的操作與修改。在傳統(tǒng)教學過程中，獲取圖形比較困難，所得圖形又不清晰，這就為分析造成了一定的困難。下面我們通過實例來對比分析傳統(tǒng)的常微分教學方法和使用軟件輔助教學方法的特點。

解 方法1(傳統(tǒng)方法)

這個函數在區(qū)間［0，0.5］屬于減函數。

方法2(數學圖像處理軟件處理方式)

Matlab程序為

運行結果為

圖形結果如圖3所示。

圖3 例3圖示

通過這個例題可以看出，傳統(tǒng)的算法計算起來相當繁瑣，大概使用到了一級求導、二級求導，計算量極大。利用Matlab軟件中的數值方法對常微分方程進行求解，其主要思路如下:把求解的時間區(qū)間劃分成有限步，為每一步計算出一個解，如果求得的解不滿足誤差限制，則減少步長，再求解。如此重復，直到滿足誤差限為止。另外，可以使用函數指令來完成計算，只需要輸入指令、方程式以及相關的限制條件便可求得結果，操作起來相對簡單。

4 結語

將數學圖像處理軟件應用于常微分方程教學中，應注意如下幾個問題:其一，要考慮到運用數學圖像軟件是否具備相應的外部環(huán)境，是否具備專業(yè)的教師隊伍;其二，應喚起學生的主動參與，培養(yǎng)學生的主體意識;其三，通過提問、激勵等形式，增強學生學習的信心;其四，準確劃分學生的認知層次，真正做到因材施教。只有把握好上述問題，才能取得事半功倍的教學效果。

［1］王高雄.常微分方程［M］.3版.北京:高等教育出版社，2006.

［2］王劍俠，龔力強.Maple在高等數學中的應用［J］.廣州大學學報:自然科學版，2002(2):69－73.

［3］益林鐘，樂群彭，劉炳文.常微分方程及其Maple、MATLAB求解［M］.北京:清華大學出版社，2007.

［4］張涌志，徐彥琴.MATLAB教程［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2001.