劉 雪，楊 開，趙 鑫，楊兆升

(1.長(zhǎng)春師范大學(xué)工程學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130032;2.吉林大學(xué)交通學(xué)院，長(zhǎng)春吉林130022)

目前，道路的增長(zhǎng)速度不能滿足于汽車保有量的增長(zhǎng)速度，因而當(dāng)?shù)缆返慕煌拷咏缆返淖畲笸ㄐ心芰r(shí)，道路交通系統(tǒng)便不能高效有序地運(yùn)行，而是表現(xiàn)出某種程度的車流紊亂，從而導(dǎo)致車輛運(yùn)行速度降低、擁堵加劇、延誤增長(zhǎng)等一系列交通問題。作為城市快速路的一部分，支路合理高效的通行變得尤為重要。道路交通系統(tǒng)與熱力學(xué)系統(tǒng)有著明顯的區(qū)別，但就其系統(tǒng)本身而言，又與熱力學(xué)系統(tǒng)存在許多相似之處。鑒于此，本論文引入熵來描述道路交通系統(tǒng)的狀態(tài)。

熵是系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)，因此道路交通系統(tǒng)的熵可以作為其運(yùn)行狀態(tài)的度量。其中熵值小，表明系統(tǒng)有序，即道路的服務(wù)水平高;反之熵值大，表明系統(tǒng)紊亂，道路的服務(wù)水平降低。

1 交通系統(tǒng)中流和力的確定

根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)理論，任何宏觀系統(tǒng)的狀態(tài)都可引用狀態(tài)函數(shù)熵S來描述。對(duì)于任一宏觀系統(tǒng)，普利高津?qū)㈧?ds的變化分解為兩項(xiàng)之和［1－2］，即

或

其中，dis—— 熵產(chǎn)生，des—— 熵流，令 pi=，稱pi為熵產(chǎn)生率。

熵產(chǎn)生可以用廣義熱力學(xué)力X和廣義熱力學(xué)流J來表示［3］。力是流產(chǎn)生的原因，廣義力越大，引起的流就越大，不可逆變化也更迅猛。當(dāng)開放系統(tǒng)處于線性非平衡區(qū)時(shí)，由于負(fù)熵流的流入，抑制了系統(tǒng)自身的熵產(chǎn)生，所以熵產(chǎn)生率隨著時(shí)間的進(jìn)行而減小。當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到定態(tài)時(shí)(即ds=dis+des=0)，pi取得最小值，此時(shí)力和流都不再隨時(shí)間變化，這就是最小熵產(chǎn)生原理［4］。

平衡系統(tǒng)中小區(qū)域的熵產(chǎn)生可以描述為

非平衡系統(tǒng)中，如果同時(shí)存在多種不可逆過程，那么該系統(tǒng)的熵產(chǎn)生就與多種力和流有關(guān)。該系統(tǒng)的熵產(chǎn)生 ——δ可以描述為

其中，Jk—— 第 k種流，Xk——引起第k種流的力。

由局域平衡假設(shè)可知

其中，V——系統(tǒng)體系。

圖1 主－支路交匯處交通流量變化圖

根據(jù)流體力學(xué)中質(zhì)量守恒定律及其連續(xù)方程可知，當(dāng)從支路匯入主路的車輛數(shù)等于從主路駛?cè)胫返能囕v數(shù)時(shí)(圖1)，滿足。該式表明在此路段內(nèi)汽車的數(shù)量是恒定的，即此時(shí)為平衡態(tài);而當(dāng)該路段的處于非平衡態(tài)時(shí)，通過最小熵原理可得

其中，q1——從支路進(jìn)入主干道的交通量，q2——從主干道駛?cè)胫返慕煌俊?/p>

設(shè)主路交通流的變化量為qn=q1－q2.

圖2 主路交通流受力分析圖

如圖2所示，在主路某車道中任取一路段Δx，對(duì)其進(jìn)行圖中所示受力分析。記P0為已知狀態(tài)的虛擬力，則該路段上的車輛數(shù)為kΔX，與之對(duì)應(yīng)的虛擬力的合力增量為Δp;在不考慮粘性力［5］存在的條件下，由于路段車輛的進(jìn)出對(duì)原主路產(chǎn)生干擾，故引入干擾力f。由動(dòng)量定理可以推導(dǎo)出

其中，Δv—— 速度的增量，v0——初始狀態(tài)的速度。

類比牛頓第二定律F=ma推出

其中，a——路段車輛的加速度。

其中，q——主路的交通量。

對(duì)(9)推導(dǎo)得該路段的交通壓力方程為

交通壓力P可以描述為:綜合了驅(qū)使交通流向前運(yùn)動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力、路面及交通設(shè)施對(duì)交通流的阻力和支路對(duì)主干道的干擾力等因素的廣義力。

2 交通系統(tǒng)熵產(chǎn)生模型及其狀態(tài)判別熵模型的建立

將上述所求的廣義力在本路段的增量和廣義流在本路段的增量代入(3)中，并將所得結(jié)果對(duì)研究路段進(jìn)行積分可以得到熵產(chǎn)生率Pi，即

或

以上兩式即為兩種狀態(tài)(有干擾交通量和無干擾交通量)下的交通系統(tǒng)熵產(chǎn)生模型。

首先，選取某一時(shí)刻的交通狀態(tài)為其初始狀態(tài)，并由此確定其它狀態(tài)的熵產(chǎn)生模型，得到以下模型

(14)即為改進(jìn)后的交通系統(tǒng)熵產(chǎn)生模型。

經(jīng)過上面的推導(dǎo)可以求得初始狀態(tài)時(shí)系統(tǒng)熵值S，

(15)即為道路交通系統(tǒng)熵值模型。

在城市道路交通系統(tǒng)中，一方面希望道路熵值小，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，道路服務(wù)水平高;另一方面又希望道路能有更大的通行能力，而不是單純的熵值最小。這就要求找到一個(gè)基準(zhǔn)態(tài)。

選定交通量最大時(shí)為基準(zhǔn)態(tài)(v=vm，k=km)，此時(shí)熵值為Sm。當(dāng)S＞Sm時(shí)，需要向系統(tǒng)中注入負(fù)熵流S。

負(fù)熵流的注入對(duì)交通系統(tǒng)的有序化具有推動(dòng)作用，幫助系統(tǒng)趨向有序，又能使道路的通行能力達(dá)到最佳。此時(shí)路段的交通總熵為

即

(17)為注入負(fù)熵流之后的道路的交通總熵。

初始狀態(tài)時(shí)，P0=0，qn=0，取v0=vf代入(15)式中，得到初始狀態(tài)的交通熵模型

將基準(zhǔn)態(tài)時(shí)的條件(v=vm，k=km)代入(18)式中，可推導(dǎo)出

其中，vm—— 臨界速度—— 最佳密度

為了更簡(jiǎn)單、直觀地描繪交通系統(tǒng)某時(shí)刻的狀態(tài)，引入交通狀態(tài)判別熵——sf，令

(20)為交通狀態(tài)判別熵模型。

3 對(duì)交通熵模型的驗(yàn)證

本文以長(zhǎng)春市臨河街與威海路交匯處為例對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，基礎(chǔ)數(shù)據(jù)來源于5個(gè)工作日的晚高峰(4:30～6:00)交通量和速度調(diào)查。根據(jù)國(guó)內(nèi)外研究慣例，以5分鐘為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間間隔，順次記為1，2，3，……共18組。調(diào)查數(shù)據(jù)整理如表1所示。

表1 晚高峰交通量與平均速度調(diào)查表(單位:交通量 veh·5min－1;平均速度 km·h－1)

由于在臨河街與威海路交匯處限速40km·h－1，故vf=40km·h－1，vm=20km·h－1，通過查詢《道路通行能力手冊(cè)》可知，此時(shí)路段單車道最大通行能力為1050輛·h－1;根據(jù)Q=kv，可得Km=63 veh·h－1及k，運(yùn)用公式(20)求得交通狀態(tài)判別熵Sf值如表2所示。

表2 交通狀態(tài)判別熵Sf值表

運(yùn)用MATLAB軟件，對(duì)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得平均速度 －交通狀態(tài)熵值關(guān)系圖如圖3所示。

對(duì)圖3進(jìn)行分析可知，擬合結(jié)果的殘差R2=0.9979。因一般情況下R2＞0.95時(shí)，表示擬合結(jié)果可信，故圖3所示的擬合效果較為理想。還可以明顯看出，平均行車速度越大，交通狀態(tài)熵越小;反之平均行車速度越小，交通狀態(tài)熵越大。這與前面第一部分理論分析階段的判別結(jié)果是一致的，間接證明了本文建立的交通狀態(tài)熵模型是成立且有效的。

由以上研究可知，在主 －支路交匯或主 －輔路交匯處等有干擾交通的路段，可對(duì)其采取相應(yīng)的管控措施以降低交通熵值(如在主路交通流分/合流處增設(shè)一條輔助車道，車輛先進(jìn)入輔道后再匯入主路以減少分 /合流交通量對(duì)主路的影響)，從而提高道路的通行能力。

圖3 平均速度－交通狀態(tài)熵值關(guān)系圖

4 結(jié)語

交通流熵值模型的建立為我們對(duì)道路交通系統(tǒng)狀態(tài)的判別提供依據(jù)。通過對(duì)道路總熵模型注入負(fù)熵流的方式達(dá)到對(duì)道路交通系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整的目的，從而提高道路的通行能力，為交通管理部門采取有效的管控措施提供了理論依據(jù)。

［1］邱潔.基于熵和流體力學(xué)的城市主干道的狀態(tài)判別方法研究［D］.哈爾濱:東北林業(yè)大學(xué)，2010.

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