劉玉麗，姜玉秋

(吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林長春130103)

1 建立模型

在同一理想的小環(huán)境D中研究捕食者和食餌種群，兩種群變化的Volterra模型［1］.

其中x(t)和y(t)分別表示t時刻在小環(huán)境D中食餌和捕食者的數(shù)量，r1和r2分別表示食餌和捕食者的內(nèi)稟增長率，a和d分別表示食餌和捕食者的密度制約項(xiàng)，b表示單位時間內(nèi)捕食者吃掉食餌的數(shù)量，c表示當(dāng)存在食餌種群時，被捕食者吃掉的食餌將被轉(zhuǎn)化成對捕食者有利的能量分別表示田鼠和蛇在這個小環(huán)境中的相對增長率［2］.

2 系統(tǒng)分析

在美國亞里桑那州北部凱巴伯森林地區(qū)的一個理想小環(huán)境中有兩個發(fā)生捕獲系統(tǒng)的種群——狼和鹿.利用同一種生存資源，假設(shè)這個小環(huán)境里的狼和鹿的生長都處于健康狀態(tài).考慮到生物學(xué)意義，本文僅在區(qū)域D={(x，y)|x≥0，y≥0}［3］上研究系統(tǒng)(1.1).容易得到，系統(tǒng)(1.1)有 O(0，0)E(x*，y*)四個平衡點(diǎn)存在，其中x*＞0，y*＞0.在區(qū)域D上將系統(tǒng)(1.1)變形為

令Δ =a11a22－a12a21，δ=－(a11+a22).

定理2.1 系統(tǒng)(1.1)在區(qū)域D內(nèi)無閉軌［4］.

定理2.2系統(tǒng)(1.1)的平衡點(diǎn)O(0，0)為鞍點(diǎn).

定理2.5系統(tǒng)(1.1)存在唯一的正平衡點(diǎn)E(x*，y*)是局部穩(wěn)定的.

證明 首先證明正平衡點(diǎn)E(x*，y*)的存在唯一性［5］.考慮代數(shù)方程組F1(x，y)=0;F2(x，y)=0，由第二個方程得，代入第一個方程得=0，引進(jìn)輔助函數(shù)f(y)＜0.由零點(diǎn)定理知，存在，使得f(y*)=0.又因?yàn)閒'(y)，即f(y)是關(guān)于y的嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，故y*在是唯一的，由x=可得相應(yīng)的x*.所以a＞c＞r2＞0時系統(tǒng)(1.1)有唯一的正平衡點(diǎn)E(x*，y*).

下面證明 E(x*，y*)是局部穩(wěn)定［7］.

正平衡點(diǎn)E(x*，y*)的Jacobi矩陣

Δ=(r1－2ax*－by*)(－r2+cx*－2dy*)+bcx*y*，

δ=(r1－2ax*－by*－r2+cx*－2dy*)=r2－r1+x*(2a－c)+y*(b+2d).

當(dāng)r2＞r1，2a＞c時，Δ ＞0，δ＞0.可知E(x*，y*)是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的.

由定理2.1至定理2.5，易證得下面的結(jié)論.

定理2.6 a＞c＞r2＞0，r2＞r1時，系統(tǒng)(1.1)的正平衡點(diǎn)E(x*，y*)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的.

利用Matlab程序模擬出系統(tǒng)(1.1)在平衡點(diǎn)D(x*，y*)附近過不同初值點(diǎn)的軌線，如圖1所示.

圖1 狼與鹿兩種群數(shù)量變化圖

3 生物學(xué)意義

綜上，對系統(tǒng)(1.1)進(jìn)行了穩(wěn)定性討論與分析，得到了適合捕食者與食餌生存的數(shù)量D(x*，y*).因想要有效地保護(hù)鹿而消滅鹿的天敵狼等野獸，致使鹿群的數(shù)量得到了自由的增長，當(dāng)其數(shù)量增長到一定程度時，森林中的綠色植被就遭到破壞，導(dǎo)致鹿大量死亡，這就違背了人們當(dāng)初的意愿［6］.在自然的狀態(tài)下，可以利用此模型的平衡點(diǎn)D(x*，y*)進(jìn)行人為干預(yù)，當(dāng)鹿種群繁殖數(shù)量增大時，引入狼來控制鹿的增長速度，使兩種群的數(shù)量在各自的環(huán)境容納量下達(dá)到各自的平衡點(diǎn)x*和y*.這樣，森林也就不會被鹿群糟蹋得面目全非，也有效地控制了疾病對鹿群的威脅，從而實(shí)現(xiàn)了保護(hù)森林生態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定的目的［8］.

［1］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

［2］尚玉昌.普通生態(tài)學(xué)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，2002.

［3］姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［4］姜玉秋.Turchin－Batzli捕食者－食餌系統(tǒng)的定性分析［J］.東北師大學(xué)報:自然科學(xué)版，2006(4):17－21.

［5］Verhust F.Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems［M］.Berlin:Springer－ Verlag，1996.

［6］Perter Turchin，George O.Batzli.Availability of Food and the Population Dynamics of Arvicoline Rodents［J］.The Ecological Society of American，2001.

［7］柏靈，李曉月，楊帆.捕食－食餌系統(tǒng)的兩種群同時捕獲的最優(yōu)化問題［J］.東北師大學(xué)報:自然科學(xué)版，2001，33(1):1－5.

［8］王順慶，王萬雄，徐海根.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)穩(wěn)定性理論與方法［M］.北京:科學(xué)出版社，2004.