黃曉吉，扶名福，徐斌

(1．南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西南昌330031;2．華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌330013; 3．南昌工程學(xué)院土木工程系，江西南昌330099)

簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載下飽和土中浮置板軌道隧道的動(dòng)力響應(yīng)研究

黃曉吉1，2，扶名福1，徐斌3

(1．南昌大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西南昌330031;2．華東交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，江西南昌330013; 3．南昌工程學(xué)院土木工程系，江西南昌330099)

假定隧道襯砌為Flügge薄壁圓柱殼，土體為飽和多孔介質(zhì)，通過把荷載、動(dòng)力響應(yīng)沿環(huán)向模態(tài)分解，利用傅里葉積分變換求得非軸對(duì)稱簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下的隧道—飽和土體系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。在此基礎(chǔ)上，將浮置板、鋼軌作為無(wú)限長(zhǎng)的Euler梁，考慮鋼軌、浮置板、隧道—飽和土體系統(tǒng)的相互作用，求解了單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)和雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)在點(diǎn)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。研究結(jié)果表明:荷載頻率對(duì)飽和土體中浮置板隧道的動(dòng)力響應(yīng)有較大影響;浮置板具有明顯減振作用;在低頻范圍內(nèi)，雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中上層的支承彈簧、鋼軌的作用可以忽略。

簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載 浮置板軌道 隧道 飽和土體 動(dòng)力響應(yīng)

交通荷載作用下隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)及其引起的安全和環(huán)境問題越來(lái)越受到關(guān)注［1-2］，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者對(duì)該問題以及相應(yīng)的減振降噪措施進(jìn)行了研究［3-4］。浮置板式軌道結(jié)構(gòu)是目前最有效的減振降噪措施之一［5-6］，因此在這個(gè)方面有不少研究文獻(xiàn)。Cui等［6］將軌道和浮置板模擬為連續(xù)無(wú)限長(zhǎng)梁，采用分層連續(xù)支承梁模型來(lái)研究浮置板軌道結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)。Lombaert等［5］采用分層連續(xù)支承梁模型，考慮浮置板寬度的影響及與地基土的耦合作用，建立三維浮置板軌道結(jié)構(gòu)模型研究其動(dòng)力特性。馬龍祥等［7］把鋼軌作為點(diǎn)支承的無(wú)限長(zhǎng)歐拉梁，浮置板作為不連續(xù)的點(diǎn)支承歐拉梁，依據(jù)周期結(jié)構(gòu)的性質(zhì)求得移動(dòng)諧振荷載下浮置板軌道結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)。Hussein等［8］考慮了浮置板不連續(xù)性，將它視為周期性結(jié)構(gòu)，并考慮該結(jié)構(gòu)與車輛的耦合作用，研究了參數(shù)激勵(lì)振動(dòng)問題。李增光等［9］將鋼軌簡(jiǎn)化為無(wú)限長(zhǎng)歐拉梁，浮置板簡(jiǎn)化為不連續(xù)的Kirchhoff薄板，利用動(dòng)柔度法分析了浮置板軌道結(jié)構(gòu)的隔振性能。在浮置板軌道隧道的研究方面，F(xiàn)orrest和Hussein等［10-11］將隧道襯砌、外圍彈性土體視為薄壁圓柱筒和無(wú)窮厚壁圓柱筒(pip模型)，把軌道和浮置板簡(jiǎn)化為連續(xù)支承的歐拉梁，分別建立單層梁和雙層梁模型并考慮與隧道pip模型的耦合作用，計(jì)算了簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載下的動(dòng)力響應(yīng);隨后將兩個(gè)鋼軌視為不同荷載作用下的無(wú)限長(zhǎng)歐拉梁，考慮浮置板與隧道襯砌水平方向和轉(zhuǎn)動(dòng)方向的耦合作用，計(jì)算了簡(jiǎn)諧荷載下整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。國(guó)內(nèi)孫成龍等［12］對(duì)北京地鐵5號(hào)線燈市口站—東四站區(qū)間鋼彈簧浮置板軌道的減振效果進(jìn)行了測(cè)試與分析。韋凱等［13］基于車輛—軌道耦合作用，建立鋼彈簧浮置板隧道—建筑物—地基二維有限元模型，計(jì)算合建結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，分析鋼彈簧浮置板的減震性能。

浮置板軌道結(jié)構(gòu)的研究成果雖不少，但對(duì)其在飽和土體中隧道內(nèi)的應(yīng)用研究極少。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，將襯砌模擬為薄壁圓柱殼，在單位簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載下隧道—飽和土體系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的基礎(chǔ)上，將浮置板和軌道均視為無(wú)限長(zhǎng)連續(xù)支承的歐拉梁，建立單層梁—隧道—飽和土體模型和雙層梁—隧道—飽和土體模型，分析簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

1 隧道—飽和土體系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)求解

當(dāng)荷載作用在圓形隧道仰拱內(nèi)表面，隧道與飽和土體相互作用，構(gòu)成隧道—飽和土體系統(tǒng)。

1.1 薄壁圓柱殼的控制方程及其求解

將隧道襯砌視為薄壁圓柱殼，其振動(dòng)方程采用Flügge理論表示的方程。在θ=0，x=0仰拱處的簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載F=eiωt作用下，將隧道襯砌位移沿著環(huán)向模態(tài)進(jìn)行分解后求和

式中:ul，vl，wl分別為襯砌的軸向、切向和徑向位移; Uln(x)，Vln(x)，Wln(x)分別為第n階環(huán)向模態(tài)下三個(gè)方向的位移幅值。將式(1)代入薄壁圓柱殼的振動(dòng)方程中并進(jìn)行x→ξ的傅里葉積分變換，求得波數(shù)域內(nèi)位移幅值表示如下

式中:An為波數(shù)域內(nèi)第n階環(huán)向模態(tài)的位移系數(shù)矩陣為荷載強(qiáng)度幅值，取為

1.2 飽和土體的控制方程及其求解

飽和土體的控制方程采用Biot方程，引入Helmholtz勢(shì)函數(shù)使運(yùn)動(dòng)方程解耦。在簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下，柱坐標(biāo)下的土體骨架和孔隙水的勢(shì)函數(shù)均表示為如下形式

式中:φ，ψr，ψθ，ψx分別是土體或孔隙水的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)和三個(gè)方向的矢量勢(shì)函數(shù);φn，ψrn，ψθn，ψxn分別為第n階模態(tài)下的勢(shì)函數(shù)幅值。

將式(3)代入Biot理論的運(yùn)動(dòng)方程式并對(duì)其進(jìn)行x→ξ的傅里葉積分變換。結(jié)合輻射條件可求得第n階模態(tài)下波數(shù)域內(nèi)的土體骨架勢(shì)函數(shù)式中:An，Bn，Cn，Dn是第n階模態(tài)的待定常數(shù);γf，γs，γt為飽和土中P1，P2和S波相對(duì)應(yīng)的系數(shù)，且滿足Im (γf)＜0，Im(γs)＜0，Im(γt)＜0;Kn()為第二類n階修正Bessel函數(shù)。

利用矢量勢(shì)函數(shù)的正則條件可求得土體骨架的另外一個(gè)矢量勢(shì)函數(shù)

1.3 連續(xù)條件和邊界條件

若隧道襯砌與飽和土體緊密接觸，則波數(shù)域內(nèi)r =a處第n個(gè)模態(tài)下兩者三個(gè)方向的位移和應(yīng)力連續(xù)(此處要注意的是薄壁圓柱殼和飽和土體位移、應(yīng)力的坐標(biāo)軸方向不一致)，即

在飽和土體與襯砌的接觸面處(r=a)，若隧道襯砌完全透水，則土體中孔隙水壓

2 飽和土體中浮置板隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)求解

2.1 單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)的響應(yīng)求解

在浮置板軌道隧道中，荷載F=eiωt作用在浮置板x=0處，經(jīng)支承彈簧傳遞到隧道襯砌和外圍飽和土體，如圖1所示。將浮置板模擬為連續(xù)支承的無(wú)限長(zhǎng)Euler梁，考慮浮置板與隧道—飽和土體系統(tǒng)的相互作用，建立單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)。

圖1 飽和土中單層梁浮置板隧道的計(jì)算簡(jiǎn)圖

由于浮置板與隧道仰拱的相互作用，作用在襯砌仰拱內(nèi)表面的荷載為分布力q=q(x)eiωt而不再是點(diǎn)荷載F=eiωt，如圖2所示。為波數(shù)域內(nèi)浮置板底的接觸反力;md和EdId分別是浮置板的線密度和抗彎剛度。

圖2 浮置板與隧道仰拱之間的相互作用力

由于作用在隧道仰拱的荷載不再是點(diǎn)荷載而是分布力q(x)eiωt，浮置板隧道系統(tǒng)中襯砌和外圍飽和土體的動(dòng)力響應(yīng)變?yōu)閅(x)。由文獻(xiàn)［10］可知，波數(shù)域內(nèi)襯砌和外圍土體的動(dòng)力響應(yīng)可根據(jù)Duhamel積分和卷積積分公式求得，如下式

從式(6)—式(8)可知在單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中動(dòng)力響應(yīng)求解的關(guān)鍵在于波數(shù)域內(nèi)浮置板底的接觸反力為此根據(jù)浮置板支承彈簧的受力條件求解得

式中，k為浮置板支承彈簧的剛度。

聯(lián)立式(6)、式(8)、式(9)可以求得浮置板底接觸反力，從而求得單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。

2.2 雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)的響應(yīng)求解

若將鋼軌視為連續(xù)支承的無(wú)限長(zhǎng)Euler梁，且鋼軌在x=0處作用著簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載F=eiωt，如圖3所示?？紤]鋼軌、浮置板與隧道—飽和土體系統(tǒng)的相互作用，建立雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)。

鋼軌上面的荷載包括x=0處的簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載F= eiωt和鋼軌底部接觸反力－q'(x)eiωt，則波數(shù)域內(nèi)鋼軌的位移幅值

圖3 飽和土中雙層梁浮置板隧道的計(jì)算簡(jiǎn)圖

在雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中，浮置板上的荷載包括鋼軌傳遞過來(lái)的分布荷載q'(x)eiωt和底部接觸反力－q(x)eiωt，因此波數(shù)域內(nèi)浮置板位移幅值為

浮置板上的荷載包括x=0處的單位簡(jiǎn)諧荷載F =eiωt和底部接觸反力－q(x)eiωt，則波數(shù)域內(nèi)浮置板的位移幅值為

波數(shù)域內(nèi)的分布荷載Q～'(ξ)可有上層支承彈簧的受力條件求解，即

式中，k'為鋼軌支承彈簧的剛度。

聯(lián)立方程式(9)—式(12)，可求得雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中兩個(gè)分布力Q～'(ξ)和Q～ξ，從而求得雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中的動(dòng)力響應(yīng)。

3 飽和土中兩種浮置板隧道系統(tǒng)的算例分析

在x=0處單位豎向簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下飽和土中有兩種浮置板隧道系統(tǒng)，一為單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)，另外一個(gè)為雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)。為便于比較計(jì)算結(jié)果，除孔隙水的參數(shù)外，土體骨架、隧道襯砌參數(shù)、浮置板的抗彎剛度和線密度、鋼軌的抗彎剛度和線密度、鋼軌支承彈簧的剛度和阻尼系數(shù)取自文獻(xiàn)［10］，在此不一一列舉。浮置板支承彈簧剛度k0=424.4×106N/m2，阻尼系數(shù)η=0.5(同文獻(xiàn)［10］中的一個(gè)工況)。兩個(gè)Euler梁的支承彈簧剛度均采用考慮阻尼的復(fù)剛度形式k=k0(1+iη)。孔隙水的密度ρf=1 000 kg/m3，孔隙率f=0.3，系數(shù)α=0.97，水的彎曲系數(shù)a∞=2.0，系數(shù)M=2.4×108N/m2，土體骨架與孔隙水間的相互作用力參數(shù)bp=2.0×107kg/(m3·s)。

當(dāng)飽和土體的參數(shù)ρf，α，M，bp，f，a∞接近于0時(shí)，飽和土體中浮置板隧道系統(tǒng)可退化成文獻(xiàn)［10］彈性土體中的浮置板隧道。為檢驗(yàn)本文方法與程序的正確性，本文首先計(jì)算了簡(jiǎn)諧點(diǎn)荷載作用下彈性土體中單層梁浮置板隧道系統(tǒng)x=θ=0的仰拱處徑向位移幅值、浮置板的豎向位移幅值，隨后計(jì)算了飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。在動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算過程中，共取前面11階(0～10)模態(tài)計(jì)算，傅里葉積分變換采用的樣本點(diǎn)數(shù)N=2 049，空間間隔Δx=0.5 m (同文獻(xiàn)［10］)。

圖4為三種浮置板隧道系統(tǒng)中浮置板的豎向位移幅值隨荷載頻率的變化曲線。文獻(xiàn)［10］的彈性土體中單層梁隧道系統(tǒng)浮置板的豎向位移幅值與本文計(jì)算的單層梁—隧道—彈性土體系統(tǒng)中相應(yīng)的位移幅值基本一致，驗(yàn)證了本文方法與程序是正確的。彈性土體單層梁—隧道系統(tǒng)中的浮置板位移首先隨著頻率增加而增大，由文獻(xiàn)［10］可知，在荷載頻率為45 Hz時(shí)，浮置板的位移幅值達(dá)到最大值，而后逐漸減小。然而飽和土體中兩種隧道系統(tǒng)的浮置板位移在頻率為50 Hz左右達(dá)到最大值。當(dāng)荷載為＜50 Hz的低頻荷載時(shí)，飽和土體兩種隧道系統(tǒng)中浮置板的豎向位移幅值幾乎相同并且小于單層梁—隧道—彈性土體系統(tǒng)的位移幅值。然而當(dāng)荷載頻率＞50 Hz，彈性土體中單層梁隧道系統(tǒng)的浮置板位移與飽和土體中單層梁隧道系統(tǒng)浮置板的位移幾乎重合，雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中浮置板的位移大于兩個(gè)單層梁浮置板隧道系統(tǒng)中浮置板的位移。

圖4 浮置板荷載點(diǎn)處豎向位移幅值隨荷載頻率的變化曲線

圖5為四種隧道系統(tǒng)仰拱x=0處的徑向位移幅值變化曲線。可知，本文計(jì)算的單層梁—隧道—彈性土體系統(tǒng)仰拱處的徑向位移幅值與文獻(xiàn)［10］幾乎完全相同，再次證明了本文方法與程序的正確性。與浮置板的位移類似，飽和土體中兩種隧道系統(tǒng)仰拱處的徑向位移幅值均在50 Hz左右達(dá)到最大，而后逐漸減小。飽和土中單層梁隧道系統(tǒng)和雙層梁隧道系統(tǒng)的浮置板對(duì)仰拱均具有明顯的減振作用，與隧道—飽和土體系統(tǒng)相比，飽和土中兩種浮置板隧道的徑向位移幅值小很多。與浮置板的位移類似，當(dāng)荷載頻率較低時(shí)，飽和土中兩種浮置板隧道系統(tǒng)仰拱處的徑向位移幅值幾乎重合，而從80 Hz左右開始，雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)仰拱處的徑向位移幅值大于單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)的徑向位移。這是因?yàn)殡p層梁的浮置板隧道系統(tǒng)中，由于有雙層彈簧，相當(dāng)于減小了整個(gè)隧道系統(tǒng)的剛度，導(dǎo)致位移增大，但是這種剛度減小帶來(lái)的影響只有在較高頻率的荷載作用下才會(huì)顯現(xiàn)。

圖6為飽和土體中三種隧道系統(tǒng)外圍土體r=3.5 m，x=0，θ=0處徑向位移幅值的變化曲線。當(dāng)荷載頻率低于50 Hz時(shí)，浮置板隧道對(duì)土體的減振作用基本上可以忽略;當(dāng)荷載頻率高于50 Hz時(shí)，浮置板隧道對(duì)外圍飽和土體位移幅值的減振作用隨著頻率的增加明顯增大。當(dāng)荷載頻率高于100 Hz左右時(shí)，雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)剛度減小，對(duì)外圍土體該點(diǎn)處徑向位移幅值的影響才隨著頻率增加緩慢增大。

圖5 仰拱處徑向位移幅值隨荷載頻率的變化曲線

圖6 飽和土體徑向位移幅值隨荷載頻率的變化曲線

圖7 飽和土體孔隙水壓幅值隨荷載頻率的變化曲線

圖7表示的是飽和土體中三種隧道系統(tǒng)中r=3.5 m，x=0，θ=0處的孔隙水壓幅值變化曲線。隧道—飽和土體系統(tǒng)中該點(diǎn)處的孔隙水壓在40 Hz左右達(dá)到最大值，而飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)該點(diǎn)處孔隙水壓在50 Hz左右達(dá)到最大值。飽和土體中浮置板隧道對(duì)孔隙水壓具有明顯的減小作用，但雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中的上層彈簧、鋼軌對(duì)外圍土體中孔隙水壓基本沒影響，飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)的孔隙水壓曲線幾乎重合在一起。

圖8和圖9是飽和土中兩種浮置板隧道系統(tǒng)徑向、切向位移幅值隨環(huán)向角度變化曲線。可明顯看到，由于荷載非軸對(duì)稱，兩種浮置板隧道系統(tǒng)的位移也不是軸對(duì)稱分布。在30 Hz的低頻荷載作用下，單層梁—隧道—飽和土體和雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)的徑向、切向位移幅值曲線幾乎重合在一起，再次說(shuō)明在低頻范圍內(nèi)雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中的上層彈簧和鋼軌對(duì)隧道系統(tǒng)響應(yīng)的數(shù)值及分布的影響基本上都可以忽略。由于土體材料阻尼和輻射阻尼的作用，隨著土體與隧道間距離的增加，兩種浮置板隧道系統(tǒng)外圍飽和土體的徑向、切向位移幅值均減小。

圖8 飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)徑向位移幅值沿環(huán)向角度的變化曲線

圖9 飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)切向位移幅值沿環(huán)向角度的變化曲線

4 結(jié)論

本文將隧道襯砌模擬為薄壁圓柱殼，飽和土體視為Biot理論中的飽和多孔介質(zhì)，將鋼軌、浮置板當(dāng)成連續(xù)支承的無(wú)限長(zhǎng)Euler梁，根據(jù)隧道的連續(xù)條件和支承彈簧的受力條件，求得點(diǎn)荷載作用下飽和土中兩種浮置板軌道隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。從本文的研究中可以得到如下結(jié)論:

1)點(diǎn)荷載的頻率對(duì)飽和土體中兩種浮置板軌道隧道系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)均有較大影響。

2)由于浮置板的影響，飽和土體中兩種浮置板隧道系統(tǒng)具有減振作用，特別是在高頻范圍內(nèi)，減振作用明顯。

3)在低頻范圍內(nèi)，雙層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)中上層彈簧及Euler梁(鋼軌)對(duì)浮置板、隧道、外圍飽和土體動(dòng)力響應(yīng)的影響可以忽略，因此低頻荷載作用下可以采用較為簡(jiǎn)單的單層梁—隧道—飽和土體系統(tǒng)模擬浮置板隧道。

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Study on dynamic response due to harmonic point load to tunnel with floating slab track

HUANG Xiaoji1，2，F(xiàn)U Mingfu1，XU Bin3
(1．School of Civil Engineering Architecture，Nanchang university，Nanchang Jiangxi 330031，China;2．School of Civil Engineering，East China Jiaotong University，Nanchang Jiangxi 330013，China;3．Department of Civil Engineering，Nanchang Institute of Technology，Nanchang Jiangxi 330099，China)

Assuming the tunnel liner as Flügge thin cylindrical shell and the soil as saturated porous medium，the dynamic response of the tunnel-saturated soil system under non-axisymmetrical harmonic point load is calculated by decomposing the load and dynamic response along ring modes circumferentially and using Fourier transformation．On this base，the dynamic response of single beam-tunnel-saturated soil system and double beam-tunnel-saturated soil system under point load is calculated by taking the floating slab and rail as infinite long Euler beam and considering the interaction among the rail，slab，tunnel-saturated soil system．T he research results showed that the load frequency has a great effect on the dynamic response of floating slab tunnel in saturated soil，the floating slab has obvious damping effect，the influence of upper spring and rail in double beam-tunnel-saturated soil system can be ignored in the low frequency range．

Harmonic point load;Floating slab track;T unnel;Saturated soil;Dynamic response

U451+．3

A

10．3969/j．issn．1003-1995．2015．04．39

1003-1995(2015)04-0150-06

(責(zé)任審編李付軍)

2014-07-26;

2014-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金(51269021);江西省自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(20133ACB20006);江西省教育廳科技項(xiàng)目(GJJ12629，GJJ11253)

黃曉吉(1976—)，女，江西南康人，講師，博士研究生。