趙 莉

青海油田一中

奇妙的圓錐曲線
——一道軌跡問題的探究

趙 莉

青海油田一中

從兩個對立的圓錐上通過不同的截面截取之后，我們分別得到了三種圓錐曲線，這不能不讓人聯(lián)想到三種曲線存在著關(guān)系，果然在一道題目中我就發(fā)現(xiàn)了這種聯(lián)系。

例1已知點A，B的坐標分別是（-1,0），（1,0），直線AM，BM相交于點M，且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是2，求點M的軌跡方程。

這道題母的解答如下：

解：設(shè)直線AM.,BM的斜率分別為kAM和KBM

故可知點M的軌跡為拋物線y=1-x2(x≠±1)看似平常的解答好像沒有什么稀奇，但題目做到這里一個新的想法涌入我的腦海，出于好奇，我將題目作了以下改編：

例2已知點A，B的坐標分別是（-1,0），（1,0），直線AM，BM相交于點M。

直線AM和BM的斜率滿足下列條件時，求點M的軌跡。

（1)斜率之和為常數(shù)λ;

（2)斜率之商為常數(shù)λ;

（3)斜率之積為常數(shù)λ;

其中(λ為常數(shù))解答如下：

(1)若kAM+kBM=λ

化簡后可得，

當λ≠0時，它表示雙曲線

當λ=0時，表示x軸

圖1是λ=1和-1時對應(yīng)的雙曲線：

(2)若kAM/kBM=λ

故可知：當λ≠0時，表示和x軸垂直的直線；

當λ=0時，表示y軸

(3)若kAM?kBM=λ

化簡后得：

故對λ討論可得:

當λ=0時表示x軸；、

當λ?0時，表示焦點在x軸上，中心在原點

的雙曲線；

當λ?0時，若λ?-1，表示焦點在y軸上的橢圓；

若λ=-1，表示單位圓；若-1?λ?0時，表示焦

點在x軸上的橢圓。

通過以上四問的解答，我們通過求經(jīng)過兩定點且相交于一定點的兩直線的斜率的和差積商，分別得到了拋物線，雙曲線，橢圓等三種圓錐曲線，這是一種巧合么，也許未必，仔細對比其與圓錐曲線的第一定義就不難發(fā)現(xiàn)這其中有著內(nèi)在的聯(lián)系性，構(gòu)造中都有一個焦點三角形的存在，或許據(jù)此其他的能夠求得其他得到圓錐曲線的方法，但這僅僅是一種猜想，或許還有待證明其正確性希望能夠得到大家的幫助。

一道題作畢，真是“加減乘除粉墨登場，圓錐曲線各領(lǐng)風騷”?。∠肫鹆岁P(guān)于數(shù)學的一個比喻，數(shù)學好比一棵樹，同根異干，同干異枝，同枝異葉，同葉異花，同花異果！奇異的數(shù)學之美，常常做這樣的嘗試，或許我們會在數(shù)學里找到屬于自己的樂趣！謝謝大家，以上純屬個人愚見，希望得到大家的點。