孔德富，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

一類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步研究

孔德富，趙小山

（天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津300222）

其中x，y，z為系統(tǒng)（3）的狀態(tài)變量，a，b，c為系統(tǒng)的參數(shù)，0＜qi＜1，qi為系統(tǒng)的階數(shù)（i=1，2，3）.當(dāng)a=10，b=

針對一個(gè)三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，分析了其動(dòng)力學(xué)混沌行為，基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性原理，設(shè)計(jì)合適的控制器，并利用Laplace變換實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的混沌投影同步.最后，借助數(shù)值仿真，驗(yàn)證了該結(jié)論的有效性和正確性.

分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)；投影同步；控制器

0 引言

近十幾年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論由于在松弛、震蕩、湍流等方面表現(xiàn)出比整數(shù)階更突出、更誘人的前景，成為當(dāng)前研究熱點(diǎn)[1-3].自1990年，Pecora和Corroll首次在電路實(shí)驗(yàn)中提出驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)法，成功實(shí)現(xiàn)耦合混沌系統(tǒng)同步以來[4]，學(xué)者相繼提出不同的混沌同步方法，如主動(dòng)—被動(dòng)同步分解法[5]、耦合控制法[6]、廣義同步法[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步法[8]等.隨著研究的深入，學(xué)者們實(shí)現(xiàn)了不同類型的混沌同步，有完全同步、廣義同步、投影同步等[9-11].筆者分析了一個(gè)三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)控制器，利用Laplace變換實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)的投影同步，數(shù)值模擬驗(yàn)證了該方法的有效性和正確性.

1 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析

分?jǐn)?shù)階微積分的定義形式多樣，本文用的是Caputo定義[12]，即：

1）式中m=[α]，Jθ是θ階Riemann-Liouville積分算子，它被定義為

其中Г（·）是Gamma函數(shù).

文獻(xiàn)[13]提出了一種三維自治混沌系統(tǒng)所對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)：3，c=17時(shí)，可解得該系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)若設(shè)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)表示為則該系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

由（4）式可得特征方程為：

定理1[14，15]若Jacobian矩陣的特征根滿足

則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.

（1）在平衡點(diǎn)s0=（0，0，0）處的特征多項(xiàng)式（5）變?yōu)?/p>

解得（7）的特征值為λ1=10，λ2=-17，λ3=-3.

根據(jù)定理，由于存在正實(shí)根λ1=10，所以平衡點(diǎn)s0=（0，0，0）不穩(wěn)定.

解得（8）的特征值為λ1=8.513 5+20.216 5i，λ2=8.513 5-20.216 5i，λ3=-27.026 9.

第3個(gè)根是負(fù)根，而第1和第2個(gè)特征值的幅角為|arg（λ1,2）|=66.3°，因此根據(jù)定理，只要α＞0.74，此時(shí)平

衡點(diǎn)s1是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn).

利用Matlab仿真得到當(dāng)q1=q2=q3=0.9時(shí)，其混沌吸引子如圖1所示，通過觀察各個(gè)相平面的吸引子圖，可以清晰地看到該混沌吸引子是雙漩渦結(jié)構(gòu).

圖1 系統(tǒng)（3）的混沌吸引子

2 投影同步與數(shù)值仿真

2.1 投影同步

定理2設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為Dαx（t）=F（x），響應(yīng)系統(tǒng)為Dαy（t）=G（y），x=（x1，x2，…，xn）T∈Rn，y=（y1，y2，…，yn）T∈Rn為相應(yīng)的狀態(tài)變量.定義同步誤差為：

其中e=（e1，e2，…，en）T，ei=yi-αxi（i=1,2，…，n），α稱為比例因子.若存在1個(gè)常數(shù)α（α≠0）使得則稱驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)之間實(shí)現(xiàn)了投影同步.

2.2 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

響應(yīng)系統(tǒng)為

其中u1（t），u2（t），u3（t）為系統(tǒng)同步控制變量.

定理3其投影同步誤差設(shè)為e1=y1-αx1，e2=y2-αx2，e3=y3-αx3，其中α為投影同步比例因子.令控制器為：

則驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）達(dá)到同步.

證明由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）計(jì)算得到誤差系統(tǒng)為：

接下來對（13）式兩邊求Laplace變換，則令：E1（s）=L（e1（t）），E2（s）=L（e2（t）），E3（s）=L（e3（t）），并利用可以得到：

由（14）式計(jì)算得：

根據(jù)Laplace變換理論終值定理，有：

假設(shè)E1（s），E2（s），E3（s）均有限，那么可得這證明驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）和響應(yīng)系統(tǒng)（11）達(dá)到同步.

2.3 數(shù)值仿真

根據(jù)預(yù)估-校正算法，通過數(shù)值仿真來驗(yàn)證所設(shè)計(jì)方法的正確性.選取系統(tǒng)的階數(shù)q1=q2=q3=0.9，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)（10）的初始值（x1（0），x2（0），x3（0））=（1,3,2），響應(yīng)系統(tǒng)（11）的初始值（y1（0），y2（0），y3（0））=（1,2,-0.1），投影比例因子α=0.3，得到誤差系統(tǒng)的時(shí)間歷程圖如圖2所示，可以觀察到隨著時(shí)間t的增長，各條誤差曲線快速的趨于0，即：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)通過投影同步控制實(shí)現(xiàn)了自結(jié)構(gòu)同步.

圖2 誤差系統(tǒng)（13）的時(shí)間歷程圖

3 結(jié)論

針對一個(gè)三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，基于分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論，計(jì)算了該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，分析了該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性；隨后，設(shè)計(jì)了合理的投影同步控制器，利用Laplace變換給予嚴(yán)格證明，最后數(shù)值仿真驗(yàn)證其正確性.

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（責(zé)任編輯 鈕效鹍）

Projective Synchronization Study of Fractional Order Chaotic Systems

KONG De-fu，ZHAO Xiao-shan
（School of Science，Tianjin University of Technology&Education，Tianjin 300222，China）

In view of a three-dimensional fractional order chaotic system，this paper analyzes its chaos dynamic behavior.A reasonable controller is designed by using the fractional stability theory.The problem of projective synchronization of the chaotic system is investigated based on the Laplace transform.At last，numerical simulations are used to illustrate the effectiveness and correctness of proposed synchronization method.

fractional order chaotic system；projective synchronization；controller

TP273

：A

：1673-1972（2015）06-0033-05

2015-06-03

國家自然科學(xué)基金（11302158；11302148）；天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)研究生創(chuàng)新基金（YC14-14）

孔德富（1988-），男，河北邯鄲人，碩士研究生，主要從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)混沌同步研究.