趙廣平

(1.復(fù)旦大學(xué)社會發(fā)展與公共政策學(xué)院，上海200062;2.閩南師范大學(xué)教育系，漳州363000)

多維尺度分析法(multidimensional scaling，簡稱MDS)是一種多變量的探索性數(shù)據(jù)分析技術(shù)，能夠推斷出被試知覺空間的維度。該技術(shù)將大型數(shù)據(jù)壓縮到低維空間，形成直觀的空間地圖。以空間中的“點”表示對象，點間距表示對象的相似度或相異性。MDS 處理的原始數(shù)據(jù)是一種對刺激或?qū)ο箝g的整體相似性和相異性進行度量的數(shù)據(jù)，并不嚴(yán)格要求數(shù)據(jù)的正態(tài)分布假設(shè)(Jaworska ＆ Chupetlovska-Anastasova，2009)具有很強的數(shù)據(jù)適應(yīng)性。

1 MDS 原理簡介

根據(jù)原始數(shù)據(jù)的計量水平，可把MDS 分為計量(metric)和非計量(non -metric)的。計量MDS 技術(shù)假定對象間的相似性矩陣數(shù)據(jù)呈現(xiàn)了矩陣的屬性，就像地圖上測得的距離一樣。人們能夠通過什么方法知道地圖上兩個城市A 與B 之間的距離呢?一種方法是通過量尺來測量;另一種方法也可以通過2 維空間坐標(biāo)系確定兩城坐標(biāo)A(Xa，Ya)和B(Xb，Yb)來計算其距離dab，常用的歐式距離就定義為:

反過來，如果人們知道城市間的距離，是否可能根據(jù)距離畫出地圖呢?Torgerson 首次解決了該問題。算法涉及線性代數(shù)的知識，距離采用歐式距離，這是一種構(gòu)建MDS 空間的優(yōu)先選擇的距離算法。當(dāng)然，還有非歐距離，這受到具體研究問題的約束(Torgerson，1952)。

非計量MDS 技術(shù)是由Shepard 和Kruskal 發(fā)展起來的，主要運用對象間的排序信息構(gòu)建空間，通過相似性的單調(diào)轉(zhuǎn)換，得到等級相似性(Shepard，1980)?；静襟E是:首先找到一個隨機匹配點(如通過正態(tài)分布進行取樣);接著計算點間距，再進一步找到描述相似性的最佳數(shù)據(jù);緊接著根據(jù)最優(yōu)數(shù)據(jù)和估算距離之間的應(yīng)力系數(shù)，找到新的匹配點，并將所得應(yīng)力系數(shù)和某標(biāo)準(zhǔn)比較。如果應(yīng)力值達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)則退出算法，否則返回繼續(xù)優(yōu)化。非計量MDS 算法的核心是一個雙重優(yōu)化的過程，根據(jù)相似性的最優(yōu)單調(diào)轉(zhuǎn)換，最優(yōu)排列對象點(Shepard，1962)。

由于計量的MDS 空間算法涉及原始數(shù)據(jù)提供的所有信息，因而其保存了對象間相似性或距離的全部信息，是一種很好的數(shù)據(jù)處理技術(shù)。但它對數(shù)據(jù)的計量水平有很高要求，這限制了其現(xiàn)實應(yīng)用的適應(yīng)性。相比之下，由于對原始數(shù)據(jù)計量水平要求較低，非計量MDS 只假定對象間的順序信息是有意義的，點間距的等級只能盡可能反映對象間相似性或距離的部分信息。正因為此，非計量MDS 技術(shù)對很多測量方法和數(shù)據(jù)具有更大適應(yīng)性。

下文在簡述MDS 的應(yīng)用規(guī)范基礎(chǔ)上，對Mayzner(1965)關(guān)于模式識別的早期研究(字母辨別實驗)進行再分析，主要是對25 個字母的混淆矩陣進行MDS 分析(Appelman ＆ Mayzner，1982;梁寧建，2003)，試圖闡明和驗證MDS 技術(shù)在認(rèn)知心理學(xué)研究中的獨特適用性和恰當(dāng)性。

2 數(shù)據(jù)收集方法:直接和間接

對數(shù)據(jù)進行MDS 分析主要是尋找眾多對象空間分布的過程，以測查對象的整體相似性和相異性程度，常被稱為相似性或相異性推導(dǎo)。數(shù)據(jù)通常排列在一個平方矩陣(相似矩陣或距離矩陣)內(nèi)。根據(jù)相似性數(shù)據(jù)收集的方式分為:直接方法和間接方法(Torgerson，1952;趙守盈，呂紅云，2010)。下面分別簡述。

2.1 直接方法

直接收集相似性數(shù)據(jù)的方法就是要求被試將數(shù)字相似性或相異性的度量值分配給每對刺激，也可以根據(jù)刺激的相似性或相異性對刺激進行等級排序。排序的方式有很多，比如兩兩比較排序法、一對多的比較排序法、偏序排序法和歸類排序法等。直接等級評定的好處是:數(shù)據(jù)可以直接用于MDS 分析，并通過相似矩陣的平均值對每個被試進行個別分析(對被試的分析)和整體分析(對變量的分析)。其缺點是，當(dāng)對象數(shù)量稍有增加時，總數(shù)據(jù)量就會猛增。

兩兩比較排序法。向被試呈現(xiàn)刺激的所有可能配對(總配對數(shù)是n(n-1)/2，n 是對象數(shù)量)，要求被試使用量表(如2 點或5 點量表)，數(shù)字越小表示對象間越相似，數(shù)字越大表示越不相似。據(jù)此規(guī)則比較排序每對刺激。該方法得到的相似性關(guān)系是對稱的，但不對稱的相似性關(guān)系也可能出現(xiàn)，比如混淆數(shù)據(jù)(見表1)，在SPSS 軟件的MDS 程序中有不對稱矩陣的命令選項。

一對多的比較和歸類排序法。由Rao 提出，具體操作是:要求被試按照某標(biāo)準(zhǔn)從眾多刺激中選出一個刺激作為比較刺激，再將比較刺激與其余刺激一一比較，再對挑選出的刺激進行相似性排序。重復(fù)該比較過程，直到所有的對象都有了自己的等級序數(shù)。當(dāng)比較刺激與某些對象相比，難以或者無法給出排序值時，可以將其空缺。這叫一對多比較的偏序法(partial order)，該排序法允許缺失值的存在。另外，Rao 也提出另一種方法，即歸類法。具體操作是:要求被試根據(jù)刺激的相似程度，把最相似的刺激歸為一組，再根據(jù)組與組間的相似性對組進行歸并，直到將所有刺激歸為一大組，以兩個刺激被歸為同一組的次數(shù)作為相似性數(shù)據(jù)(Rao ＆ Katz，1971)。

2.2 間接方法

與直接方法相比，間接方法并不要求被試直接指定數(shù)值，主要通過其他的方法獲得相似性矩陣(如相關(guān)矩陣和混淆矩陣等)。

心理學(xué)研究中廣泛使用相關(guān)分析，當(dāng)使用不同量尺測量同一被試或者根據(jù)某一標(biāo)準(zhǔn)匹配被試時，就能產(chǎn)生相關(guān)矩陣。有時很難發(fā)現(xiàn)相關(guān)矩陣的潛在結(jié)構(gòu)，探索性和驗證性因素分析都是研究相關(guān)矩陣結(jié)構(gòu)的高級多元統(tǒng)計方法(Tucker - Drob ＆ Salthouse，2009;趙廣平，曾天德，2009)。但它們主要建立在等距或等比測量的基礎(chǔ)上，而MDS 技術(shù)對數(shù)據(jù)類型并沒有嚴(yán)格限定，可以處理類別和順序數(shù)據(jù)。其解決方案是根據(jù)刺激間的距離，將刺激標(biāo)示在平面圖上，這就可以直接觀察數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)。與因素分析技術(shù)相比，MDS 分析還有另外的優(yōu)勢:MDS 分析可以分析那些刺激或?qū)ο蟮臏y量尺度、概念維度或刺激屬性未知的變量，而因素分析則必須建立在測量尺度和概念維度已知的情況下?；煜龜?shù)據(jù)是指被試對兩刺激的混淆次數(shù)，即被試把某一對象刺激錯誤地判斷為另一刺激的頻次或頻率，這也是MDS 分析的間接數(shù)據(jù)之一。

綜上所述，直接和間接的方法都是為MDS 過程的數(shù)據(jù)輸入服務(wù)的，最終都會產(chǎn)生相似矩陣。在實際研究中，直接方法要求被試直接判斷客體對象的相似性或相異性，而間接方法并不需要如此，非常適合對以往經(jīng)典研究文獻(xiàn)匯報的間接數(shù)據(jù)進行二次分析。

下文以知覺領(lǐng)域的早期研究——Mayzner 的字母混淆實驗為案例和數(shù)據(jù)來源(見表1)，研究混淆數(shù)據(jù)矩陣的MDS 分析過程，以探究MDS 在這一領(lǐng)域的適用性，更好地挖掘前人的研究數(shù)據(jù)。

3 字母混淆矩陣的MDS 分析

知覺的特征匹配理論認(rèn)為，各種刺激在長時記憶系統(tǒng)中的形式，既不是模板(模板匹配理論)，也不是原型(原型理論)，而是刺激的基本特征和屬性。比如字母“A”，其刺激特征就是兩條線段和一個連接它們的短橫線。在模式識別過程中，被試對呈現(xiàn)的刺激，首先要分析和抽取其特征或?qū)傩?，再將抽取出來的特征或?qū)傩约右院喜⒄?，最后整合后的刺激模式與長時記憶中存儲的各模式比較。一旦外部刺激模式與大腦內(nèi)部的刺激模式獲得最佳匹配，模式就獲得了識別。

3.1 研究假設(shè)

根據(jù)特征匹配理論可知:兩個刺激的特征差別越大，被試越容易區(qū)分，而對于相似的刺激更容易發(fā)生混淆(Appelman ＆ Mayzner，1982)。

3.2 實驗步驟

Mayzner 以25 個英文字母(不包括“Q”字母)為實驗刺激，使用速視器，按照5 種呈現(xiàn)時間(12ms、14ms、16ms、18ms 和20ms)，逐個隨機呈現(xiàn)字母刺激。要求被試完成125 次(25 字母×5 呈現(xiàn)時間)字母識別任務(wù)。

3.3 實驗結(jié)果

從實驗步驟可知，被試是把看到的一個字母刺激與記憶中儲存的25 個字母進行一對多的比較，并據(jù)此做出反應(yīng)的。這說明，該實驗的混淆矩陣來自一對多的比較排序法。表1 數(shù)據(jù)是25 個字母兩兩混淆的頻次。其左上角第1 行第2 列的數(shù)字“2”表示:當(dāng)呈現(xiàn)字母“B”時(行字母)，所有被試把“B”錯判為“A”(列字母)的頻次是“2”。而被試把“A”錯誤判斷為“B”的頻次卻是“10”(第2 行第1 列)，可知被試把“A”錯判為“B”的次數(shù)并不等于把“B”錯判為“A”的次數(shù)(“2 ≠10”)，矩陣為非對稱矩陣。數(shù)據(jù)矩陣的對稱性影響相似矩陣的算法，在MSD 的分析中是必須考慮的。

表1 25 個字母的混淆矩陣

3.4 數(shù)據(jù)處理與分析

使用SPSS19.0 完成數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)錄、轉(zhuǎn)換和處理工作。

原實驗者對表1 數(shù)據(jù)做了初步統(tǒng)計分析:(1)通過直條圖分析(橫坐標(biāo)為5 種呈現(xiàn)時間;縱坐標(biāo)為字母正確識別次數(shù))。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，被試對字母正確識別的次數(shù)會隨著呈現(xiàn)時間的增加而增多;(2)把每個字母的混淆頻次與5 種呈現(xiàn)時間進行交叉統(tǒng)計。結(jié)果表明，具有相似特征的字母，被試更容易混淆，而特征差別較大的刺激不易混淆。

隨著高級多元統(tǒng)計技術(shù)的發(fā)展，使用MDS 技術(shù)對Mayzner 的實驗數(shù)據(jù)進行重新分析，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)處理結(jié)果雖與原實驗者大體一致，但也挖掘到新的信息。從表1 可知，混淆矩陣中的最高頻次達(dá)到了96，雖然頻次屬于非計量數(shù)據(jù)，但量尺全距足夠大，可以近似采用計量MDS 分析;由于混淆矩陣是非對稱陣，MDS 采用非對稱距離矩陣算法;由于MDS 的3 維空間分布圖并不直觀，采用2 維空間分析。結(jié)果顯示，MDS 的2 維空間分布圖(見圖1)把25 個字母分為四類。其決定系數(shù)(RSQ)為0.47;應(yīng)力系數(shù)(Stress)為0.34。這兩個指標(biāo)都是數(shù)據(jù)處理的擬合指數(shù)，RSQ 表示歐氏距離模型解釋實際數(shù)據(jù)方差的百分比;Stress 通常用于判斷擬合度，值越低擬合越好，反之亦然。Kruskal 提供了應(yīng)力系數(shù)值的使用準(zhǔn)則(Jaworska ＆ Chupetlovska - Anastasova，2009)如表2 所示:

表2 應(yīng)力大小和擬合程度的對應(yīng)關(guān)系

根據(jù)表2 準(zhǔn)則可知，對25 個字母的混淆矩陣進行MDS 分析的恰當(dāng)性是保守的。這可能與原實驗的被試量較少，或者刺激快速呈現(xiàn)導(dǎo)致被試判斷干擾較大有關(guān)。也可能與該實驗的任務(wù)操作有關(guān):呈現(xiàn)刺激消失后，要求被試產(chǎn)生字母，這種任務(wù)操作容易受到很多因素的干擾。以上因素都會造成混淆矩陣數(shù)據(jù)具有很大隨機誤差或無關(guān)變異，因而對待該實驗的結(jié)果需要謹(jǐn)慎。但也要注意，在MDS 文獻(xiàn)中有很多不同的應(yīng)力公式。Kruskal 準(zhǔn)則只適用于計量MDS，實際應(yīng)用中很容易被濫用，而且其值會隨著維數(shù)的增加而降低。一般來說，2 維空間的應(yīng)力值高于3 維空間。另外，應(yīng)力系數(shù)的絕對值只是擬合程度的模糊指示。碎石圖和Shepard 圖也可以用來判斷MDS 足夠性的參考(Jaworska ＆ Chupetlovska-Anastasova，2009)，這里不再贅述。

圖1 25 個字母的歐氏距離空間分布圖

從圖1 可知，MDS 分析結(jié)果與原實驗結(jié)果相一致。原實驗發(fā)現(xiàn)，C 和O、E 和F、N 和M、T 和I 等字母容易混淆;而G 和W、H 和I、F 和O、S 和T 等字母不易混淆。圖1 顯示，易混淆字母都被分配在同一空間，而不易混淆字母都在不同空間。比如，C 和O 都被分配在左上象限。MDS 以平面空間的形式呈現(xiàn)實驗結(jié)果，較之原作者只呈現(xiàn)字母混淆頻次的方式，顯然直觀得多。與原實驗結(jié)果不相符的是字母對C 和S、V 和D。Mayzner 認(rèn)為，C 和S 具有更加相似的特征而更易混淆，但圖1 中C 卻位于左上象限，而S 位于左下象限，且距離很大;Mayzner 認(rèn)為V和D 的特征差別很大而不易混淆，但圖1 中V 和D都在第二象限中，距離較近。

如果抽取圖1 中同一象限字母群的共同特征，不難發(fā)現(xiàn)，除了字母的視覺特征相似性之外，被試書寫字母的動作特征也很可能是一個不容忽略的影響因素。這一點是否涉及到具身認(rèn)知(embodied cognition，Goldman ＆ de Vignemont，2009)等內(nèi)容，需進一步研究。比如，右上象限的字母(W、T、Y、X、M、N和I)的共同特征是書寫動作大多包含單調(diào)直線運動;左上象限(O、D、J、U、V、L 和C)則大多包含單調(diào)曲線或折線運動;左下象限(E、F、S、B、Z 和G)是交替的左右運動;右下象限(H、A、R、P 和K)是以一條豎線起筆向右書寫一筆或兩筆)。如果僅僅根據(jù)視覺特征的相似性分類，I、J 和L 可能更應(yīng)該屬于同一群組，但數(shù)據(jù)的信息卻并非如此。

需要特殊說明的是，歐式空間中各個象限空間是連續(xù)的，不是絕對割裂的。有些字母雖然分屬不同的空間象限中，但它們的距離并不很遠(yuǎn)，如果分布在數(shù)軸附近，也可以把這些字母進行單獨歸類。比如圖1 中L、C 和G、還有F 和P 雖分屬不同象限，但它們很顯然具有視覺上的共同特征，也可歸為一類。

3.5 討論

混淆數(shù)據(jù)的優(yōu)點是刺激的相似性判斷建立在感知水平上，沒有涉及太多的認(rèn)知加工過程。通過以上分析可知，MDS 技術(shù)可以揭示非常基礎(chǔ)的知覺層面的加工特點。要說明的是，以上數(shù)據(jù)分析是建立在應(yīng)力系數(shù)比較高的基礎(chǔ)上的，歐氏距離模型擬合不是最佳水平，進一步的研究需要收集大樣本數(shù)據(jù)量，以及對實驗設(shè)計進行更合理的調(diào)整。另一方面，混淆數(shù)據(jù)通常是不對稱的，不能夠進行個別數(shù)據(jù)分析，只能在整合所有被試結(jié)果的基礎(chǔ)上進行整合分析。最后，MDS 分析發(fā)現(xiàn)的字母識別可能與書寫動作有關(guān)，這一推斷提示，Mayzner 的字母混淆實驗可能要控制被試的左右利手特征，這種控制可能提高混淆矩陣的歐氏距離模型擬合程度。

4 結(jié)論

對Mayzner 字母混淆實驗進行MDS 技術(shù)進行再分析的結(jié)果一定程度上支持知覺的特征匹配理論，這與原實驗者的結(jié)論相一致。但也有新的發(fā)現(xiàn):在快速呈現(xiàn)字母的情況下，被試對字母的辨別可能受到字母的書寫動作特征的影響，這一發(fā)現(xiàn)的更深層機制需進一步研究。

以上研究表明，MDS 分析法對于認(rèn)知心理研究中間接數(shù)據(jù)的處理是恰當(dāng)?shù)?，可以更好地挖掘混淆?shù)據(jù)的信息。由于這一特點，使用MDS 對心理學(xué)早期由于受到當(dāng)時研究條件限制而無法進一步分析的研究數(shù)據(jù)進行再挖掘和再處理，可能是很有意義的。

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