邵任翔，萬 麗

邵任翔/廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院講師，碩士（廣東廣州 510006）；萬麗/廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院教授，博士（廣東廣州 510006）。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，訓(xùn)練非常重要。通過解題訓(xùn)練對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力非常有效。數(shù)學(xué)習(xí)題的組成部分包括已知條件、計(jì)算過程和實(shí)現(xiàn)目的。習(xí)題教學(xué)主要有以下幾方面的功能。

1.學(xué)生可以通過習(xí)題課發(fā)現(xiàn)自己平時(shí)在學(xué)習(xí)過程中所遇到的問題，從而有針對性地補(bǔ)充相關(guān)的知識。

2.激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的解題能力。學(xué)生的解題能力提高了，有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心。

3.拓展和延伸學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性。讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力，讓學(xué)生養(yǎng)成愛思考、會思考的習(xí)慣。

發(fā)散思維（Divergent Thinking），又稱輻射思維、放射思維、擴(kuò)散思維或求異思維，是指大腦在思維時(shí)呈現(xiàn)的一種擴(kuò)散狀態(tài)的思維模式，它表現(xiàn)為思維視野廣闊，思維呈現(xiàn)出多維發(fā)散狀。不少心理學(xué)家認(rèn)為，發(fā)散思維是創(chuàng)造性思維的最主要的特點(diǎn)，是測定創(chuàng)造力的主要標(biāo)志之一。培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維應(yīng)該是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的之一。[1]

在習(xí)題的設(shè)計(jì)上，我們要遵循基礎(chǔ)為主、兼顧綜合的原則，做到環(huán)環(huán)相扣，逐步提高。既要有基本的練習(xí)，又要有一些跳躍性的習(xí)題，還要有一些綜合性較強(qiáng)的練習(xí)，這樣有利于學(xué)生加強(qiáng)實(shí)踐，拓展思維，促進(jìn)知識向技能的轉(zhuǎn)化。

一、現(xiàn)階段教材及教學(xué)所欠缺的地方

在高等數(shù)學(xué)的教材和考試中，我們習(xí)慣給出一些計(jì)算題和證明題。這兩類題目所共有的特點(diǎn)就是：題目已經(jīng)暗示你可以算出它的解析解，并且我們所要證明的命題也一定是真命題。但實(shí)際上，對于很多問題，我們無法算出它的解析解，對于很多命題，其實(shí)它本身是假命題。所以對于學(xué)生而言，他們需要明白，哪些問題其實(shí)是無法求出解析解，而只能求數(shù)值解。對于有些命題，我們事先并不知道它是真命題還是假命題，則需要我們首先做出判斷，如果是真命題，需要證明；如果是假命題，需要舉出反例。

我們的教材過于強(qiáng)調(diào)驗(yàn)證知識，而不是發(fā)現(xiàn)知識，缺少思路啟發(fā)，或者說過于強(qiáng)調(diào)演繹推理，而不是歸納發(fā)現(xiàn)。知識的發(fā)現(xiàn)和驗(yàn)證都是不可或缺的重要方面，有利于提高學(xué)生們的主動創(chuàng)造能力。

現(xiàn)實(shí)的習(xí)題教學(xué)實(shí)踐中，存在著這樣一種值得我們注意的現(xiàn)象：在某種程度和范圍內(nèi)，教師由于對某一問題認(rèn)識不足或雖然重視卻又缺乏深入研究的現(xiàn)象，導(dǎo)致了在習(xí)題教學(xué)中對解題方法的基本要素的把握嚴(yán)重欠缺，更談不上對其主要思想和基本方法的探索。[5]

二、對現(xiàn)階段高等數(shù)學(xué)教學(xué)的一些改進(jìn)

針對以上出現(xiàn)的問題，本人建議在例題、習(xí)題和考試中，增加以下題型，以拓展學(xué)生的發(fā)散思維。

1.錯(cuò)題教學(xué)。給出錯(cuò)題，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，并給出正確的解法。我們看下面這道題：

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)a處具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。

錯(cuò)誤的原因在于f（x）在點(diǎn)a處二階可導(dǎo)，不能推出f(x)在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，故不能在第一個(gè)等式之后再用羅必塔法則。應(yīng)用二階導(dǎo)數(shù)的定義可以證明這道題。這種題型的好處在于不僅讓學(xué)生求解或者證明一道題，而且讓學(xué)生糾正錯(cuò)誤的解法，避免以后發(fā)生相同的錯(cuò)誤。

2.反例教學(xué)。給出命題，讓學(xué)生判斷對錯(cuò)，如果是真命題，需要證明；如果是假命題，需要舉出反例。并且通過修改假命題的條件，可以把假命題更改為真命題。我們看下面這道題:

3.補(bǔ)充證明。對于一些較長或者較難的證明題，空出關(guān)鍵部分，讓學(xué)生補(bǔ)充證明。這種題型在程序員考試中經(jīng)常出現(xiàn)，但是在數(shù)學(xué)考試中很少出現(xiàn)。

我們看下面一道題：補(bǔ)充完整，使證明正確。

現(xiàn)設(shè) M0＞0,M2＞0，利用泰勒公式，?ξ?( ， )，使f由此得到于是證得

這道題，大多數(shù)人應(yīng)該知道證明在于構(gòu)造f（x）與f″（x）的關(guān)系，但是在哪個(gè)點(diǎn)利用泰勒公式展開是問題的關(guān)鍵。這種題型的好處在于降低了證明題的難度，而在一定程度上考察了學(xué)生的自學(xué)能力，也就是現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用的能力。這樣對于一些太難的證明題也可以放到試題中去讓學(xué)生補(bǔ)充證明。并且在改卷的時(shí)候，可以降低教師的工作量。當(dāng)然，缺點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生必須按照命題者的思路解答問題。

4.一題多解。[3]在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中適當(dāng)?shù)厥褂谩耙活}多解”,不僅有利于學(xué)生創(chuàng)造性思維、發(fā)散性思維的培養(yǎng),有利于開拓學(xué)生解題思路,提高學(xué)生靈活地、綜合地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力,而且有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,提高學(xué)習(xí)興趣等。

設(shè)f（x）在[a,b]上有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且f″（a）=求證：

證法1：因?yàn)閒（x）在[a,b]上有一階導(dǎo)數(shù)對于任意x?[a,b]，在[a,x]上使用拉格朗日中值定理可知，存在ξ?[a,x]?[a,b]，使得：f（x）-f（a）=f′（ξ）(x-a)。又因?yàn)閒（a）=0，所以：

證法 2：因?yàn)閒（x）在[a,b]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而且f（a）=0，則對于任意 x?[a,b]，有

所以：

解題關(guān)鍵在于利用分部積分，使f（x）與f′（x）聯(lián)系起來。

5.一題多變。[4]在教學(xué)中，如果我們能注意一題多變的處理，將有利于培養(yǎng)學(xué)生多種優(yōu)良的思維品質(zhì)，提高其素質(zhì)，達(dá)到許多教學(xué)方式難以達(dá)到的目的。一題多變的運(yùn)用主要有：更換條件與結(jié)論、改變題目的條件、增加或減少題目的條件等。下面結(jié)合在微分方程教學(xué)中講解二階常系數(shù)線性微分方程的解為例談?wù)勔活}多變的應(yīng)用實(shí)踐。

特解形式的假設(shè)是解常系數(shù)線性微分方程的關(guān)鍵。我們知道“一個(gè)非齊次線性微分方程的通解=對應(yīng)齊次線性微分方程的通解+非齊次線性微分方程自身的一個(gè)特解”。 并且知道 y″+py′+qy=pn(x)eλx特解形式中，Q(x)是一個(gè)與 pn(x)n有相同次數(shù)的多項(xiàng)式，k是一個(gè)整數(shù):

(1)當(dāng)λ不是特征根時(shí)，k=0；

(2)當(dāng)λ是特征根時(shí)，但不是重根時(shí)，k=1；

(3)當(dāng)λ是特征根時(shí)，且是重根時(shí)，k=2.

我們可以在求解“求方程 y″-2y′-3y=3x+1(p≠0，q≠0)的一個(gè)特解”的基礎(chǔ)上，變化出（1）y″-2y′=3x+1(變右不變左，p≠0，q≠0)（2）y″-2y′-3y=2xex(變右不變左，λ 不是特征根)（3）y″-2y′-3y=3e-x(變右不變左，λ是特征根，但不是重根)（4）y″+y=-sin2x（±2i不是特征根）（5）y″+y=cosx(±i是特征根)。

這幾道題基本包含了二階常系數(shù)齊次線性微分方程三種類型的各種情況，使學(xué)生通過練習(xí)，不僅加深和鞏固了這部分知識，而且減少了特征根的重復(fù)計(jì)算，節(jié)省了時(shí)間和精力，達(dá)到了應(yīng)有的目的。

6.開放問題。所謂開放問題，是指該問題并沒有唯一答案，而是促發(fā)學(xué)生思考，提出自己的看法，類似于讓學(xué)生完成一篇小論文。

我們知道隱函數(shù)定理講述了：一元隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以由其所對應(yīng)二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)表示?；蛘哒f一元隱函數(shù)的某些重要性質(zhì)可以由所對應(yīng)的二元函數(shù)確定。但是隱函數(shù)的性質(zhì)能否影響其對應(yīng)的二元函數(shù)的性質(zhì)呢？這類問題我們在講述隱函數(shù)定理時(shí)極少討論。

該問題的討論，我們可以遵循從具體到抽象的原則。先討論一些具體的函數(shù)，然后討論抽象函數(shù)，判斷它們的性質(zhì)之間有什么聯(lián)系。

比如在經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們經(jīng)常見到的二元效用函數(shù)y=u(x1，x2)，其所決定的一元隱函數(shù) u（x1，x2）=c(c＜0)具有單調(diào)遞減、下凸的性質(zhì)。由此推斷效用函數(shù)y=u(x1，x2)的一些性質(zhì)。

顯然二元函數(shù)y=u(x1，x2)如果具有性質(zhì)：

如果一元隱函數(shù) u（x1，x2）=c（c＞0）具有單調(diào)遞減、下凸的性質(zhì)，那么二元函數(shù)y=u(x1，x2)具有什么性質(zhì)？顯然（*）式所具有的性質(zhì)不一定完全成立，但是二元函數(shù) y=u(x1，x2)的性質(zhì)必定受u(x1，x2)=c的性質(zhì)制約。在這里我們可以先尋找一些具體的效用函數(shù)，比如等。我們可以先研究這些具體隱函數(shù)u（x1，x2）=c 的性質(zhì)和具體二元函數(shù) y=u(x1，x2)性質(zhì)之間的聯(lián)系，再去推斷抽象函數(shù)性質(zhì)之間的聯(lián)系。

開放問題雖然不適合在考試中選用，但是非常適合學(xué)生在平時(shí)作業(yè)中完成，可以鍛煉學(xué)生的創(chuàng)造性和發(fā)散思維。

[1]百度百科：http://baike.baidu.com/link?url=t8WhmuiAckanP3X_l_niHOdQY03hWCjZefrYrHDeWxOwOgy9v P1w69INFyr_yYknA54HSYBMEJrK98tCiEOtYK

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2011.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1996.

[4]李治飛,陳清江.一道積分不等式的多種證法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2011(1).

[5]趙云河.一題多變在培養(yǎng)學(xué)生在求異思維中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2012(10).

[6]楊啟祥,周長軍.中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題教學(xué)芻議[J].科學(xué)教育創(chuàng)新，2008(16).