王 毅，宋衛(wèi)東，宋謝恩，張曉強

（1.軍械工程學(xué)院 火炮工程系，石家莊050003；2.空軍指揮學(xué)院，北京100097）

固定鴨舵式二維彈道引信是近年來提出的新概念［1］，通過替換原有引信即可實現(xiàn)彈藥的信息化改造，是榴彈智能化、信息化的重要手段，是當(dāng)前研究的重點和熱點。

基于落點預(yù)測的修正控制策略是彈道修正的手段之一，該策略通過預(yù)測彈丸落點偏差計算控制信號并控制作動器動作，進而實現(xiàn)彈道修正。落點預(yù)測的方法主要分為彈道積分外推和多項式擬合2種。彈道積分外推是指根據(jù)某一點的狀態(tài)變量初值和彈丸總體參數(shù)利用彈道模型進行彈道的數(shù)值積分直至彈丸落地，即可獲得落點坐標(biāo)。Fresconi、Cooper和Costello等深入探討了不同彈道模型下的彈道外推所預(yù)測的落點精度，指出輸入?yún)?shù)越多，彈道模型越復(fù)雜，預(yù)測落點的精度越高［2－4］。多項式擬合的方法是指利用狀態(tài)變量和落點的關(guān)系擬合出相應(yīng)的多項式來預(yù)測彈丸落點，該方法包括回歸法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。張成采用回歸方法建立了表征彈道參數(shù)與射程之間的多項式關(guān)系的射程預(yù)測方程［5］。該方法具有輸入?yún)⒘可佟⒂嬎闼俣瓤斓膬?yōu)點，但解算精度有待提高。Ghosh等和曹營軍提出了基于離線訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的落點預(yù)測算法［6－7］。該算法對固定條件下的彈道具有較高的預(yù)測精度，但應(yīng)用范圍較窄。Kramer等提出了通過在線訓(xùn)練彈道模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對彈箭落點進行預(yù)測［8］。該方法對無控彈箭具有較高的預(yù)測精度，但對有控彈箭適用性不強。

二維彈道修正引信要求制導(dǎo)控制系統(tǒng)具有很高的集成度，且有成本限制，制約了彈上機的內(nèi)存和實時計算速度。由于計算量太大，彈道積分外推法不適合在修正引信上使用，而多項式擬合法的精度和適用范圍限制了其應(yīng)用。

依據(jù)彈道導(dǎo)彈關(guān)機點參數(shù)預(yù)測落點偏差的理論［9］，李超旺等針對脈沖修正火箭彈提出了基于攝動原理的火箭彈落點實時預(yù)測算法，采用二階偏導(dǎo)數(shù)預(yù)測火箭彈的落點偏差［10］。該方法計算量小，具有較高精度，但文獻(xiàn)未給出該方法的數(shù)學(xué)原理及具體的使用方法。

本文以安裝二維彈道修正的某型榴彈為研究對象，介紹了攝動落點偏差預(yù)測的數(shù)學(xué)原理，給出了其數(shù)值解法，并通過仿真的手段闡述了其應(yīng)用過程和預(yù)測精度。

1 攝動落點偏差預(yù)測原理

假定X0（x0，y0，z0）和XT（xT，yT，zT）分別為發(fā)射系中發(fā)射點和目標(biāo)點坐標(biāo)。若彈丸初速一定，則在不加入任何彈道修正的情況下命中目標(biāo)點的彈道曲線是唯一的（火炮射角均在一定范圍內(nèi)選?。?，稱該彈道為基準(zhǔn)彈道。然而，彈丸飛行過程中，由于總體參數(shù)偏差、氣動參數(shù)偏差、風(fēng)等干擾因素的存在，彈道將偏離基準(zhǔn)彈道造成彈丸落點的偏差，則稱該彈道為擾動彈道。

剛體彈道模型和修正質(zhì)點彈道模型都通過計算彈軸與合速度的夾角（總攻角）來計算彈丸受力，從而求解彈丸的速度和位置。剛體彈道模型中繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的方程和修正質(zhì)點彈道模型中動力平衡角求解的方程均可作為質(zhì)心運動的附屬方程，可用來計算總攻角。因而，可將vx，vy，vz，x，y，z作為描述彈丸運動的狀態(tài)變量。

定義XT＝Φ（x，y，z，vx，vy，vz）為基準(zhǔn)彈道的函數(shù)表達(dá)式，函數(shù)以x為自變量，以vx，vy，vz，y，z為狀態(tài)變量，且函數(shù)在任意一點連續(xù)可微。令Xlm（xlm，ylm，zlm）為擾動彈道的落點。若落點Xlm與目標(biāo)點XT距離較近，可在基準(zhǔn)彈道任一點X（x，y，z）處采用泰勒展開的方法計算擾動彈道的落點坐標(biāo)（僅給出二階泰勒展開），即

式中：Φx，Φz分別為射程和橫偏的函數(shù)；Xp＝（ΔvxΔvyΔvzΔyΔz）T，其中，Δvx，Δvy，Δvz，Δy，Δz為射程x處的狀態(tài)變量的偏差量；V＝（vxvyvz）；Rx（X，V），Rz（X，V）分別為落點縱向坐標(biāo)x1m、橫向坐標(biāo)z1m泰勒展開的拉格朗日余項。則式（1）整理可得：

式中：DL，DH分別為縱向、橫向的落點偏差。

若泰勒展開滿足一定的精度，即余項的絕對值小于某一特定值，則可采用式（2）預(yù)測彈丸的落點偏差。然而，基準(zhǔn)彈道的表達(dá)式往往是隱式的，即采用微分方程組來表達(dá)，很難直接通過解析的方法討論預(yù)測精度。本文通過數(shù)值方法解決該問題。

2 攝動落點預(yù)測的數(shù)值解法

攝動落點預(yù)測通過偏導(dǎo)數(shù)和狀態(tài)變量的偏差量來計算彈丸的落點偏差。為達(dá)到彈上實時預(yù)測的目的，需要實時獲得偏導(dǎo)數(shù)和偏差量的值。應(yīng)用中，基準(zhǔn)彈道和偏導(dǎo)數(shù)可射前裝定，而偏差量為實時獲取的彈丸的速度位置信息與基準(zhǔn)彈道狀態(tài)變量的差。彈丸的速度位置信息既可通過GPS接收機獲取，也可通過慣性測量器件獲取。本文討論的二維彈道修正引信通過GPS接收機獲取彈丸的速度位置信息，故僅討論該方式下的落點偏差預(yù)測方法。

2.1 偏導(dǎo)數(shù)的計算

由有限差分法可得函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值計算方法，即

式中：f（a），f（a，b）分別為一元、二元連續(xù)函數(shù)；Δa，Δb為計算步長。

假定Δvx和Δy為基準(zhǔn)彈道上任意一點X速度分量vx和位移分量y的計算步長，則有：

式中：xvx，xy為分別加入 Δvx，Δy后的射程；xvx＿2為加入2倍Δvx后的射程；xvx＿y為同時加入Δvx和Δy后的射程。

計算步長的選擇影響偏導(dǎo)數(shù)計算的精度，是影響預(yù)測精度的關(guān)鍵因素。由式（2）可知，計算步長選擇必須滿足泰勒展開的精度要求，即要求擾動彈道的落點在目標(biāo)點附近，且余項滿足一定的計算精度。

通常情況下，泰勒展開的階數(shù)越高其精度越高。然而，階數(shù)越高則用于預(yù)測的偏導(dǎo)數(shù)越多（二階泰勒展開需要30個偏導(dǎo)數(shù)，三階泰勒展開需要70個偏導(dǎo)數(shù)），增加了彈上機的計算負(fù)荷。當(dāng)然，可忽略其中的次要部分［10］，但由于截斷誤差的存在，該型榴彈二階與三階的預(yù)測精度不一定會得到較大的提高。

2.2 裝定參數(shù)的確定

射前裝定參數(shù)包括偏導(dǎo)數(shù)和基準(zhǔn)彈道。由于內(nèi)存的限制，彈上機不可能裝定大量數(shù)據(jù)，但裝定的數(shù)據(jù)量（數(shù)據(jù)行數(shù)）與預(yù)測精度直接相關(guān)。裝定的基準(zhǔn)彈道為離散點，應(yīng)用中往往通過插值獲得兩點之間的數(shù)據(jù)。插值所得數(shù)據(jù)將與彈道曲線存在一定的偏差，造成預(yù)測結(jié)果的誤差。同理，偏導(dǎo)數(shù)也存在相應(yīng)的誤差。為減小誤差，需要確定裝定數(shù)據(jù)行數(shù)與預(yù)測精度之間的關(guān)系，在減少裝定數(shù)據(jù)的同時滿足預(yù)測精度。

2.3 濾波方法

式中：，分別為變量當(dāng)前時刻和上一時刻的估計值；DL＊ 為當(dāng)前測量值，分別為當(dāng)前

n時刻和上一時刻變量導(dǎo)數(shù)的估計值；ts為采樣時間間隔；βDL為增益因子；GDL，HDL分別為增益系數(shù)。

橫向預(yù)測落點偏差的濾波算法與縱向相同，僅增益因子的取值不同，不再贅述。

3 仿真分析

本文以安裝固定鴨舵式二維彈道修正引信的某型榴彈為研究對象，針對其攝動落點偏差預(yù)測進行研究。彈丸以897m／s的初速、45°射角進行發(fā)射，氣象條件采用標(biāo)準(zhǔn)氣象。為檢驗預(yù)測落點偏差精度，可將彈丸射角調(diào)整在45°的某一鄰域，此時仿真落點偏差為一恒定值。

3.1 偏導(dǎo)數(shù)計算的仿真

3.1.1 計算步長的選擇

基準(zhǔn)彈道的函數(shù)表達(dá)式中，狀態(tài)變量包括彈丸的速度和位置2種信息，因而設(shè)置了速度步長和位移步長。為優(yōu)選計算步長，設(shè)置速度步長分別為1m／s，2m／s，3m／s；位移步長為5m，10m；進行仿真，仿真結(jié)果如圖1所示。

試驗竹林為集約經(jīng)營的連片毛竹林，在同一類型林分內(nèi)選取立地條件、經(jīng)營水平相近，坡度20°～35°的坡面設(shè)置20 m × 20 m的樣方18個作為調(diào)查樣地。樣地四周用繩索進行標(biāo)識，四角用木柱標(biāo)志并標(biāo)樣地號，并對標(biāo)準(zhǔn)地的立柱和繩索進行保護，避免損壞。

圖1 不同步長的預(yù)測結(jié)果

圖2 不同階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的預(yù)測結(jié)果

圖1 中曲線為射角45.5°，偏導(dǎo)數(shù)選取20行，基準(zhǔn)彈道選取75行條件下的縱向落點偏差預(yù)測結(jié)果（濾波前）。當(dāng)位移步長為5m時，不同速度步長的預(yù)測結(jié)果偏差很小，約0.5m；若位移步長取10m，速度步長為2m／s，預(yù)測結(jié)果在22km后存在較大偏差。造成上述結(jié)果的原因是，位移步長較大，擾動彈道落點距目標(biāo)點太遠(yuǎn)，不滿足泰勒展開的精度要求。因而，選取速度步長2m／s，位移步長5m。

3.1.2 偏導(dǎo)數(shù)階數(shù)的選擇

圖2為不同階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的預(yù)測結(jié)果。

圖2中曲線為射角45.5°，速度步長和位移步長分別為2m／s和5m，偏導(dǎo)數(shù)選取20行，基準(zhǔn)彈道選取75行條件下的縱向落點偏差預(yù)測結(jié)果（濾波前）。由圖可知，若偏導(dǎo)數(shù)取二階，預(yù)測落點偏差將收斂較慢，且存在較大幅度的振蕩，預(yù)測結(jié)果較差，故選取一階偏導(dǎo)數(shù)。

3.2 裝定參數(shù)的仿真

3.2.1 偏導(dǎo)數(shù)行數(shù)的選擇

表1為某一基準(zhǔn)彈道的20行偏導(dǎo)數(shù)，表中每列數(shù)值在小范圍內(nèi)大致呈線性變化，仿真結(jié)果表明，繼續(xù)增加偏導(dǎo)數(shù)行數(shù)并不會提高預(yù)測落點偏差精度，故選用20行偏導(dǎo)數(shù)。

表1 偏導(dǎo)數(shù)

3.2.2 基準(zhǔn)彈道行數(shù)的選擇

圖3是彈丸飛行彈道為基準(zhǔn)彈道時的預(yù)測落點偏差。圖中，縱向預(yù)測結(jié)果呈半正弦變化，其變化周期為基準(zhǔn)彈道的采樣時間間隔，即每個基準(zhǔn)彈道的離散點處預(yù)測偏差為0。基準(zhǔn)彈道采樣時間間隔越大，預(yù)測結(jié)果的偏差越大。當(dāng)基準(zhǔn)彈道為60行時，在不濾波的情況下預(yù)測結(jié)果的偏差約為1m，；基準(zhǔn)彈道為75行時，預(yù)測結(jié)果最好，不濾波情況下約為0.75m。若繼續(xù)增加基準(zhǔn)彈道行數(shù)，預(yù)測結(jié)果精度不會再有明顯提升，同時，增加了彈上機內(nèi)存的占用，故基準(zhǔn)彈道選用75行。

圖3 落點偏差預(yù)測結(jié)果

3.3 濾波方法的仿真

圖4 為添加GPS測量誤差后落點偏差預(yù)測結(jié)果及濾波前后的比較。由圖4可知，添加GPS測量誤差后落點偏差預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)了很大的毛刺，經(jīng)濾波后毛刺得到了很大程度上的消除，取得了很好的濾波效果。

圖4 添加GPS誤差前后落點偏差預(yù)測結(jié)果

3.4 仿真精度及應(yīng)用

3.4.1 落點偏差的預(yù)測精度

圖5為采用不同的射角時縱向落點偏差預(yù)測結(jié)果的比較。由圖5可知，若從10s起計算落點偏差，至約20s處預(yù)測結(jié)果收斂，即可滿足一定的預(yù)測精度。如圖5（a）所示，45°射角時添加GPS誤差前，預(yù)測結(jié)果與落點偏差一致，誤差僅約為1m；添加GPS誤差后，預(yù)測結(jié)果出現(xiàn)了較大的隨機誤差，但總體趨勢均值仍與添加GPS誤差前的預(yù)測結(jié)果一致；對添加GPS誤差后的結(jié)果進行濾波，濾波后預(yù)測結(jié)果的隨機誤差大大減小。如圖5（b）所示，47°射角時，添加GPS誤差前，預(yù)測結(jié)果與落點偏差有一定的誤差，約為10m；添加GPS誤差并濾波后，GPS誤差造成的預(yù)測誤差被大大消除，且其預(yù)測結(jié)果的均值為添加GPS誤差前的預(yù)測結(jié)果。雖然47°射角時預(yù)測結(jié)果存在一定的誤差，但其反映了落點偏差的實際狀態(tài)，隨著彈丸飛行過程中彈道修正的不斷進行，彈道將不斷接近基準(zhǔn)彈道，預(yù)測精度也將不斷得到提高。

圖5 不同射角的縱向落點偏差預(yù)測結(jié)果

3.4.2 攝動落點預(yù)測的應(yīng)用

圖6為47°射角時的有控彈道預(yù)測結(jié)果。有控彈道落點與目標(biāo)點偏差為：縱向－4.8m，橫向－15.5m；預(yù)測結(jié)果為：縱向－4.68m，橫向－14.85m。預(yù)測結(jié)果與仿真落點縱向偏差為－0.12m，橫向偏差為－0.65m，實現(xiàn)了應(yīng)用中的實時落點偏差預(yù)測，驗證了攝動落點偏差預(yù)測的有效性，檢驗了預(yù)測精度。

圖6 47°射角時有控彈道預(yù)測結(jié)果

4 結(jié)論

本文以多元函數(shù)的泰勒展開為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提出了適用于彈道修正榴彈的攝動落點偏差預(yù)測方法，并給出了數(shù)值解法。針對采用GPS接收機作為彈道測量工具的某型二維彈道修正榴彈，詳細(xì)介紹了偏導(dǎo)數(shù)計算、裝定參數(shù)確定等過程，采用二階漸消記憶濾波器減小了GPS誤差對預(yù)測結(jié)果的影響。仿真結(jié)果表明，該方法可有效應(yīng)用于該型榴彈的修正控制，并可推廣應(yīng)用于其他彈道修正彈箭。

［1］王毅，宋衛(wèi)東，佟德飛.固定鴨舵式彈道修正彈二體系統(tǒng)建模［J］.彈道學(xué)報，2014，26（4）：36－41.WANG Yi，SONG Wei－dong，TONG De－fei.Modeling of tworigid－body system for course correction projectile with fixed－canard［J］.Journal of Ballistics，2014，26（4）：36－ 41.（in Chinese）

［2］COOPER G，F(xiàn)RESCONI F，COSTELLO M.Practical assessment of real－time impact point estimators for smart weapons［J］.Journal of Aerospace Engineering，2010，24（1）：1－11.

［3］LETNIAK R，COSTELLO M.A nonlinear model predictive observer for smart projectile application［C］／／AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference and Exhibit.South Carolina：AIAA，2007：1－21.

［4］LEONARD C，HAINZ I I I，COSTELLO M.Modified projectile linear theory for rapid trajectory prediction［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamic，2005，28（5）：1 006－1 014.

［5］張成.脈沖修正彈藥射程預(yù)測控制方法［J］.彈道學(xué)報，2010，22（1）：20－23.ZHANG Cheng.Range prediction control method for pulse jet correction projectiles［J］.Journal of Ballistics，2010，22（1）：20－23.（in Chinese）

［6］GHOSH A K，PRAKASH O.Neural models for predicting trajectory performance of an artillery rocket［J］.Journal of Aerospace Computing，Information，and Communication，2004，1（2）：112－115.

［7］曹營軍，朱宗平，李立春，等.基于BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的末修彈落點預(yù)測導(dǎo)引模式［J］.彈箭與制導(dǎo)學(xué)報，2011，31（6）：76－78.CAO Ying－jun，ZHU Zong－ping，LI Li－chun，et al.Impact point prediction guidance mode of terminal trajectory correction projectile based on BP artificial neural networks［J］.Journal of Projectile，Rockets，Missile and Guidance，2011，31（6）：76－78.（in Chinese）

［8］KRAMER K A.Impact time and point predicted using a neural extended Kalman filter［C］／／The 2005International Conference on Intelligent Sensors，Sensor Network and Information Processing.Melbourne，Australia：IEEE，2005：199－204.

［9］陳世年.控制系統(tǒng)設(shè)計［M］.北京：中國宇航出版社，1996.CHEN Shi－nian.Design of the control system［M］.Beijing：China Astronautic Publishing House，1996.（in Chinese）

［10］李超旺，高敏，宋衛(wèi)東.基于攝動原理的火箭彈落點實時預(yù)測［J］.兵工學(xué)報，2014，35（8）：1 164－1 171.LI Chao－wang，GAO Min，SONG Wei－dong.Real－time impact point prediction of rocket projectile based on perturbation theory［J］.Acta Armamentarii，2014，35（8）：1 164－1 171.（in Chinese）