馬曉冬，郭 銳，劉榮忠，呂勝濤

（南京理工大學(xué) 智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210094）

末敏子彈從母彈拋出，經(jīng)過減速減旋后減速導(dǎo)旋主傘張開，傘－彈系統(tǒng)受到空氣動(dòng)力及系統(tǒng)阻尼的影響，運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后勻速下落，并繞著傘軸穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)。進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后，傘－彈系統(tǒng)對(duì)地面目標(biāo)進(jìn)行掃描和攻擊。

為了解旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的運(yùn)動(dòng)特性，常利用高塔投放或空投的自由飛行試驗(yàn)方法，但系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)初始條件與實(shí)際工作情況相差較大。若采用炮射試驗(yàn)，則母彈發(fā)射時(shí)的高過載對(duì)子彈內(nèi)測(cè)試系統(tǒng)提出很高的要求；且末敏子彈在空中運(yùn)動(dòng)跨度大，外部測(cè)試系統(tǒng)對(duì)其進(jìn)行捕捉亦有難度。所以，理論建模和數(shù)值模擬研究該問題是一種更可行、更經(jīng)濟(jì)的手段。降落傘－載物系統(tǒng)是一種復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，相關(guān)領(lǐng)域?qū)W者已提出許多動(dòng)力學(xué)建模方法［1－10］。對(duì)于旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)，文獻(xiàn)［11］將連接旋轉(zhuǎn)傘與子彈的裝置處理為球鉸，建立傘－彈系統(tǒng)9自由度模型，得到彈道結(jié)果和動(dòng)力學(xué)行為；文獻(xiàn)［12］考慮末敏彈系統(tǒng)的連接方式、約束和傘繩彈性，建立傘、傘盤、彈3剛體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和掃描特性相符；文獻(xiàn)［13］基于Kane方法，將旋轉(zhuǎn)傘視為柔體，建立10自由度傘－彈系統(tǒng)剛?cè)醿审w動(dòng)力學(xué)模型，得到某型末敏彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的彈道結(jié)果?？梢?，已有研究中的旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型均經(jīng)過了適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化。

為得到更加接近實(shí)際運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型，利用第一類Lagrange方程，建立旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的5剛體動(dòng)力學(xué)模型；針對(duì)實(shí)際工況下末敏子彈彈道數(shù)據(jù)難以試驗(yàn)測(cè)得的問題，著重利用動(dòng)力學(xué)仿真對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型求解，通過設(shè)置邊界條件得到旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描段的彈道結(jié)果。

1 旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)

旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)由旋轉(zhuǎn)降落傘、傘盤、摩擦盤、連桿和末敏子彈組成，如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)示意圖

傘衣上的開口設(shè)計(jì)使得其在下落過程中受到沿傘軸方向的空氣動(dòng)力矩，發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。傘盤和摩擦盤通過柱鉸連接，中心軸線重合，掃描段初期二者相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，防止傘繩纏繞。摩擦盤與連桿、連桿與子彈之間各通過一個(gè)柱鉸連接，柱鉸的軸線與傘盤表面平行。系統(tǒng)經(jīng)減速減旋后，旋轉(zhuǎn)傘張開充滿，傘盤與摩擦盤之間由于摩擦力作用，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)速度越來越小，連桿與傘盤、摩擦盤之間的擺動(dòng)也逐漸削弱。一段時(shí)間后，傘－彈系統(tǒng)勻速下降，并繞鉛垂軸勻速旋轉(zhuǎn)，即進(jìn)入穩(wěn)態(tài)掃描階段。

本文充分考慮傘－彈系統(tǒng)各部分之間的連接，建立5剛體動(dòng)力學(xué)模型。引入以下假設(shè)：①重力加速度為常數(shù)，忽略地球的科氏加速度和曲率的影響；②不考慮傘的透氣性，將其視為剛體，將傘繩視為阻尼彈簧；③不考慮傘盤、摩擦盤和連桿的空氣動(dòng)力，降落傘和子彈的氣動(dòng)參數(shù)為常數(shù)；④忽略彈體、摩擦盤等尾流對(duì)旋轉(zhuǎn)傘的影響；⑤旋轉(zhuǎn)傘的附加質(zhì)量和附加力矩暫不考慮。

2 旋轉(zhuǎn)傘－子彈系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系

建立慣性坐標(biāo)系Oxyz，O為初始時(shí)刻子彈質(zhì)心的地面投影點(diǎn)，Oz軸沿鉛垂方向且向上為正，Ox軸水平且在Oz軸與子彈中心軸組成的平面內(nèi)，Oy軸由右手法則確定。

建立5個(gè)剛體的固連坐標(biāo)系Oixiyizi。Oi為剛體i質(zhì)心，Oizi軸沿剛體i中心軸向上，Oixi軸初始時(shí)刻與平面Oxz平行，Oiyi軸由右手法則確定，如圖2所示，其中，D1，D2分別為子彈上、下表面中點(diǎn)，設(shè)a＝｜rO2O3｜，摩擦盤與連桿連接點(diǎn)在O3x3y3z3中的坐標(biāo)為（0，0，－b），在O4x4y4z4中的坐標(biāo)為（0，0，c），連桿與彈體連接點(diǎn)在O5x5y5z5中的坐標(biāo)為（0，n，m）。

圖2 部分坐標(biāo)系示意圖

設(shè)剛體i的歐拉角為ψi，θi，φi，則歐拉角在體坐標(biāo)系Oixiyizi上的投影構(gòu)成的矩陣為

Oixiyizi到Oxyz的轉(zhuǎn)換矩陣為

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

采用第一類Lagrange方程建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。用剛體i的質(zhì)心笛卡爾坐標(biāo)和歐拉角作為廣義坐標(biāo)，ri＝（xiyizi）T，pi＝（ψiθiφi）T，qi＝）T，i＝1，2，…，5。應(yīng)用拉格朗日乘子法，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中：T為系統(tǒng)動(dòng)能為拉格朗日乘子陣，Q為廣義力，Φq＝?Φ／?q。剛體i的動(dòng)能為

式中：mi為剛體i質(zhì)量矩陣，Ji為剛體i相對(duì)質(zhì)心的慣量矩陣。

經(jīng)計(jì)算整理，得系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的矩陣形式：

2.3 系統(tǒng)約束方程

旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)共有3個(gè)柱鉸，相鄰2個(gè)剛體上給定鉸點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中始終重合，如圖2所示，則約束方程Φ（q，，t）＝0共15個(gè)：

Φr均為15×15矩陣，λ＝（λ1…λ15）T。以剛體2為例，求得Φr2和Φp2：

類似地，得到Φri和Φpi，組合得到Φr和Φp。

2.4 廣義力

先求各主動(dòng)力在其相應(yīng)虛位移上的虛功。

1）傘繩拉力虛功。

傘繩與傘和傘盤的位置關(guān)系如圖3所示。傘繩矢量lj在地面坐標(biāo)系中表示為［12］

式中：Pj，Nj（j＝1，2，3，4）分別為傘和傘盤與傘繩相連接的結(jié)點(diǎn)，在相應(yīng)體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為P1（R1，0，－h(huán)），P2（0，R1，－h(huán)），P3（－R1，0，－h(huán)），P4（0，－R1，－h(huán)），N1（R2，0，0）；N2（0，R2，0），N3（－R2，0，0），N4（0，－R2，0）；R1，R2分別為傘和傘盤的半徑；h為Pj到平面O1x1y1的距離。

圖3 傘繩與傘、傘盤的位置關(guān)系

將傘繩視為只受拉力的彈簧，原長(zhǎng)為l0，截面積為S0，彈性模量為E，彈性系數(shù)k＝ES0／l0，阻尼系數(shù)為ν，則傘繩拉力：

傘繩拉力所做的虛功：

2）空氣動(dòng)力虛功。

旋轉(zhuǎn)傘所受的空氣動(dòng)力包括阻力FRz和升力FRy；e′1＝A1e1，為傘軸方向單位矢量在慣性坐標(biāo)系的投影，則合力

式中：CD為旋轉(zhuǎn)傘阻力系數(shù)，C′y為升力系數(shù)導(dǎo)數(shù)，S1為旋轉(zhuǎn)傘特征面積，ρ為空氣密度，α1為旋轉(zhuǎn)傘攻角。

旋轉(zhuǎn)傘受到的空氣動(dòng)力矩包括導(dǎo)旋力矩Mxw、極阻尼力矩Mxz、赤道阻尼力矩Mzz和穩(wěn)定力矩Mz，則合力矩在固連坐標(biāo)系中的投影：

式中：mxw為旋轉(zhuǎn)傘導(dǎo)旋力矩系數(shù)，m′xz為極阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，m′zz為赤道阻尼力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，m′z為穩(wěn)定力矩系數(shù)導(dǎo)數(shù)，l1為特征長(zhǎng)度，d1為特征直徑。

空氣動(dòng)力對(duì)旋轉(zhuǎn)傘做的虛功為

回來的路上，玉敏忍不住捏了捏自己的嘴。想許沁果然狡猾，自己應(yīng)付不了她。自己明知姑父不可能還現(xiàn)金，許沁又怎么可能還自己現(xiàn)金呢？這種擔(dān)心根本是多余的，隨許沁還什么好了。玉敏暗暗佩服許沁，看來老板不是人人都做得了的。

類似地，空氣動(dòng)力對(duì)彈體做的虛功為

3）摩擦力虛功。

設(shè)傘盤與摩擦盤之間的作用力為FN，則摩擦力產(chǎn)生的力矩MN＝2μFNR2／3，摩擦力產(chǎn)生的虛功為

式中：μ為傘盤與摩擦盤的摩擦力系數(shù)。

4）重力虛功。

剛體i的重力Gi＝（0 0mig）T，則系統(tǒng)重力的虛功為

廣義坐標(biāo)方向上的廣義力為

將式（11）、式（15）～式（18）代入式（19），即可得到各廣義坐標(biāo)方向上的廣義力。

彈體掃描角為

為了與5剛體動(dòng)力學(xué)模型對(duì)比，將旋轉(zhuǎn)傘、傘繩和傘盤視為一體，得到4剛體動(dòng)力學(xué)模型。略去傘繩拉力項(xiàng)，將剛體1和剛體2合并處理，按照上述步驟可得到傘－彈4剛體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

3 模型試驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 系統(tǒng)主要參數(shù)及初始條件

旋轉(zhuǎn)傘模型采用渦環(huán)旋轉(zhuǎn)傘［14］，結(jié)合流體力學(xué)軟件與試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定其氣動(dòng)力參數(shù)。經(jīng)探索計(jì)算得到主要?dú)鈩?dòng)力參數(shù)：CD＝1.1，C′y＝0.03，mxw＝（ωb／vb）d1m′xz＝0.89（ωb和vb分別為系統(tǒng)的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速和穩(wěn)定落速），m′zz＝0.01。系統(tǒng)其他主要參數(shù)：m1＝0.20kg，m2＝0.29kg，m3＝0.15kg，m4＝0.02kg，m5＝12.25kg，l1＝1.2m，d1＝1.4m，k＝4.75×105N／m，ν＝0，μ＝0.3。

采用Gear預(yù)估－校正算法求解系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，分析傘－彈系統(tǒng)自由下落時(shí)的彈道特性，故：t＝0時(shí)，r5＝（0 0 100）（m），pi＝0＝0，＝0。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證方法

為了驗(yàn)證此模型模擬傘－彈系統(tǒng)真實(shí)運(yùn)動(dòng)的有效性，設(shè)計(jì)了100m高塔投放試驗(yàn)，如圖4所示。將傘－彈系統(tǒng)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蛷乃斖断拢ㄟ^姿態(tài)參數(shù)存儲(chǔ)測(cè)量?jī)x和高速攝像儀測(cè)試并記錄其下降過程中的空中姿態(tài)參數(shù)變化規(guī)律。

圖4 正在下落的傘－彈系統(tǒng)

基于地磁場(chǎng)的近地不變性，設(shè)計(jì)一種姿態(tài)參數(shù)存儲(chǔ)測(cè)量裝置。采用三軸磁阻傳感器，獲得3路地磁分量并以電壓U的形式輸出，如圖5所示，其中t′為對(duì)應(yīng)的時(shí)間。試驗(yàn)結(jié)束回收測(cè)量?jī)x，基于MATLAB調(diào)用存儲(chǔ)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，可以得到傘－彈系統(tǒng)在下降過程中的轉(zhuǎn)速變化和掃描角變化。通過高速錄像可得到系統(tǒng)通過標(biāo)尺段的時(shí)間，進(jìn)而推算出穩(wěn)態(tài)下落段的平均速度。

圖6 和圖7分別為子彈轉(zhuǎn)速和掃描角γ的仿真和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比。從圖6可以看出：對(duì)于5剛體模型，子彈轉(zhuǎn)速下落初始階段大幅度振蕩，6s開始趨于穩(wěn)定，穩(wěn)定轉(zhuǎn)速為3.6r／s，試驗(yàn)得到的穩(wěn)定轉(zhuǎn)速在3.6r／s附近小幅變化；對(duì)于4剛體模型，沒有傘繩拉力（仿真中的彈力和阻尼力）作用，子彈轉(zhuǎn)速曲線十分光滑，3s達(dá)到穩(wěn)定值3.6r／s。對(duì)比之下，5剛體模型更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)。從圖7看出，掃描角6s開始趨于穩(wěn)定值36°，傘－彈系統(tǒng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，試驗(yàn)得到的掃描角約為38°，誤差為5.6%。此外，仿真得到穩(wěn)定落速為12.29m／s，試驗(yàn)得到的穩(wěn)定落速為11.02m／s，誤差為10.3%。導(dǎo)致誤差的因素是動(dòng)力學(xué)模型的簡(jiǎn)化、試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷募庸ふ`差、試驗(yàn)天氣（如風(fēng)）等。

圖6 高塔試驗(yàn)的彈體轉(zhuǎn)速變化

圖7 高塔試驗(yàn)的子彈掃描角變化

綜上所述，數(shù)值計(jì)算得到的子彈轉(zhuǎn)速、掃描角變化及穩(wěn)定落速與試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)吻合較好，5剛體模型能較真實(shí)地反映旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)。

4 算例分析

實(shí)際工作中，旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)經(jīng)歷減速減旋后，具有一定的速度和轉(zhuǎn)速。根據(jù)某末敏子彈的彈道數(shù)據(jù)設(shè)置初始條件：t＝0時(shí)，ri＝（0 0 300）（m），pi＝（0 50 0）（°）＝（36.76 120.25 －41.63）（m／s），＝（0 0 14.24）（r／s）。

計(jì)算得到的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖8～圖11所示。

圖8 實(shí)際工況的彈體轉(zhuǎn)速變化

圖9 實(shí)際工況的子彈高度及速度變化

圖10 實(shí)際工況的掃描角變化

通過計(jì)算結(jié)果可以看出：該型末敏彈在t＝8s時(shí)速度穩(wěn)定在12.29m／s，轉(zhuǎn)速穩(wěn)定在3.6s，掃描角穩(wěn)定在36°，高度為204m；在地面上形成的掃描軌跡開始近似阿基米德螺旋線，滿足末敏子彈系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)掃描的需要。

圖11 0～20s地面掃描軌跡

5 結(jié)論

①模型計(jì)算結(jié)果與傘塔試驗(yàn)數(shù)據(jù)相符合，說明5剛體動(dòng)力學(xué)模型模擬旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是可行的；

②5剛體動(dòng)力學(xué)模型更符合旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)實(shí)際結(jié)構(gòu)情況，與4剛體模型相比能更加真實(shí)地反映末敏子彈的彈道特性；

③對(duì)穩(wěn)態(tài)掃描段的傘－彈系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，可得到大量的彈道結(jié)果，這是試驗(yàn)難以做到的，為旋轉(zhuǎn)傘－末敏子彈系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析、末敏彈的總體設(shè)計(jì)以及掃描裝置的設(shè)計(jì)提供了幫助。

［1］ERICKSEN R E，GUITERAS J J，LARRIVEE J A，et al.A parachute recovery system dynamic analysis［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，1967，4（3）：321－326.

［2］WHITE F M，WOLF D F.A theory of three－dimensional parachute dynamic stability［J］.Journal of Aircraft，1968，5（1）：86－92.

［3］WOLF D F.Dynamic stability of a nonrigid parachute and payload system［J］.Journal of Aircraft，1971，8（8）：603－609.

［4］TORY C，AYRES R.Computer model of a fully－deployed parachute［J］.Journal of Aircraft，1977，14（7）：675－679.

［5］PILLASCH D W，SHEN Y C.Parachute／submunition system coupled dynamics.AIAA－84－0875［R］.1984.

［6］DOBROKHODOV V，YAKIMENKO O，JUNGE C.Six－degree－of－freedom model of a controlled circular parachute.AIAA－2002－4613［R］.2002.

［7］DOBROKHODOV V，YAKIMENKO O，JUNGE C.Simulink implementation of the 6DOF model of controlled circular parachute.AIAA－2002－4970［R］.2002.

［8］GUGLIERI G，QUAGLIOTTI F.Validation of a simulation model for a planetary entry capsule［J］.Journal of Aircraft，2003，40（1）：127－136.

［9］鄭曉龍，唐碩.內(nèi)裝式空中發(fā)射箭傘系統(tǒng)多體動(dòng)力學(xué)分析［J］.彈道學(xué)報(bào)，2010，22（3）：46－50.ZHENG Xiao－long，TANG Shuo.Multi－body dynamic analysis of internally carried air－launched vehicle－parachute system［J］.Journal of Ballistics，2010，22（3）：46－50.（in Chinese）

［10］周彤，馮順山，張曉東，等.剛性傘穩(wěn)定式子彈藥的氣動(dòng)特性分析［J］.彈道學(xué)報(bào)，2013，25（4）：1－5.ZHOU Tong，F(xiàn)ENG Shun－shan，ZHANG Xiao－dong，et al.A－nalysis on aerodynamic characteristics of rigid－parachute stabilized submunition［J］.Journal of Ballistics，2013，25（4）：1－5.（in Chinese）

［11］KARL F D，HARTMUT S.Nine－degree－of－freedom simulation of rotating parachute systems［J］.Journal of Aircraft，1992，29（5）：774－781.

［12］舒敬榮，王寶貴，韓子鵬，等.傘－彈系統(tǒng)三體運(yùn)動(dòng)分析［J］.航空學(xué)報(bào)，2001，22（6）：481－485.SHU Jing－rong，WANG Bao－gui，HAN Zi－peng，et al.Analysis on three body motion of parachute－projectile systems［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2001，22（6）：481－485.（in Chinese）

［13］郭銳，劉榮忠.末敏彈剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型及仿真［J］.兵工學(xué)報(bào)，2007，28（1）：10－14.GUO Rui，LIU Rong－zhong.Dynamics model and simulation of rigid and flexible coupling system for terminal－sensitive submunition［J］.Acta Armamentarii，2007，28（1）：10－ 14.（in Chinese）

［14］王利榮.降落傘理論與應(yīng)用［M］.北京：中國(guó)宇航出版社，1997.WANG Li－rong.The theory and application of parachute［M］.Beijing： China Astronautic Publishing House， 1997.（in Chinese）