戴拓蘇

數(shù)學是一門基礎工具學科，因而學以致用是學習數(shù)學的目的之一?；瘜W是以實驗為基礎的實驗學科，但實際上數(shù)學知識在化學中也有著廣泛的應用。中學化學中雖然計算不是最為重要的內(nèi)容，但在高考中也同樣占有比較大的比重。一般來說，每年的高考化學題中計算占了試卷總分的18%左右。如果能將數(shù)學知識巧妙地結(jié)合到化學的運算中來，可以少犯錯誤，甚至不犯錯誤。本文就化學知識結(jié)合數(shù)形巧妙應用到化學的問題解決中的范例進行討論，以期能在化學學習中進行數(shù)學建模而有助于解決化學問題。

一、數(shù)形結(jié)合防止漏解

例1現(xiàn)有100 mL 2 mol/L的氯化鋁溶液，向其中加入1 mol/L的氫氧化鈉溶液，最終生成的沉淀質(zhì)量為7.8 g，試求所加氫氧化鈉溶液的體積為 。

解析本題是氯化鋁與氫氧化鈉反應的計算題，學生解決此題并不會感到困難。首先寫出化學方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

由化學方程式即可計算而得到如果要生成氫氧化鋁的沉淀7.8 g，即0.1 mol的氫氧化鋁，則加入的氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.3 mol，根據(jù)氫氧化鈉的溶液濃度為1 mol/L，所以即可得加入的氫氧化鈉的體積應為300 mL?！暗脕砣毁M功夫”，學生會沉浸在問題解決的喜悅中。殊不知，其實本題中出現(xiàn)了漏解！由于最終需得的氫氧化鋁沉淀不是反應中得到的最大量沉淀，再因為氫氧化鋁是一種兩性的氫氧化物，它還可溶于氫氧化鈉溶液中，所以除了上述的一個可能的解以外，還會有另一種可能，即先加入氫氧化鈉溶液至氯化鋁完全沉淀而得到最大量的沉淀，然后再加入過量的氫氧化鈉溶液，使得生成的氫氧化鋁沉淀發(fā)生部分溶解而得到剩余的沉淀為7.8 g。即先根據(jù)化學方程式：

AlCl3+3NaOHAl（OH）3↓+3NaCl

計算得到將所有的氯化鋁全部轉(zhuǎn)化成氫氧化鋁沉淀，得到的氫氧化鋁沉淀為0.2 mol，加入的氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.6 mol，而題中要求得到的沉淀為7.8 g，即0.1 mol沉淀，所以還需要向其中加入氫氧化鈉溶液將多出的0.1 mol氫氧化鋁沉淀溶解，發(fā)生反應的化學方程式為：

Al（OH）3+NaOHNaAlO2+2H2O

從而可得將多余的0.1 mol氫氧化鋁溶解還需加入氫氧化鈉0.1 mol，則可得本題的另一解需要加入氫氧化鈉的物質(zhì)的量為0.7 mol，即加入700 mL的1 mol/L氫氧化鈉溶液。

而如果本題在解決的過程中，結(jié)合氯化鋁與氫氧化鈉反應過程中沉淀的變化規(guī)律，將其所得到的數(shù)量關系反映到一個圖形模型中去，則

可以有效地防止漏解。即，先將“100 mL 2 mol/L的氯化鋁溶液，向其中加入1 mol/L的氫氧化鈉溶液直至過量”中的氫氧化鈉溶液的體積設為自變量，而氫氧化鋁沉淀設為應變量，做出圖像，如圖1所示。由圖中所示可以看出，得到7.8 g氫氧化鋁沉淀分別所加的氫氧化鈉為a mL、b mL兩種情況；再由圖形中的比例特征也不難可以得到a=300 mL，b=700 mL。

圖1

由以上兩種解決問題的方法不難看出，應用數(shù)形結(jié)合的方法可以有效地防止本題中的漏解現(xiàn)象。其實在化學中這樣的問題也有很多，如將CO2或SO2通入到澄清石灰水中時，得到沉淀的質(zhì)量與CO2或SO2的關系問題、在偏鋁酸鈉溶液中加入鹽酸時，得到的沉淀質(zhì)量與加入鹽酸的體積或物質(zhì)的量關系問題等等，都可以通過數(shù)形結(jié)合的方法有效地防止漏解。

二、數(shù)形結(jié)合防止錯解

例2實驗室制備氯氣除了可以用二氧化錳與濃鹽酸在加熱時反應獲得氯氣之外，還有其他許多的方法可以獲得，其中的一種方法是用氯酸鉀與濃鹽酸反應也可以獲得氯氣，其反應的化學方程式為：

KClO3+6HCl3Cl2↑+KCl+3H2O

現(xiàn)用該方法制備氯氣標況下的體積為4.48 L，則在反應中轉(zhuǎn)移的電子數(shù)為 ，被氧化的HCl是 mol。

解析本題是一個氧化還原反應的問題。在氧化還原反應中存在著一類發(fā)生在不同價態(tài)的同種元素間的氧化還原反應，這類氧化還原反應發(fā)生的規(guī)則是“同種元素間的氧化還原反應，元素化合價不能發(fā)生變化的交叉”。但這對學生來說是一個難點，比如我們都知道SO2具有還原性，濃硫酸具有氧化性，但是濃硫酸卻不能將SO2氧化，所以可以用濃硫酸與亞硫酸鈉反應制備SO2，這就是因為在濃硫酸中的硫元素的化合價是+6價，SO2中的硫元素化合價是+4價，在這兩種價態(tài)間不存在+5價，所以兩者不能發(fā)生氧化還原反應，因為一旦發(fā)生反應，勢必化合價的變化一定會發(fā)生交叉。本題中也是一個發(fā)生在同一種元素間的氧化還原反應，學生在分析錯成氯酸鉀中氯化合價降低到-1價，而濃鹽酸中的氯元素化合價升高到0價，這樣的分析也顯得很簡潔，很快也就可以得到在反應中生成了1 mol氯氣時轉(zhuǎn)移了電子數(shù)是6 mol，而且6 mol的HCl全部被氧化，也就可以順勢計算出了反應中生成了標準狀況下的體積為4.48 L氯氣時，即生成0.2 mol氯氣時，轉(zhuǎn)移了1.2 mol電子，被氧化的HCl的物質(zhì)的量為1.2 mol。這樣在解題中也就出現(xiàn)了這樣的錯解。究其原因主要就是因為沒有將該反應的特點吃透，沒有抓住發(fā)生在同種元素間的氧化還原反應的主要特征。那么，對同種元素間的氧化還原反應，如何分析可以防止這種錯解的出現(xiàn)呢？可以通過數(shù)形結(jié)合的方法，應用數(shù)學中的數(shù)軸來解決這一問題。

數(shù)軸是數(shù)學中用來表示數(shù)與數(shù)之間關系判斷的方法，在數(shù)軸上可以反映出數(shù)與數(shù)的并列關系、包含關系或是交叉關系。因而將這種數(shù)學模型引入到化學的問題解決中來，就可以解決同種元素間的氧化還原反應的分析，而避免出現(xiàn)錯解。本題中的元素化合價變化是發(fā)生在氯元素間，在數(shù)軸上我們可以用“·”表示反應前的氯元素的價態(tài)，用“ °”表示反應后的氯元素的價態(tài)，然后用線連接反應前、后的兩種不同價態(tài)的氯元素的化合價數(shù)值，在連接后的數(shù)軸中不能出現(xiàn)線與線的交叉，這樣就可以把該類氧化還原反應的正確原理和化合價的變化情況反映到數(shù)軸中，也就解決了氧化還原反應中的一大“疑難雜癥”。本題中的氯元素化合價變化的數(shù)軸圖示如圖2所示。

圖2圖3

由圖2所示可以看出發(fā)生+5價氯元素與-1價氯元素間的氧化還原反應，元素的化合價向中間價態(tài)靠攏而不發(fā)生變化的交叉，所以在反應中氯氣既是氧化產(chǎn)物，也是還原產(chǎn)物，從而可以知道在該反應中每生成1 mol氯氣時只有5 mol的HCl被氧化而轉(zhuǎn)移了5 mol電子，從而根據(jù)題意計算出，生成了0.2 mol氯氣時，反應中被氧化的HCl物質(zhì)的量為1 mol，轉(zhuǎn)移了1 mol電子；而與之比較的是前述解法中顯示的錯誤解析，發(fā)生在+5價與-1價的氯元素間的氧化還原反應中，錯誤地將+5價氯元素化合價降低分析成了到-1價，由此可以作出圖3所示的分析，我們從圖3中可以看出，其化合價的變化發(fā)生了交叉，這樣的分析就是錯的。所以應用這種數(shù)形結(jié)合的模型，可以很一目了然地看出這種同種元素間的氧化還原反應的化合價的變化規(guī)則，從而避免了對該類氧化還原反應的分析錯誤。

數(shù)學是純抽象的“無意義”運算，所以它僅僅是一個工具，化學是對一些數(shù)值賦予了一定物理意義的“有意義”運算。將數(shù)學中的一些與數(shù)結(jié)合的圖形模型，賦予一定的物理意義后，進行數(shù)形結(jié)合，就可以拓展思維寬度和深度，從而可以尋找到更適合于解決化學問題的數(shù)學方法。

（收稿日期：2015-03-20）