地方高?？冃гu估中的數(shù)學(xué)模型

趙高長1，高運(yùn)芳2，覃飛3，王欣1，周彬1

(1.西安科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710054；2.西安工業(yè)大學(xué) 思政部，陜西 西安 710021；3.西安科技大學(xué) 教務(wù)處，陜西 西安 710054)

摘要：地方高校教學(xué)質(zhì)量的準(zhǔn)確評估，有助于高校之間取長補(bǔ)短，提高高校資源利用，引進(jìn)良性競爭機(jī)制，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)校整體教學(xué)水平的提高。通過對陜西省十多所地方高校廣泛調(diào)研，對采集數(shù)據(jù)歸類、合并，并作歸一化處理，結(jié)合PCA，F(xiàn)CM，DEA及BMK算法提出了一種地方高?？冃гu估中的數(shù)學(xué)新模型，給出了該模型的詳細(xì)求解過程及算法流程，將該模型與傳統(tǒng)模型進(jìn)行了分析比較，基于FCM的優(yōu)化選擇算法將算法復(fù)雜度從O(2n-1)降到了O (n3)，引進(jìn)PCA的DEA模型與DEA-WEI模型復(fù)雜度相當(dāng)。文中將網(wǎng)絡(luò)上大學(xué)某知名排行榜的部分?jǐn)?shù)據(jù)和搜集到的一些地方高校發(fā)展數(shù)據(jù)融合，經(jīng)過優(yōu)化整理，得到了備選標(biāo)桿集的指標(biāo)數(shù)據(jù)，然后利用論文所給模型借助MATLAB數(shù)學(xué)軟件包在保守標(biāo)桿集及積極標(biāo)桿集兩種情況下對這些高校作出評估，結(jié)果表明，方法簡單實(shí)用、結(jié)論客觀有效。論文將數(shù)據(jù)挖掘等數(shù)學(xué)方法有機(jī)融入到標(biāo)桿分析中，用于地方高?？冃гu估，探索出一條利用標(biāo)桿分析提高高校教學(xué)管理的新思路，豐富了地方高校教學(xué)管理的理論和方法。

關(guān)鍵詞：主成分分析；模糊C-均值算法；數(shù)據(jù)包絡(luò)分析；標(biāo)桿分析法；績效評估

DOI:10.13800/j.cnki.xakjdxxb.2015.0222

文章編號：1672-9315(2015)02-0264-08

收稿日期：*2014-12-20責(zé)任編輯：李克永

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助(41271518)

通訊作者：趙高長(1965-)，男，陜西大荔人，教授，E-mail:zgc_xa1965@sina.com

中圖分類號：G 47文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

Mathematicalmodelofperformanceevaluationoflocalcollegesanduniversities

ZHAOGao-chang1，GAOYun-fang2，QIN Fei3，WANGXin1，ZHOUBin1

(1.College of Sciences,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China;

2.Teaching and Research Institute of Political Theory,Xi’an Technological University,Xi’an 710021,China;

3.Office of Teaching Affairs，Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China)

Abstract：Accurate assessment of teaching quality of local universities can contribute to the complementarity among universities，the improvement of resource utilization，the introduction of healthy competition mechanism，and the enhancement of overall teaching level of universities.Through extensive research of dozens of colleges and universities in Shaanxi province，we classify，consolidate and normalize collected data，as well as combine PCA，F(xiàn)CM，DEA with BMK algorithm，in order to advance a mathematical model of performance evaluation of local colleges and universities，and to provide detailed solution procedure and algorithm flow of this model.Compared with traditional model，this new algorithm based on FCM reduces algorithm complexity from O(2n-1) to O(n3).The complexity of DEA model with PCA is equal to the complexity of DEA-WEI model.In this paper，we obtain the index data of the alternative benchmark after optimization of processing the combination of partial data from one well-known university ranking and collected data about development of local colleges.Then we utilize this model to assess universities with the help of MATLAB math package in two cases：conservative and positive benchmark sets，and the results are objective and effective.This paper organically integrates data mining and other mathematical methods into benchmarking analysis，which is applied to evaluate the performance of local colleges and universities，and explore a new idea to improve the teaching management of universities using benchmarking analysis，and to enrich the theory and method of local universities’ teaching management.

Key words：principal component analysis；fuzzy C-means algorithm；data envelopment analysis；benchmarking；performance evaluation

0引言

隨著高等教育不斷進(jìn)步，招生規(guī)模不斷擴(kuò)大，教學(xué)資源相對不足引發(fā)的教學(xué)質(zhì)量下滑問題日益凸顯，高校在教學(xué)管理、學(xué)科建設(shè)和專業(yè)結(jié)構(gòu)等方面越來越難以適應(yīng)社會發(fā)展的需要[1]。面對這些難題，國外的經(jīng)驗就是學(xué)習(xí)或借鑒新的管理工具或方法，對自身做綜合評價[2]，明確優(yōu)劣勢，有針對性的進(jìn)行改進(jìn)，從而完善學(xué)校的管理制度和提高其競爭力?？冃гu估是提高教學(xué)效益、并向社會展示其教育研究成果的主要手段。

準(zhǔn)確和有效的對高校(定義為決策單元集，Decision Making Units，DMUs) 的績效表現(xiàn)進(jìn)行綜合評價是一個數(shù)學(xué)問題。評估者常常需要評估多個績效目標(biāo)，這些績效目標(biāo)之間相互制約和沖突，如果只評價一個單一的績效指標(biāo)，評估者將很容易DMUs進(jìn)行排序，但是那樣做的后果會導(dǎo)致評估者忽略組織真正的績效目標(biāo)[3]。因此，高校的績效評估從數(shù)學(xué)的角度來看就是一個典型的多目標(biāo)決策問題。

運(yùn)籌學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者們先后研究出了很多理論和方法來解決這個問題，最為通用的有1947年由von Neumann和Mogenstem提出的期望效用函數(shù)理論(Expected Utility Theory，EUT)；1954年由Savage提出的主觀期望效用理論(Subjective Expected Utility Theory，SEUT)。此外，還有些其它的方法發(fā)展和應(yīng)用，如Roy的ELECTRE法[4-5]、Brans等人的PROMETHEE法[6-8]、C.L.Hwang和K.Yoon的TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)法[9]和Saaty，T.L的層次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)[10-11]。通常人們認(rèn)為AHP和TOPSIS代表了美國大學(xué)的研究，而ELECTRE和PROMETHEE則代表了歐洲大學(xué)的研究。

20世紀(jì)初泰勒在他的科學(xué)管理理論中引用標(biāo)桿做為衡量工作績效的一個有效標(biāo)準(zhǔn)，其后在全面質(zhì)量管理(Total Quality Management，TQM)活動中應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)來作為標(biāo)桿以判斷質(zhì)量的符合性。始于20世紀(jì)90年代，標(biāo)桿分析已成為目前國外高校研究中普遍使用的一種科學(xué)、系統(tǒng)、靈活的定量分析方法。最早在北美、英國和澳大利亞興起，隨后逐漸傳播到歐洲各國。亞洲地區(qū)因接觸得較晚，目前無論從理論還是實(shí)踐都明顯落后于歐美國家，香港大學(xué)是亞洲地區(qū)唯一參加到CHEMS CLUB活動中的大學(xué)。目前只有印度、韓國和香港地區(qū)的一些高校進(jìn)行了標(biāo)桿分析實(shí)踐，中國內(nèi)地還沒有高校進(jìn)行類似的活動。

在我國，高校應(yīng)用標(biāo)桿分析還是一個新課題，目前只有劉和旭等人將標(biāo)桿分析法應(yīng)用到了高校教師績效評價方法的研究中，張大群等人則進(jìn)行了標(biāo)桿分析的數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用研究，所用方法要么單一、要么缺乏量化分析。加之高校對提高高等教育質(zhì)量和管理水平的重視程度還不夠強(qiáng)，缺乏進(jìn)行標(biāo)桿分析研究和實(shí)施的專門人才，整體而言，尚處于學(xué)習(xí)階段，值得高校進(jìn)一步去研究和應(yīng)用。

文中將結(jié)合模糊C-均值聚類(FCM)、主成分分析(PCA)[12]、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)建立新的標(biāo)桿分析(BMK)模型，以滿足復(fù)雜情形下的高校管理分析需求。

1FCM和PCA相結(jié)合的標(biāo)桿分析建模

標(biāo)桿分析方法的有效性依賴于標(biāo)桿集和指標(biāo)集的合理選取，下文依據(jù)模糊C-均值聚類[13]數(shù)學(xué)方法進(jìn)行科學(xué)選擇。

1.1基于FCM的標(biāo)桿集優(yōu)化選擇

假設(shè)在某生產(chǎn)實(shí)踐中，給定待分析生產(chǎn)單元DMU0及屬性b*和備選標(biāo)桿集

pB={pb1,pb2,…,pbn}，

其中pbi={pbi1,pbi2,…,bpiq}為第i個備選標(biāo)桿及其屬性。

為完成特定的標(biāo)桿分析目的，需要獲得合理的標(biāo)桿集。這里的“合理”指所獲得的標(biāo)桿集應(yīng)能為后續(xù)標(biāo)桿分析的有效完成提供有力的支持。比如為制定近期發(fā)展目標(biāo)，合理的標(biāo)桿集中大部分標(biāo)桿的生產(chǎn)效能應(yīng)不能超出該生產(chǎn)單元太遠(yuǎn)，否則近期無法完成；而為制定長遠(yuǎn)發(fā)展目標(biāo)，則大部分標(biāo)桿的生產(chǎn)效能則應(yīng)具有一定優(yōu)勢，否則無指導(dǎo)意義。因此，可以考慮需要解決如下優(yōu)化問題

(1)

這里(bi-b*)+=max{bi-b*,0}，(bi-b*)-=min(bi-b*,0)；α為正實(shí)數(shù)，用于控制理想標(biāo)桿集的狀態(tài)；s為標(biāo)桿集的最小規(guī)模；ΛB表示標(biāo)桿集B中標(biāo)桿的指標(biāo)集。H(B,b*)的定義可根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行調(diào)整。

顯然這是一個NP難的問題，不容易求解。為此，引入數(shù)據(jù)挖掘中的模糊c-均值聚類算法[14]，對備選標(biāo)桿集進(jìn)行劃分，在劃分結(jié)果基礎(chǔ)上進(jìn)行標(biāo)桿集的優(yōu)化選取。即建立如下優(yōu)化問題

(2)

該模型是(1)的一種近似，其求解算法如下。

表1　標(biāo)桿集優(yōu)化選擇算法

通過設(shè)置參數(shù)并執(zhí)行上述算法，可以得到合理的標(biāo)桿集B*，用于后續(xù)分析處理。

1.2PCA-DEA混合模型

確定合理的標(biāo)桿集B*之后，需要對標(biāo)桿集中各DMU和待評估的DMU0進(jìn)行績效評估，以正確認(rèn)識優(yōu)勢和劣勢，為后續(xù)生產(chǎn)效率的改善提供基礎(chǔ)支持。

在現(xiàn)代生產(chǎn)實(shí)踐活動中，經(jīng)常涉及數(shù)量眾多的指標(biāo)[15]，當(dāng)指標(biāo)數(shù)量過多時，不可避免的存在一些相互之間具有緊密聯(lián)系的指標(biāo)組，往往這些指標(biāo)組在現(xiàn)實(shí)中反映為同一類型或者受相似因素影響，準(zhǔn)確的獲得指標(biāo)之間的這些重要關(guān)聯(lián)關(guān)系，能對績效評估分析的有效完成提供有益的幫助。因此本部分?jǐn)M結(jié)合PCA方法和DEA模型建立PCA-DEA混合模型用于標(biāo)桿分析。

標(biāo)桿集B*基礎(chǔ)上具有平均偏好的DEA-WEI模型

(3)

考慮引進(jìn)PCA模型對標(biāo)桿集的屬性集進(jìn)行分析，并將結(jié)果用于DEA-WEI模型，即建立如下混合模型

(4)

同理，也可將PCA引入到具有矩陣偏好的DEA-WEI模型。

結(jié)合PCA計算過程可以給出上述混合模型的求解算法，見表2.

表2　PCA-DEA混合求解算法

2模型分析

本部分對上一節(jié)所建立模型及求解算法進(jìn)行初步分析，為進(jìn)一步的模型應(yīng)用提供基礎(chǔ)保障。

2.1標(biāo)桿集優(yōu)化選擇算法分析

對于標(biāo)桿集的選擇問題來說，現(xiàn)有的研究基本上都是通過主觀經(jīng)驗進(jìn)行選擇，少部分研究則是在一些簡單的數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)上結(jié)合主觀經(jīng)驗進(jìn)行選擇。結(jié)合數(shù)據(jù)挖掘相關(guān)技術(shù)進(jìn)行標(biāo)桿集的優(yōu)化選擇方面的研究還少有人涉及。論文從最優(yōu)化的角度出發(fā)，根據(jù)實(shí)際分析需求，建立了優(yōu)化模型(1)。下面分析其求解算法的計算復(fù)雜度。

不妨設(shè)備選標(biāo)桿集pB的規(guī)模為n，即含有n個備選標(biāo)桿。記評價函數(shù)H(B,b*)計算一次為一個度量單位。由于B是pB的子集且規(guī)模大于等于s，則由組合原理得，B的選擇數(shù)為

圖1　模型(1)求解算法復(fù)雜度分析 Fig.1　Complexity analysis for model (1) algorithm

即當(dāng)標(biāo)桿集規(guī)模不超過備選標(biāo)桿集的一半時，該模型求解算法的計算復(fù)雜度至少為O(2n-1)，這在n較大時是相當(dāng)可觀的。Matlab編程得到復(fù)雜度曲線如圖1所示。

模型(2)是模型(1)的近似，犧牲了目標(biāo)標(biāo)桿集的部分合理性以獲得求解效率的提高。同樣在上述假設(shè)下，記一次FCM的代價為δ，則可得

圖2　標(biāo)桿集優(yōu)化選擇算法復(fù)雜度分析 Fig.2　Complexity analysis for the benchmark set optimal selection algorithm

圖3　PCA-DEA求解算法復(fù)雜度分析 Fig.3　Complexity analysis for PCA-DEA algorithm

2.2混合求解算法分析

對于DEA-WEI模型來說，并沒有考慮DMU單元內(nèi)各個指標(biāo)間的相互關(guān)系及其對后續(xù)分析的影響[16]。通過數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)進(jìn)行指標(biāo)集的成分分析，由此建立更簡潔且具代表性的綜合指標(biāo)集并進(jìn)行績效評估分析等方面的研究還少有人涉及。論文以PCA和DEA為基礎(chǔ)，建立了混合優(yōu)化模型(4)。下面分析新模型和DEA-WEI模型求解算法的計算復(fù)雜度。

對于DEA-WEI模型(3)來說，實(shí)際上是關(guān)于k個變量的線性規(guī)劃問題，如果采用單純形法求解，通常具有多項式復(fù)雜度，最壞的情形下具有指數(shù)復(fù)雜度O(2k).如果采用內(nèi)點(diǎn)法，則具有復(fù)雜度O(k3.5).

以內(nèi)點(diǎn)法求解線性規(guī)劃為例，則兩個模型的復(fù)雜度曲線如圖3所示。

綜上，特定情形下，新模型的求解在復(fù)雜度上略有增加，但是能給出便于后續(xù)分析討論的更豐富結(jié)果。這在某些實(shí)際應(yīng)用場合，可以發(fā)揮更好的作用。

3實(shí)例分析

近年來，針對高校的評估活動和相關(guān)排行榜不斷涌現(xiàn)，在不同程度上對各校發(fā)展?fàn)顩r做了一定的反映。為了更科學(xué)的評價各相關(guān)高校發(fā)展?fàn)顩r，為高校后續(xù)發(fā)展及教學(xué)管理水平的提高提供更好的幫助，本部分?jǐn)M以一些典型的排行榜數(shù)據(jù)和調(diào)查數(shù)據(jù)為依據(jù)，進(jìn)行標(biāo)桿分析。

3.1指標(biāo)集準(zhǔn)備

本次標(biāo)桿分析的備選標(biāo)桿集設(shè)定為部分陜西省內(nèi)高校(依次為西安電子科技大學(xué)、長安大學(xué)、西安科技大學(xué)、西安建筑科技大學(xué)、西安理工大學(xué)、西安交通大學(xué)、西安石油大學(xué)、西安工程大學(xué)、陜西科技大學(xué)、西安郵電大學(xué))，相關(guān)指標(biāo)數(shù)據(jù)來源包括2013年武書連大學(xué)排行榜、各校發(fā)展報告和校情報告、網(wǎng)絡(luò)搜集數(shù)據(jù)等。

綜合各數(shù)據(jù)來源，歸納整理后，相關(guān)指標(biāo)有16項分別以阿拉伯?dāng)?shù)字1～16表示(依次為研究生培養(yǎng)實(shí)力、本科生培養(yǎng)實(shí)力、自然科學(xué)研究實(shí)力、社會科學(xué)研究實(shí)力、培養(yǎng)的博碩士數(shù)、本專科生數(shù)、專任教師數(shù)、高級職稱教師數(shù)、一級博士學(xué)科數(shù)、二級博士學(xué)科數(shù)、一級碩士學(xué)科數(shù)、二級碩士學(xué)科數(shù)、國家重點(diǎn)學(xué)科數(shù)、省部重點(diǎn)學(xué)科數(shù)、本科專業(yè)數(shù)、博士后科研流動站數(shù))，分別以字母A-J表示各備選標(biāo)桿。為了后續(xù)處理方便，對每個指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化。最終得到見表3.

表3　歸一化指標(biāo)集數(shù)據(jù)

表3列出了我們搜集到的所有備選標(biāo)桿的指標(biāo)集數(shù)據(jù)，可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用需求對指標(biāo)集進(jìn)行選取并進(jìn)行分析。

3.2模型應(yīng)用及結(jié)果分析

針對所給數(shù)據(jù)，進(jìn)行某DMU單元(不妨考慮C)綜合實(shí)力的科學(xué)評估，為今后教學(xué)管理方向把握、政策制定提供一定的支持。按照第1節(jié)中所建立模型和算法，首先需要進(jìn)行標(biāo)桿集的選擇，即應(yīng)用基于FCM的標(biāo)桿集優(yōu)化選擇模型(2)。

根據(jù)求解算法，得到表4.

表4　標(biāo)桿集優(yōu)化結(jié)果

表5　積極標(biāo)桿分析的DEA-WEI結(jié)果

表6　實(shí)例1保守標(biāo)桿分析的DEA-WEI結(jié)果

可見，待考核單元C略強(qiáng)于標(biāo)桿G，H，I，J.這與實(shí)際情況具有一定的一致性。后續(xù)可以通過進(jìn)一步分析確定優(yōu)勢環(huán)節(jié)，保持良好績效。

當(dāng)需要進(jìn)行特定范圍的評估分析時(比如對科研績效進(jìn)行評估)，則可對指標(biāo)集設(shè)置適當(dāng)?shù)臋?quán)重，再通過模型求解。

表7　積極標(biāo)桿分析的PCA-DEA結(jié)果

表8　保守標(biāo)桿分析的PCA-DEA結(jié)果

待考核單元C仍在不同程度上弱于A，B，D，E，但值得注意的是標(biāo)桿D的績效反而超過了原來排在首位的標(biāo)桿A，這說明在某些指標(biāo)的組合結(jié)構(gòu)上，D有比A更顯著的特征，值得C比較學(xué)習(xí)。

待考核單元C在不同程度上優(yōu)于G,H,I,J，但值得注意的是標(biāo)桿H的績效優(yōu)于標(biāo)桿I，這說明在某些指標(biāo)的組合結(jié)構(gòu)上，H有比I更顯著的特征，值得C比較學(xué)習(xí)。

4結(jié)論

當(dāng)前日益復(fù)雜的社會經(jīng)濟(jì)環(huán)境下，進(jìn)行科學(xué)的績效評估和分析顯得尤為重要。標(biāo)桿分析作為一種有效的績效評估和管理手段，在各行業(yè)受到越來越廣泛的應(yīng)用，也產(chǎn)生了眾多研究成果。眾多高校經(jīng)歷了多年的高速發(fā)展，正處于發(fā)展轉(zhuǎn)型期，進(jìn)行科學(xué)的績效評估和分析，能為長期發(fā)展提供有效的幫助。目前標(biāo)桿分析在這方面的應(yīng)用研究相對較少。

結(jié)合現(xiàn)代數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)進(jìn)行新標(biāo)桿分析模型的研究具有一定的科學(xué)性和創(chuàng)新性，能為復(fù)雜績效評估和分析提供一定的基礎(chǔ)支持。鑒于此，論文首先結(jié)合模糊c-均值聚類、主成分分析、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析等對標(biāo)桿分析模型進(jìn)行了新的研究，建立了標(biāo)桿集優(yōu)化選擇模型和PCA-DEA混合模型，并給出了求解算法。然后利用部分搜集的地方高校數(shù)據(jù)構(gòu)建了標(biāo)桿集指標(biāo)數(shù)據(jù)，應(yīng)用所建立模型進(jìn)行了標(biāo)桿分析。

研究結(jié)果表明：所建立模型結(jié)合了數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)和標(biāo)桿分析方法的特點(diǎn)，能滿足一定的復(fù)雜績效評估和分析需求，可為地方高校教學(xué)管理提供一定的數(shù)據(jù)支持。

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