（江蘇省儀征市第二中學211400）

高中數(shù)列教學的數(shù)學思想

曹國弘（江蘇省儀征市第二中學211400）

當前高中學生對數(shù)學學習敬而遠之，教師仍舊采用傳統(tǒng)教學方法，在教學過程中未從學生角度考慮，時常一意孤行，按照自己的方式展開教學。數(shù)列是高中數(shù)學的重要內容，也是重難點之一，學生在數(shù)列的學習中往往難以跟上教師的進度，對一些數(shù)列問題理解不夠，久而久之便失去學習信心。教師在教學中應該從數(shù)學思想的高度教導學生，讓學生掌握正確的數(shù)學思想方法。

一、數(shù)列中的函數(shù)思想及其應用

從函數(shù)定義來看，數(shù)列本身就是一種特殊的函數(shù)，因此解決數(shù)列問題其本質就是利用相關的函數(shù)思想探究問題。函數(shù)講究的是整體思想，即從整體的角度看待問題，放開眼光，尤其是一些題意不明、難以直觀找到解題方法的難題，很多學生在解題中常常摸不著頭腦，不知從何下手。多數(shù)原因是學生過于注重某個細節(jié)，未從整體上看待問題，對很多公式的運用缺乏靈活性。為了提高學生對數(shù)列知識的認識，掌握整體看待問題的能力，我在此，利用相關數(shù)學函數(shù)思想進行問題的解答。對于等差數(shù)列的求和公式Sn=na1+n（n-1）d／2=An2+ Bn，觀察該公式發(fā)現(xiàn)，其符合二次函數(shù)形式，因此，對等差數(shù)列的求和公式可利用二次函數(shù)思想進行探究。例如，在某個等差數(shù)列數(shù)列中，其前n項之和為Sn=m，前m項之和為Sm=n（其中m和n不相等），在此條件上求前Sm＋n。該題中，根據(jù)求和公式可知Sm＋n=a1（m＋n）+（m＋n-1）（m＋n）d／2=（m＋n）（a1+（m＋n-1）d／2），從該公式中可以看出，欲知Sm＋n只需要求解a1+（m+n-1）d／2，根據(jù)題意通過Sn及Sm構造出a1+（m＋n-1）d／2，并進行計算。在此基礎上利用整體思想及函數(shù)思想，結合等差數(shù)列中前n項之和的函數(shù)關系，根據(jù)公式可知其在圖像中必經(jīng)過（0,0）點，并以此為突破點可以找到幾種解題方法，如假設該數(shù)列的公差為d，由題意可列出

兩式相減可得出Sm-Sn=ma1+m（m-1）d／2-na1+n（n-1）d／2=（m－n）a1+（m＋n-1）（m＋n）d／2，由于m與n不等，因此（m－n）a1+（m＋n-1）（m＋n）d／2=-1，所以Sm＋n=a1（m＋n）+（m＋n-1）（m＋n）d／2=（m＋n）（a1+（m＋n-1）d／2）=-（m＋n）

二、遞推思想在高中數(shù)列中的應用

遞推思想是數(shù)學中常用的思想方法之一，用于解答一些較為復雜的通項問題，遞推中包含兩種常用的數(shù)學方法，一種是累加法，另一種是累積法。

累加法，顧名思義，就是將是數(shù)列中的各項累計求和，并從中找到一些解決問題的突破口，簡化解題步驟。在數(shù)列中，如果該通項滿足an-an-1=f（n）（其中f（n）可以進行裂項）時就能夠采用累加的方式進行求解。例如，在一數(shù)列｛an｝中，首項a1=1，當n大于等于2時，an=an-1+ 1／n（n+1），求該數(shù)列的通項公式。

該題中，當n大于等于2時，an=an-1+1／n（n+ 1），由此可知an－an-1=1／n（n+1）=1／n-1／（n+1），利用累加思想求解可得出an=（an－an-1）+（an-1-an-2）+…+（a3-a2）+（a2-a1）=（1／n-1／（n+1））+（1／（n-1）-1／n）+…+（1／3-1／4）+（1／2-1／3）+1=1／（n+1）+1／2=3／2-1／（n+1）

累積法與累加法思想類似，即當an／an-1=g（n）具有某種關系時就能利用an=an／an-1＊an-1／an-2＊…a3／a2＊a2／a1＊a1來求出an。

三、方程思想在數(shù)列中的應用

方程思想是數(shù)學中常用的解題思想，即利用方程組的形式求解未知量，數(shù)列中的幾個常用量為a1，n，d（q），an，Sn，在實際求解過程中可利用其中已知的三個量結合方程求解另外幾個未知量，在這里就可以利用方程思想進行數(shù)列知識的求解。例如，在一等差數(shù)列｛an｝中，其公差為一正數(shù)，且a3＊a7=-12,a3+a7=a4+a6=-4,根據(jù)此條件求解該數(shù)列的前n項和。

在該題中由于存在如下關系：a3＊a7=-12, a3+a7=a4+a6=-4，因此可判斷出a3和a7是x2+4x-12=0的兩個解，由題意知公差d＞0，解此方程可得a3=-6，a7=2，將結果帶入題意中的兩個關系式

將得到的結果帶入等差數(shù)列前n項和公式可得Sn=-10n+n（n-1）。

四、歸納法在數(shù)列中的應用

數(shù)學歸納法主要指通過個別數(shù)學案例歸納出通用性的結論，并通過相關數(shù)學方法進行證明。數(shù)學歸納法的應用一般步驟為觀察分析、歸納總結、假設猜想、證明結論。例如，在一數(shù)列｛an｝中，an＞0（n＞1），a0=1，an-1=an（4-an）／2，求證an＜an+1＜2。

在該題中，當n=1時，a0=1，a1=a0（4-a0）=3／2，a0＜a1＜2，此時正確。

假設當n=k時，ak-1＜ak＜2，當n=k+1時，akak+1=ak-1（4-ak-1）／2-ak（4-ak）／2=2（ak-1-ak）-（ak-1-ak）（ak-1+ak）／2=（ak-1-ak）（4-ak-1-ak）／2

又有ak-1-ak＜0,4-ak-1＞0,所以ak－ak-1＜0,

又ak+1=ak（4-ak）／2=［4-（ak-2）2］＜2

即n=k+1時命題正確，所以對一切n滿足題意條件是均存在an＜an+1＜2。

五、轉化思想在數(shù)列中的應用

高中生在日常學習中遇到的數(shù)列問題比較抽象，在解決一些應用題時中常會遇到瓶頸，難以找到突破口，此時可以嘗試采用轉化思想，將抽象的實際問題轉化為數(shù)列問題，成為高中生容易理解的形式。然后再使用數(shù)列相關函數(shù)關系進行求解。例如，某地區(qū)本月突發(fā)流感，本月1號感染人數(shù)為20人，在此基礎上以后每天的感染人數(shù)均增加50人，醫(yī)療機構為控制感染人數(shù)，采取某項有效預防措施，從本月某天起日感染人數(shù)平均相比前一天下降了30人，截至本月30號（按30天計算），該地區(qū)總計感染人數(shù)為8670例，求該月份哪天感染流感人數(shù)最多，并求出該天具體感染人數(shù)。

通過分析題意可以看出，該題是等差數(shù)列相關知識的應用，從題意中可以看出，本月1號到n號，每日流感感染人數(shù)可以構成一項等差數(shù)列，從n+1天開始到該月最后一天，又可構成公差不同的等差數(shù)列，假設第一個數(shù)列為｛an｝,第二個數(shù)列為｛bn｝，通過題意可知，a1=20，d1=50，b1=50n-60，d2=-30。bn=（50n-60）+（n-1）（-30）=20（30-n）-30=570-20n。所根據(jù)總感染人數(shù)可列出：（20+50n-30）n／2+［（50n-60）+（570-20n）］（30-n）／2=8670，通過計算可以得出一個二次函數(shù)n2-61n+588=0，求解該而從方程可以得出n1=12，n2=49，結合實際，該月只有30天，因此可解的該月12日感染者數(shù)量最多，人數(shù)為570人。在該題中可以看出，一些實際中比較復雜的問題可以轉化為數(shù)列知識進行解答，這不僅是數(shù)學中轉化思想的應用，還是數(shù)列知識的實際應用，在解決問題的過程中，可以利用適當?shù)姆椒ㄒ约翱茖W的思想將其轉化為數(shù)列來解決。

數(shù)列是高中數(shù)學的難點知識之一，很多數(shù)列題型比較抽象，學生理解起來具有一定難度，因此在教學過程中教師應該讓學生掌握必要的數(shù)學思想，利用通用的數(shù)學思想解決常見的問題，培養(yǎng)學生的開放性思維，為學生后續(xù)學習奠定堅實的基礎。

（責編 趙建榮）